Fundamentos da Eletrostática Aula 06 Mais sobre o campo elétrico e a lei de Gauss

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1 Linhas de Força Fundamentos da Eletrostática Aula 6 Mais sobre o campo elétrico e a lei de Gauss Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari Vimos na última aula a denição do campo elétrico E (r), F (r) Q = E (r), e vimos que o princípio da superposição nos permite o cálculo de E (r) gerado por uma certa distribuição de cargas através de uma integral, E (r) = 1 4πε r r r r 3dq. Já discutimos a lei de Gauss e a forma como ela relaciona o uxo de E através de uma dada superfície fechada com a carga total contida pela superfície; agora vamos mostrar como podemos aplicar esta relação para calcular o campo elétrico de forma bastante fácil e rápida, desde que a distribuição de cargas seja sucientemente simétrica. Podemos dizer que a lei de Gauss nos permitirá achar E (r) sem realizar a integral (ou, na verdade, realizando uma integração trivial). O preço a se pagar é que esta técnica só funciona em distribuições de cargas altamente simétricas. Finalmente, vamos apresentar uma terceira forma de cálculo do campo elétrico, usando o teorema de Gauss para relacionar o uxo de NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 1

2 E com a sua divergência. Vamos obter assim uma equação diferencial parcial que se constituirá numa terceira maneira para se calcular E. Linhas de Campo O campo elétrico não é uma quantidade diretamente observável. O que observamos é a força exercida sobre uma carga teste por uma certa distribuição de cargas fontes. Colocando esta carga teste em diferentes pontos do espaço, podemos fazer um mapa onde desenhamos o vetor força sentido pela carga em cada ponto do espaço, como na gura, acima. Como você já deve ter visto em cursos elementares de eletromagnetismo, uma forma mais cômoda de representar um campo vetorial é através de linhas de força, que são linhas desenhadas de forma tal que, em cada ponto do espaço, são tangentes ao vetores que queremos representar. Além disso, a densidade de linhas indica a intensidade do campo vetorial. e podemos fazer esta construção para o campo de forças, nada nos impede de fazer o mesmo para o campo de força por unidade de carga teste, ou seja, o campo elétrico. Para uma carga pontual localizada na origem, por exemplo, temos (em coordenadas esféricas), E = 1 4πε q r 2 r. NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 2 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 3

3 Fluxo de E através de uma superfície e q é positivo as linhas de campo são radiais e se dirigem para longe da origem. Dada uma superfície fechada, o uxo de E através de é dado pela integral de superfície, Φ = E (r) da = E (r) n da. e q é negativo as linhas de campo são radiais e se dirigem para a origem. Mostramos, na aula 4, que para o campo elétrico de uma carga pontual localizada na origem, vale que E da = { q ε, se engloba a carga, se não engloba a carga. Lembrando que este resultado não depende da forma da superfície fechada escolhida. As linhas de campo de um sistema de cargas começam ou terminam nas cargas, sem se cruzar. NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 4 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 5

4 Para uma conguração de N cargas q i, o campo elétrico é, de acordo com o princípio da superposição, E (r) = 1 4πε i=1 q i r r i r r i 3 = e, já que a integração é uma operação linear, E i (r), i=1 Comparando estas duas últimas equações, V ( E 1 ) ρ (r) ε d 3 V =. A única forma desta equação ser válida para V arbitrário, é se o integrando se anula em todos os pontos, portanto encontramos a lei de Gauss em forma diferencial. E da = i=1 E i (r) da = i=1 q i ε = Q ε, E (r) = 1 ε ρ (r) onde Q é a soma de todas as cargas elétricas contidas em. A lei de Gauss é valida no sentido mais geral, incluindo distribuições contínuas de carga; aí, escrevemos E da = Q ε = 1 ε V ρ (r) d 3 V, se V é o volume contido em, e ρ (r) = ρ contínuo (r)+ρ discreto (r) é a densidade de todas as distribuiçõs de carga contidas em V, discretas (usando a função δ (r)) ou contínuas. Com o auxílio do teorema da divergência, temos que E da = V E d 3 V. A divergência do campo elétrico está, em cada ponto, associada à densidade total de cargas neste ponto. Equivalentemente, lembrando da interpretação geométrica do divergente, dizemos que as cargas fonte, descritas por ρ (r) são as fontes do campo vetorial E. r, Lembre-se que para o campo de uma carga pontual localizada em ( ) E (r) = q r r 4πε r r 3 = 1 ε qδ 3 (r r ), consistente com a densidade de uma carga pontual ρ (r) = qδ 3 (r r ). = q 4πε [ 4πδ 3 (r r ) ] NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 6 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 7

5 Problema 1 Questões: Determinar a densidade de carga que produz um campo elétrico (em coordenadas esféricas), 1. Existe algum α tal que o divergente que calculamos é identicamente zero? Discuta. E (r) = kr αr, onde k é uma constante e α >. O campo possui simetria esférica, de modo que usamos o divergente em coordenadas esféricas, E = 1 r 2 E r 2 r + 1 r r sin θ θ (sin θ E θ) + 1 r sin θ E φ φ. Temos: E r = kr α ; E θ = E φ =. Logo, para r, E = 1 [ r 2 r 2 (kr α ) ] = k 1 [ r 2+α ] r r 2 = k (2 + α) r α 1. r Usando a lei de Gauss em forma diferencial, ρ (r) = ε E (r) = ε k (2 + α) r α 1. Observe que se α > 1, nosso resultado é regular para r =. e α < 1, esta expressão é divergente em r =, sinalizando que o divergente é singular neste ponto. NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 8 NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 9

6 Problema 2 Determinar a quantidade de carga em uma esfera de raio R centrada na origem, cuja densidade de carga é a obtida no problema anterior. olução: por simples integração, q = ρ (r) d 3 V V (R) = 2π π R =ε k (2 + α) 2π ( ε k (2 + α) r α 1) ( r 2 sin θdφdθdr ) π R dφ sin θdθ r α+1 dr =ε k (2 + α) 2π 2 1 α + 2 Rα+2 =4πε kr α+2. Questões: 1. Existem valores de α para os quais este resultado não é válido? NH281 - Fundamentos da Eletrostática - 29t1 1