Análise Matemática III Resolução do 2 ō Teste e 1 ō Exame - 20 de Janeiro horas

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1 Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Análise Matemática III Resolução do ō Teste e ō Exame - de Janeiro - 9 horas. O sólido tem simetria cilíndrica em torno do eixo Oz. A expressão de em coordenadas cilíndricas (r, θ, z) é: r + z ; r z r z portanto é o sólido que se obtem rodando a seguinte figura em torno do eixo Oz: z z r z + r r z r a) Em coordenadas esféricas (r, θ, φ), o sólido escreve-se r ; r sen φ r cos φ φ 3 portanto uma expressão para o volume em coordenadas esféricas é dada por: Vol() 3 r senφ drdφdθ b) Tendo em conta a figura acima, a expressão para o volume em coordenadas cilíndricas é dada por Vol() r r r r dzdrdθ + r dzdrdθ r

2 c) A massa é dada pelo integral de volume da densidade de massa. Vamos usar coordenadas esféricas porque são as coordenadas em que o volume se expressa de forma mais simples. Como z r cos φ temos z 3 r dr 3 [ cos3 φ 3 r cos φr senφ drdφdθ ] 3 senφ cos φdφ. Uma vez que x y (x y)(x + y), a expressão da função integranda e da região de integração sugerem a mudança de variáveis linear { u x + y v x y Esta transformação g(x, y) (x + y, x y) é de facto uma transformação de coordenadas em R : o determinante da matriz que representa a transformação é Portanto g é bijectiva. Como g é igual à sua derivada Dg, é C e tem derivada injectiva. Portanto é uma transformação de coordenadas. O jacobiano da transformação inversa é (x, y) (u, v) (u,v) (x,y) e nas novas coordenadas (u, v) a região A escreve-se x + y < u < y > u v y < x x y > v > > u > v Pelo teorema de mudança de variáveis, temos u e (x+y) (x y )dxdy e u uv dvdu A u 3 e u du [ ] 6 e u ( ) 6 e Note que a escolha da ordem de integração nas novas variáveis é importante. Na outra ordem não se consegue calcular o integral.

3 3. eja L a recta com equação cartesiana x + y. Temos de achar o mínimo sobre E da função d(x, y) distância de (x, y) à recta L. A distância à recta é medida sobre a recta perpendicular a L que passa pelo ponto (x, y). Esta recta tem equação paramétrica (x, y) + t(, ), t R (já que (, ) é um vector perpendicular a L). O ponto de intersecção com a recta L corresponde ao parâmetro t tal que x + t + y + t t (x + y) A distância de (x, y) a L é o comprimento do vector t(, ) para esse valor do parâmetro t, isto é ( (x + y), (x + y)) (x + y) Uma vez que sobre E (uma elipse com semieixos de comprimento e 3) temos (x + y) > x + y <, a expressão de d(x, y) sobre E é d(x, y) (x + y) Para minimizarmos esta função sobre E usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. eja g(x, y) (x + y) λ( x + y 3 ). Então um ponto de mínimo de d sobre E tem de ser solução do sistema g x xλ g y 3 yλ x + y 3 x λ y 3 ( λ ) λ onde usámos o facto de que λ não se pode anular devido às duas primeiras equações do sistema. Este sistema tem soluções ( (x, y, λ) ±, 3 ), Como d é uma função contínua e E é compacto, pelo teorema de Weierstrass d tem máximo e mínimo em E e pelo método dos multiplicadores de Lagrange estes têm de ser atingidos nos pontos ( (x, y) ±, 3 ) Como d(, 3 ) + e d( 3, ) concluímos que o ponto de E mais próximo de L é o ponto (x, y) (, ) 3 3

4 . a) eja F (x, y, z) z cos(x + y ). Então M é definida pela equação cartesiana F (x, y, z) portanto um vector normal a M no ponto (,, ) é dado por F (,, ). Ora F (x, y, z) (xsen(x + y ), ysen(x + y ), ) portanto T (,,)M {t(,, ) : t R} e o espaço tangente é o complemento ortogonal deste, isto é T (,,)M {(x, y, z) R3 : x + z } b) M é um pedaço do gráfico da função cos(x + y ) portanto uma parametrização para M é dada por g(x, y) (x, y, cos(x + y )); x + y < Temos g x g y i j xsen(x + y ) ysen(x + y ) (xsen(x + y ), ysen(x + y ), ) Portanto uma expressão para a área de M é dada por M x g x x g dydx y x x + (x + y )sen (x + y )dxdy. a) Podemos aplicar o teorema da divergência ao volume V {(x, y, z) R 3 : x + y + z <, y > } A fronteira de V é V D onde D é a tampa D {(x,, z) R 3 : x + z } Como a normal a dada é a normal interior a V, e a normal a D unitária exterior a V é (,, ), o teorema da divergência diz que divf F.n + F.(,, ) isto é V F.n D D yz z V

5 O primeiro termo é porque a função integranda é constante igual a em D. Para calcular o segundo termo podemos usar coordenadas esféricas: z r cos φr senφdrdφdθ V senφ cos φdφ A conclusão é que o fluxo de F através de no sentido indicado é F.n b) Para calcular o fluxo de rotg podemos usar o teorema de toes. Este teorema diz que rotg.n G onde é percorrida no sentido dado pela regra da mão direita. O bordo de é a circunferência {(x,, z) : x + z } e a regra da mão direita aplicada à normal n diz que deve ser percorrida no sentido que visto do eixo negativo dos y é contrário ao dos ponteiros do relógio. Assim uma parametrização para é dada por g(t) (cos t,, sent), < t < e G α ( αsent + cos t, α, α cos t + sent).( sent,, cos t)dt αdt Concluímos que para que o fluxo de rotg seja igual a é necessário que α. 6. a) eja f :], + [ R a função f(x) x e x. Há duas razões porque não podemos calcular directamente o integral de f. Uma é que a região de integração é ilimitada e a outra é que a função f não é limitada numa vizinhança de. Assim vamos usar o teorema da convergência monótona para escrever o integral

6 como o limite de uma sucessão de integrais que podemos calcular directamente. eja f :], + [ R a sucessão de funções definidas por { x e x se f (x) x caso contrário Então para todo o, f é integrável em [, + [ porque + f x e x dx é o integral de uma função contínua num intervalo compacto. Como a função f é positiva, a sucessão de funções f é crescente (isto é, f (x) f + (x) para todo o x [, + [). Finalmente, temos e x dx x x e e x x dx (e e ) Portanto a sucessão dos integrais + f é limitada, (converge para ). Como f (x) f(x) para todo o x ], + [ quando tende para, o teorema da convergência monótona garante que f é integrável em ], + [ e + e x dx x b) A função f decresce para como x quando x tende para infinito portanto não é integrável. Para justificar esta afirmação rigorosamente podemos notar que, como a função f é positiva, se o integral existir teremos para todo o número natural + x + dx > x + dx log(x + ) log( + ) Como não existe nenhum número real que verifique estas condições para todo o concluímos que o integral não existe. 6