MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III Escola Politécnica - 3 a Prova - 21/06/2016. Turma A 1 a Questão: a) (1,5) Seja

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1 urma A 1 a Questão: MA55 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia III Escola Politécnica - a Prova - 1/6/16 a 1,5 eja parte do plano x + y + z = 8 limitada pelos plano x =, y = e z =. Calcule F N d onde F x, y, z = xyz, y z, xy com N k >. b, eja parte da esfera x + y + z =, com z x + y. Calcule a massa de olução: sendo δ x, y, z = x + y. a Para resolver o problema, primeiro parametrizamos a superfície : endo a projeção de no plano yz. σy, z = 8 y z, y, z, y, z Figure 1: egião Calculando as derivadas parciais de σ, temos: σ y =, 1, σ z =,, 1 σ y σ z = 1,, epare que σ y σ z k >. Assim, calculamos a integral: 1

2 F N d = 8 z 8 z 8 z 8 y zyz, y z, 8 y zy 1,, dy dz = 8 y zyz + y + y z dy dz = 8yz + 16y y z 6y yz yz + y z dy dz = 8 z y yz + 16 z 6y dy dz = z + 16 z 6y y= z y= dz = z z + 8 z z dz = z z + 8 z z dz Fazendo a mudança de variável u = z du = dz, temos: 7 7 u u + 8 u u dz = u 6u u u dz = 7 1u 7 b Uma parametrização possível para é dada por u5 = x = cos θ sin φ σ φ, θ = y = sin θ sin φ z = cos φ 1u u dz = O domínio de σ é achado a partir da restrição dada. z x + y cos φ sin φ φ π θ π Calculando o diferencial de área necessário para a integral de superfície. σ φ σ θ σ φ = cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ = sin θ sin φ, cos θ sin φ, σ θ = cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ sin φ = sin φ

3 Portanto, a massa de é dada por δ x, y, z d = π π π π δ σ φ, θ σ φ σ 1 cos φ sin φdφ = π θ dφdθ = π π [ cos φ + cos φ sin φ sin φdφdθ = ] π = π 16 11

4 a Questão:, ejam F x, y, z = yz, y, x + cos z e γ a intersecção de z = 9 x y e y = 1, percorrida de, 1, a, 1,. Calcule γ F d r. olução: O cálculo direto da integral de linha é complicado, por isso, recorre-se ao eorema de tokes. Para tal, observa-se que γ não é uma curva fechada o que pode ser observado na gura abaixo e, então, é necessário adicionar uma curva auxiliar α tal que γ +α delimite uma região contida no domínio de F. Como Dom F =, pode-se tomar α igual a { α t = t, 1, 1 t 1 α t =,, A aplicação do eorema de tokes então ca γ F d r + α F d r = F nd onde é parte do plano y = 1 e, portanto, sua normal induzida pela orientação de γ + α é, 1,. O eorema de tokes facilita o cálculo da integral pedida, já que a integral de linha sobre a imagem de α é simples, assim como a integral de superfície. 1 1 F d r = F α t α t dt =, 1, t + 1 1,, dt = dt = α 1 A superfície pode ser parameterizada por 1 x = u σ u, v = y = 1 z = v onde Dom σ = { u, v u, v 8 u }. 1

5 O rotacional de F é dado por F x + cos z = y y z, yz z Então, a integral de superfície sobre ca F nd = 8 u dvdu = 8 u x + cos z, y x x yz =, y 1, z y, 1, v, 1, dvdu = 8 u du = Logo, juntando os resultados parciais, tem-se que γ F d r = 6 ] [8u u = 6 5

6 a Questão:, 5 ejam F x,y,z x, y, z = +,, z e parte do paraboloide z = x +y +z / 5 x y, com z, orientada com N,, 5 = k. Calcule F. Nd. olução: O campo F sera separado em uma soma de duas componentes, F1 e F, como indicado no proprio campo. F 1 : Para aplicar o teorema de Gauss, e necessario "fechar" a regiao e isolar a origem. Para tal, utilizaremos as supercies e. : z = u, v = u, v,, N =,, 1 I : x + y + z = r ; r << 1; z θφ = r.cosθ.senφ/, r.senθsenφ, r.cosφ θ φ = r.senφcosθ.senφ, senθ.senφ/, cosφ/ θ φ e interior divf 1 = Aplicando o eorema de Gauss: F 1. Nd + F 1. Nd F 1. Nd = F 1. Nd = F 1. Nd F 1. Nd Integral sobre : 6

7 F 1. Nd = D u, v,.,, 1d = u + v / Integral sobre : F 1. Nd = π π/ r r.cosθ.senφ/, r.senθ.senφ, r.cosθ.senφ. r.cosθ.senθ, senθ.senφ/, cosφ/dφdθ = π π/ senφ dφθ = π. π/ senφdφ = π Logo: F 1. Nd = π F : Devemos fechar a regiao em u, v = u, v,, N =,, 1, z = Aplicando o eorema de Gauss: F. Nd + F. N = divf dxdydz F. N =,,.,, 1d = D divf dxdydz = z dxdydz Com z 5 x y, ou seja: x + y 5 7

8 Usando coordenadas cilindricas: x = ρ.cosθ, ρ 5 y = ρ.senθ, θ.π z = z J = ρ Assim:.π 5 ρ z dzdρdθ =.pi 5 15ρ 75ρ + 15ρ 5 ρ 7 dρ Portanto: =.π = 65.π F. N.d = π + 65.π = 69.π 8

9 urma B 1 a Questão: a 1,5 eja parte do plano x + y + z = limitada pelos plano x =, y = e z =. F N d onde F x, y, z = xy, y z, xyz com N k >. Calcule b, eja parte da esfera x + y + z =, com z olução: sendo δ x, y, z = x + y. x +y. Calcule a massa de a Para resolver o problema, primeiro parametrizamos a superfície : endo a projeção de no plano xy. σx, y = x, y, x y, y, z Figure : egião Calculando as derivadas parciais de σ, temos: σ x = 1,, σ y =, 1, σ x σ y =,, 1 epare que σ y σ z k >. Assim, calculamos a integral: F N d = x xy, y x y, xy x y,, 1 dy dx = 9

10 x x x yy + xy + xy dy dx = 1y + xy 6xy x y 9y xy + xy dy dx = x y y6x x + y 1 9x 9y dy dx = 6x x + y 1 9x 9y y= x y= dx = x 6x x + x 1 9x 9 x dx = 9 x 6x x + x 1 9x 18 x dx Fazendo a mudança de variável u = x du = dx, temos: 81 9u 6 u u + u 1 9 u 18u du = u + u u + u 6 + 9u 18u du = 6u 6u b Uma parametrização possível para é dada por du = 6 6u 81 u = 16 9 x = cos θ sin φ σ φ, θ = y = sin θ sin φ z = cos φ O domínio de σ é achado a partir da restrição dada. z x + y cos φ sin φ φ π θ π Calculando o diferencial de área necessário para a integral de superfície. σ φ σ θ σ φ = cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ = sin θ sin φ, cos θ sin φ, σ θ = cos θ sin φ, sin θ sin φ, cos φ sin φ = sin φ Portanto, a massa de é dada por π δ x, y, z d = π π π δ σ φ, θ σ φ σ 1 cos φ sin φdφ = π 1 θ dφdθ = π π [ cos φ + cos φ sin φ sin φdφdθ = ] π = π

11 a Questão:, ejam F x, y, z = yz, y, x + cos z e γ a intersecção de z = 16 x y e y =, percorrida de,, a,,. Calcule γ F d r. olução: O cálculo direto da integral de linha é complicado, por isso, recorre-se ao eorema de tokes. Para tal, observa-se que γ não é uma curva fechada o que pode ser observado na gura abaixo e, então, é necessário adicionar uma curva auxiliar α tal que γ +α delimite uma região contida no domínio de F. Como Dom F =, pode-se tomar α igual a { α t = t,, 1 t 1 α t =,, A aplicação do eorema de tokes então ca γ F d r + α F d r = F nd onde é parte do plano y = e, portanto, sua normal induzida pela orientação de γ + α é, 1,. O eorema de tokes facilita o cálculo da integral pedida, já que a integral de linha sobre a imagem de α é simples, assim como a integral de superfície. 1 1 F d r = F α t α t dt =, 8, t + 1 1,, dt = dt = α 1 A superfície pode ser parameterizada por 1 x = u σ u, v = y = z = v 1 11

12 onde Dom σ = { u, v u, v 1 u }. O rotacional de F é dado por F x + cos z = y y z, yz z Então, a integral de superfície sobre ca F nd = 1 u dvdu = 1 u x + cos z, y x x yz =, y 1, z y 1 u du = Logo, juntando os resultados parciais, tem-se que γ F d r =, 1, v, 1, dvdu = ] [1u u = 1

13 a Questão:, 5 ejam F x,y,z x, y, z = +,, z e parte do paraboloide z = x +y +z / 5 x y, com z, orientada com N,, 5 = k. Calcule F. Nd. olução: O campo F sera separado em uma soma de duas componentes, F1 e F, como indicado no proprio campo. F 1 : Para aplicar o teorema de Gauss, e necessario "fechar" a regiao e isolar a origem. Para tal, utilizaremos as supercies e. : z = u, v = u, v,, N =,, 1 I : x + y + z = r ; r << 1; z θφ = r.cosθ.senφ/, r.senθsenφ, r.cosφ θ φ = r.senφcosθ.senφ, senθ.senφ/, cosφ/ θ φ e interior divf 1 = Aplicando o eorema de Gauss: F 1. Nd + F 1. Nd F 1. Nd = F 1. Nd = F 1. Nd F 1. Nd Integral sobre : 1

14 F 1. Nd = D u, v,.,, 1d = u + v / Integral sobre : F 1. Nd = π π/ r r.cosθ.senφ/, r.senθ.senφ, r.cosθ.senφ. r.cosθ.senθ, senθ.senφ/, cosφ/dφdθ = π π/ senφ dφθ = π. π/ senφdφ = π Logo: F 1. Nd = π F : Devemos fechar a regiao em u, v = u, v,, N =,, 1, z = Aplicando o eorema de Gauss: F. Nd + F. N = divf dxdydz F. N =,,.,, 1d = D divf dxdydz = z dxdydz Com z 5 x y, ou seja: x + y 5 1

15 Usando coordenadas cilindricas: x = ρ.cosθ, ρ 5 y = ρ.senθ, θ.π z = z J = ρ Assim:.π 5 ρ z dzdρdθ =.pi 5 15ρ 75ρ + 15ρ 5 ρ 7 dρ Portanto: =.π = 65.π F. N.d = π + 65.π = 69.π 15