Cálculo III-A Módulo 13

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Módulo 3 Aula 4 Teorema de Gauss Objetivo Estudar um teorema famoso que permite calcular fluos através de superfícies fechadas: o teorema de Gauss. O Teorema de Gauss O curso de Cálculo IV, contém alguns teoremas fascinantes como o Teorema de Green, o Teorema de tokes e o Teorema de Gauss. Neste EP4 apresentamos o famoso Teorema de Gauss ou Teorema da ivergência. No próimo módulo apresentaremos o também famoso Teorema de tokes. O Teorema de Gauss estabelece uma relação entre uma integral tripla numa região sólida de R 3 com uma integral de superfície na sua fronteira. Este teorema é um instrumento poderoso para os modelos matemáticos que descrevem alguns fenômenos físicos como, fluos de fluidos, fluos de campos elétricos ou magnéticos e fluos de calor. Finalmente, enunciaremos o Teorema da ivergência ou de Gauss: Teorema de Gauss: eja R 3 um sólido, cuja fronteira = está orientada positivamente, com eterior a. eja F um campo vetorial de classe C em um aberto U contendo. Então, F d = div F dddz. = Para enunciar os teoremas de Gauss e de tokes utilizaremos conceitos definidos na Aula 4 Campos Vetoriais: divergente e rotacional. Lembrando aqui que: e rot F = i j k F = z = P Q R div F = F = P + Q + R z R Q ) i z + P z R ) j Q + P ) k.

2 Cálculo III-A Módulo 3 Eemplo Verifique o teorema de Gauss para F,,z) = z i +z j +z k, calculando as duas integrais do enunciado, e a esfera + +z = a e n a normal unitária eterior a. olução: Temos que n =,,z). Logo a F n d = = a z,z,z,,z) ) a d z + z +z 3) d = a z + +z ) d = a a = a z d z d. Parametrizando, temos ϕφ,θ) = asenφcosθ,asenφsenθ,acosφ), com : φ π e θ π. Temos também que d = a senφdφdθ. Então F n d = a acosφ) a senφ ) dφdθ = a 4 π = a 4 π π cosφsenφ dφdθ sen φ π = a 4 dθ =. π dθ Por outro lado, temos div F = P + Q + R z = z +z +z = 4z

3 Cálculo III-A Módulo 3 3 e, então: div F dv = = 4 = 4 =. O teorema de Gauss está, portanto, verificado. π π π π 4ρ 3 cosφsenφ dφdρdθ ρ 3 [ sen φ ] π ρ 3 dρdθ dρ dθ Eemplo Calcule F n d, onde F,,z) = +e z, +ze,z +e ), é a fronteira do sólido interior ao cilindro + =, entre os planos z = e z = + e n a normal eterior a. olução: O esboço de é: z

4 Cálculo III-A Módulo 3 4 eja o sólido limitado por. Pelo teorema de Gauss, temos: F n d = div F dv = ++z)dv = = = = + [z + z +z)dzdd ] + dd [ ] ++ +) dd 6+8+ ) dd = 6 dd+8a) }{{} 8π } {{ } = + dd. Passando para coordenadas polares, temos: dd = π r 3 cos θdrdθ = 4 π cos θdθ = 4 [ θ+ senθ ] π = π 4. Logo, F nd = 8π + π 4 = 33π 4. Eemplo 3 Calcule F n d, sendo F,,z) = 3 i + 3 j + z 3 k, n a orientação normal eterior a : + +z =, com z. olução: O esboço de aberta) é:

5 Cálculo III-A Módulo 3 5 z eja = onde : z =, +, com n = k. z n eja o sólido limitado pela superfície fechada. Como estamos nas condições do teorema de Gauss, temos F nd + F n d = div F dv = 3 + +z ) dv. Passando para coordenadas esféricas, temos + + z = ρ, dv = ρ senϕ dρdφdθ e ρφθ : ρ, φ π/ e θ π. Então,

6 Cálculo III-A Módulo z ) dv = 3 ρφθ ρ ρ senφdρdφdθ Cálculo de F n d: π/ π = 3 ρ 4 senφdθdρdφ π/ = 6π ρ 4 senφdρdφ π/ = 6π senφdφ 5 = 6π [ ] π/ cosφ 5 = 6π 5. Temos Logo, Até a próima aula. F n d = 3, 3, ),, )d = d =. F nd = 6π 5. Eercício : Verifique o teorema de Gauss calculando a integral de superfície e a integral tripla para o campo F,,z) = i+ j+z k e é a superfície da seguinte região: = {,,z); +, z }. Eercício :Apliqueoteorema dadivergência paraobterofluodocampo F atravésde, orientada positivamente: a) F,,z) = + ) i + ) j + 4z z) k, onde é a superfície do sólido limitado pelo cone = +z e pelo plano = 3. b) F,,z) = 3 +senz) i+ 3 +zsen) j+z 3 k, onde éasuperfíciedosólido limitado pelos hemisférios z = 4, z = e pelo plano z =. c) F,,z) = +cosz) i+ +senz) j+e k, onde é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide z = + e pelo plano z = 4.

7 Cálculo III-A Módulo 3 7 Eercício 3: Fechando de uma forma adequada as superfícies abertas dadas, e utilizando o teorema de Gauss, calcule o fluo do campo F através de, com n eterior à superfície fechada a) F,,z) =,,z) onde é a superfície do paralelepípedo limitado pelos planos coordenados e pelos planos =, = e z = 3, eceto a face superior; b) F,,z) =,,z) onde : + +z = a, com z ; c) F,,z) = zarctg ) i+z 3 ln +) j+z k onde : z =, com z. Eercício 4: Calcule rotf) n d, sendo F,,z) = e ) i+z+ ) j+z k e é a parte da esfera + +z 4z =, com z, orientada com n eterior. Eercício 5: eja a região limitada pelo cilindro parabólico z =, o plano + z = e os planos coordenados z = e =. Calcule o fluo do campo F = + e senz) i+ + +arctgz) j+sen+cos) k através da superfície de com normal n eterior à.