O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada.

Transcrição

1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 2 o semestre 08/09 Nome: Número: Curso: Sala: 1 o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL-II LEIC-Taguspark, LERC, LEGI, LEE 4 de Abril de 2009 (11:00) Teste 101 O Teste que vai realizar tem a duração total de 90 minutos e consiste de nove poblemas. Alguns problemas estão divididos em alíneas, com as cotações distribuídas uniformemente por cada alínea. O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Probl 1 Probl 2 Probl 3 Probl 4 Probl 5 Probl 6 Probl 7 Probl 8 Probl 9 2 Val 1.5 Val 2 Val 2 Val 3 Val 2 Val 3 Val 2 Val 2.5 Val NOTA FINAL: 1

2 Problema 1 (2 valores) (a) Escreva a equação vectorial paramétrica para a recta que passa em ( 1, 2, 1) e tem a direcção e o sentido de i k. (b) Escreva as equações paramétricas do plano que é perpendicular à recta da alínea anterior e passa na origem. Solução: a) (x, y, z) = ( 1, 2, 1) + t(1, 0, 1), t R; b) (x, y, z) = t(1, 0, 1) + s(0, 1, 0), t, s R 2

3 Problema 2 (1.5 valores) Considere três vectores unitários v 1, v 2, v 3, ortogonais dois a dois. Mostre que se w = αv 1 + βv 2 + γv 3 então α = w v 1, β = w v 2 e γ = w v 3. Interprete geometricamente este resultado. Interpretação: os três vectores geram um sistema de eixos ortogonais dois a dois e qualquer vector w R 3 pode ser lido nesse sistema de eixos como o vector de coordenadas (α, β, γ) 3

4 Problema 3 (2 valores) (a) Converta as coordenadas cilíndricas do ponto (r, θ, z) = (1, π, 1) a coordenadas cartesianas 4 (rectangulares) e a coordenadas esféricas. (b) Reescreva a equação z = x 2 y 2 em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas. Solução: a) (x, y, z) = ( 2 ρ 2 sin 2 ϕ(cos 2 θ sin 2 θ) 2, 2 2, 1), (ρ, θ, ϕ) = ( 2, π/4, 3π/4); b) z = r 2 (cos 2 θ sin 2 θ), ρ cos φ = 4

5 Problema 4 (2 valores) Considere os vectores u = 3i j + k v = i + 2j k com o mesmo ponto de aplicação de R 3, e seja θ o ângulo agudo entre as direcções de u e v. (a) Calcule a área do paralelograma gerado por u e v. (b) Calcule o valor de sin θ. Solução: a) 66 ; b) sin θ = 1 5

6 Problema 5 (3 valores) Considere a função f : U R definida por f(x, y) = log(x 2 + 4y 2 1) no domínio U desta expressão. (a) Descreva analiticamente o conjunto que define o domínio U da função f e represente geometricamente o conjunto. (b) Escreva a equação da curva de nível zero de f. Faça um esboço desta curva de nível, sem se esquecer de indicar os pontos em que a curva de nível intersecta os eixos coordenados. Solução: a) U = {(x, y) R 2 : x 2 + 4y 2 > 1}, que corresponde ao exterior duma elipse que passa nos eixos coordenados nos pontos (1, 0), (0, 1/2), ( 1, 0) e (0, 1/2); b) x y2 = 1 6

7 Problema 6 (2 valores) Calcule (ou mostre que não existe) o seguinte limite lim (x,y) (0,0) x 2 y 2 x2 + y 2 Solução: o limite existe e mostra-se que é igual a zero 7

8 Problema 7 (3 valores) Considere a função f definida pela expressão 3xy se (x, y) (0, 0) f(x, y) = x2 + y 2 0 se (x, y) = (0, 0) (a) Determine as expressões para as derivadas parciais de f em ordem a x e a y, f x e f y, em todo o R 2. (b) Verifique se f se trata duma função diferenciável em (0, 0). Solução: a) f = 3y 3 para (x, y) (0, 0) e f x (x 2 +y 2 ) 3/2 x (x, y) (0, 0) e f y = 0 para (x, y) = (0, 0), f y = 3x 3 = 0 para (x, y) = (0, 0) ; b) f não é diferenciável em (0, 0) (x 2 +y 2 ) 3/2 para 8

9 Problema 8 (2 valores) Considere as seguintes funções definidas por e Seja ainda a composição g(t) = f(c(t)). (a) Calcule d g d t (b) Calcule d g d t f(x, y) = x 2 + 3yx c(t) = (cos(5t), sin (8t)). em t = π, compondo primeiro, derivando depois. em t = π, usando a regra da cadeia. Solução: 24 9

10 Problema 9 (2.5 valores) No instante t = 0, um electrão foi ejectado da superfície metálica S de equação x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 6, a partir do ponto (1, 1, 1), com a direcção e o sentido do vector normal unitário a esta superfície. O valor da celeridade*) do electrão é de 10 unidades por segundo. Em que instante t é que o electrão atinge a superfície esférica de equação x 2 + y 2 + z 2 = 100? *) celeridade é a norma do vector velocidade. Solução: t =