UC: Análise Matemática II. Representação geométrica para Integrais Múltiplos - Volumes

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1 ETI / EI, 1 o Ano UC: Análise Matemática II Representação geométrica para Integrais Múltiplos - Volumes Elaborado de: Diana Aldea Mendes e Rosário Laureano Departamento de Métodos Quantitativos Fevereiro de 2011

2 Capítulo 1 Representação geométrica para Integrais Múltiplos RECTA Que passa pelo ponto P 1 ( 1, 1 ) na direcção do vector v =(v 1,v 2 ): (, ) =( 1, 1 )+k.(v 1,v 2 ),parak R ou ou = 1 + kv 1 = 1 + kv 2,parak R 1 v 1 = 1 v 2,parav 1,v 2 6=0 Que une os pontos P 1 ( 1, 1 ) e P 2 ( 2, 2 ): ou 1 1 = ,para 1 6= 2 1 = m ( 1 ) onde m = é o declive (para 1 6= 2 ) 1

3 2CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS ou = m + b onde m = éodeclive (para 1 6= 2 ) e b = é a ordenada na origem (para 1 6= 2 ) ou A + B + C =0onde A = 1 2 B = 2 1 e C = Que intersecta o -eio em a 6= 0eo-eio em b 6= 0: a + b =1 b 0 a Figura 1.1: Que fa um ângulo α 6= π 2 ponto P 1 ( 1, 1 ): comapartepositivado-eio epassapelo 1 = m ( 1 ) onde m =tanα é o declive Que dista p unidades da origem e a perpendicular da origem sobre a recta fa um ângulo β comapartepositivado-eio:

4 3 CIRCUNFERÊNCIA cos β + sin β = p DecentroC (0, 0) ederaior : = r 2 r 0 r DecentroC (h, k) ederaior : ( h) 2 +( k) 2 = r 2 k r 0 h Equação analítica em coordenadas polares no caso da circunferência passar pela origem r =2R cos (θ α) onde (R, α) são as coordenadas polares do centro C

5 4CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS Umpontopodelocaliar-senoplanopormeiodecoordenadas rectangulares (, ) ou por coordenadas polares (r, θ). As coordenadas rectangulares e polares relacionam-se pelas epressões = r cos θ = r sin θ e r = p θ =arctan para r 0 e 0 θ<2π. ELIPSE DecentroC (0, 0), de eio maior paralelo ao -eio, deraioa 6= 0na direcção horiontal (ou de eio maior 2a) e de raio b 6= 0na direção vertical (ou eio menor 2b): Se P é um ponto arbitrário da elipse de focos F e F 0 então verifica PF+PF 0 = 2a. 2 a b 2 =1 b 0 a DecentroC(h, k), de eio maior paralelo ao -eio, de raio a na direcção horiontal(ou de eio maior 2a) ederaiob na direcção vertical (ou eio menor 2b): Se P é um ponto arbitrário da elipse de focos F e F 0 então PF + PF 0 =2a.

6 5 ( h) 2 ( k)2 a 2 + b 2 =1 b k C(h,k) a 0 h Equações dos eios de simetria = h e = k Distância do centro C a cada um dos 2 vértices situados na recta = k é b e a distância do centro C a cada um dos 2 vértices situados na recta = h é a. Distância do centro C acadaumdos2focos(situadosnarecta = k) é c = a 2 + b 2 e a ecentricidade é dfada por ε = c a = a 2 + b 2 a Equação analítica em coordenadas polares no caso de C estar na origem r 2 = a 2 b 2 a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ Equação analítica em coordenadas polares no caso de C estar sobre a parte positiva do -eio e um dos focos estar na origem r = De eio maior paralelo ao -eio: 1 ε2,para1 εcos θ 6= 0 1 ε cos θ permutar e em coordenadas rectângulares substituir θ por π θ em coordenadas polares 2

7 6CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS PARÁBOLA Com eio de simetria vertical, de vértice V (0, 0) que dista p 2 unidades do foco F : 2 =2p, p>0 Equação analítica em coordenadas polares r = 2a 1 cos π 2 θ,para1 cos π 2 θ 6=0 0 p > 0 Com eio de simetria vertical, de vértice V (0, 0) que dista p 2 unidades do foco F : 2 =2p, p<0 Com eio de simetria vertical, de vértice V (h, k) que dista p 2 unidades do foco F : ( h) 2 =2p ( k), p>0

8 7 p < 0 0 Figura 1.2: p > 0 k 0 h Figura 1.3: Equaçãodoeiodesimetria = h Com eio de simetria vertical, de vértice V (h, k) que dista p 2 unidades do foco F : ( h) 2 =2p ( k), p<0 Equaçãodoeiodesimetria = h

9 8CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS 0 k h p < 0 Com eio de simetria vertical, de vértice V (h, 0) que dista p 2 unidades do foco F : ( h) 2 =2p, p>0 Equação do eio de simetria = h 0 h Figura 1.4: Com eio de simetria vertical, de vértice V (0,k) que dista p 2 unidades do foco F :

10 9 2 =2p ( k), p>0 Equaçãodoeiodesimetria =0 k 0 Com eio de simetria horiontal, de vértice V (0, 0) que dista p 2 unidades do foco F : 2 =2p, p>0 Equação analítica em coordenadas polares r = 2a 1 cos θ Com eio de simetria horiontal, de vértice V (h, k) que dista p 2 unidades do foco F : ( k) 2 =2p ( h), p>0 Equaçãodoeiodesimetria = k

11 10CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS p>0 Figura 1.5: k 0 h p > 0 Com eio de simetria horiontal, de vértice V (h, k) que dista p 2 unidades do foco F : ( k) 2 =2p ( h), p<0 Equação do eio de simetria = k HIPÉRBOLE

12 11 p<0 k h Figura 1.6: DecentroC (h, k), de eio maior paralelo ao -eio, de eio maior 2a 6= 0eeiomenor2b 6= 0: Se P é um ponto arbitrário da hipérbole de focos F e F 0 então verifica PF PF 0 = ±2a (o sinal depende do ramo). ( h) 2 ( k)2 a 2 b 2 =1 Distância do centro C a cada um dos 2 vértices situados na recta = h é a e a distância do centro C acadaumdos2focos(situadosnarecta = k) é c = a 2 + b 2. A ecentricidade é dada por ε = c a = a 2 + b 2 a Declives das rectas assimptotas à hipérbole ± b a Equação analítica em coordenadas polares no caso de C estar na origem r 2 = a 2 b 2 b 2 cos 2 θ a 2 sin 2 θ,parab2 cos 2 θ a 2 sin 2 θ 6= 0

13 12CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS Equação analítica em coordenadas polares no caso de C estar sobre a parte positiva do -eio e um dos focos estar na origem De eio maior paralelo ao -eio: r = ε2 1,para1 εcos θ 6= 0 1 ε cos θ permutar e em coordenadas rectangulares substituir θ por π 2 θ em coordenadas polares Seguem-se então as superfícies no espaço. PLANO O : =0 ParaleloaoO-planoque passa no ponto P 1 (a, b, d) : = d Ponto de intersecção com o -eio (0, 0,d) O : =0

14 13 d 0 0 Figura 1.7: ParaleloaoO-plano que passa no ponto P 1 (d, b, c) : = d Ponto de intersecção com o -eio (d, 0, 0) O : =0 ParaleloaoO-plano que passa no ponto P 1 (a, d, c) : = d Ponto de intersecção com o -eio (0,d,0)

15 14CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS 0 d d Figura 1.8: Que passa pelos pontos P 1 ( 1, 1, 1 ),P 2 ( 2, 2, 2 ) e P 3 ( 3, 3, 3 ): =0 Que intersecta os eios coordenados em 0 6=0, 0 6=0e 0 6=0: =1sendo 0 = d a, 0 = d b e 0 = d c Que dista p unidades da origem e a perpendicular tomada da origem sobre o plano fa ângulos α, β e γ com a parte positiva dos -eio, -eio e -eio, respectivamente: cos α + cos β + cos γ =p A representação gráfica do plano (ou de qualquer outra superfície no espaço) eige o cálculo das intersecções da superfície com os 3 eios coordenados (caso elas eistam).para determinar o ponto em que a superfície intersecta o -eio considera-se o

16 15 d/c 0 d/a d/b Figura 1.9: sistema equação da superfície =0 =0 atendendo a que o -eio é caracteriado no espaço pela condição =0 =0;na prática, trata-se de substituir na equação da superfície e por ero. O valor de que se obtem resolvendo a equação resultante da substituição efectuada é a abcissa do ponto de intersecção procurado; se da substituição resulta uma equação impossível significa que não eiste ponto de intersecção com o -eio, ou seja, a superfície não intersecta este eio coordenado.analogamente se procede para determinar a intersecção com cada um dos outros eios coordenados: com o -eio considerando a condição =0 =0ecom o -eio a condição =0 =0. Paraleloao-eio que intersecta o -eio em 0 6=0eo-eio em 0 6=0: =1sendo 0 = d b e 0 = d c Pontos de intersecção com os eios coordenados (0, 0, 0) e (0, 0, 0 )

17 16CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS d/c d/b Figura 1.10: Paraleloao-eio que intersecta o -eio em 0 6=0eo-eio em 0 6=0: =1sendo 0 = d a e 0 = d c Pontos de intersecção com os eios coordenados ( 0, 0, 0) e (0, 0, 0 ) Paraleloao-eio que intersecta o eio em 0 6=0eo-eio em 0 6=0: =1sendo 0 = d a e 0 = d b Pontos de intersecção com os eios coordenados ( 0, 0, 0) e (0, 0, 0) SUPERFÍCIE ESFÉRICA

18 17 Figura 1.11: DecentroC (0, 0, 0) eraior : = R 2 A figura seguinte ilustra a superfície esférica (de centro C(0, 0, 0) e) de raio R =2 Projecção no O-plano circunferência de equação = R 2

19 18CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS A obtenção da curva de projecção da superfície esférica (ou de qualquer outra superfície no espaço) no O-plano obtem-se pela resolução do sistema equação da superfície =0 por ser a condição =0que caracteria o O-plano.Analogamente para cada um dos outros planos coordenados: para a projecção no O-plano usa-se a condição =0e para a projecção no O-plano usa-se =0. Equação analítica em coordenadas esféricas ρ = R Um ponto pode localiar-se no espaço por meio de coordenadas rectângulares (,, ) ou por coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) (entre outras). esféricas relacionam-se pelas epressões = ρ sin θ cos ϕ = ρ sin θ sin ϕ = ρ cos θ As coordenadas rectângulares e ou ρ = p θ =arccos ϕ = arctan para ρ 0, 0 θ<2π e 0 ϕ π 2. DecentroC ( 0, 0, 0 ) eraior : ( 0 ) 2 +( 0 ) 2 +( 0 ) 2 = R 2 A figura ilustra a superfície esférica de centro C (3, 2, 4) ederaior =1easua

20 19 projecção no O-plano (ou seja, a circunferência de centro C 0 (3, 2) eraio1 4 R=1 2 R= De notar que as projecções da superfície esférica nos O-plano ou O-plano são também circunferências de raio 1 mas de centros diferentes: de centro C 00 (3, 4) paraaprojecçãonoo-plano, de centro C 000 (2, 4) para o O-plano. Equação analítica em coordenadas esféricas ρ 2 + ρ 2 0 2ρ 0ρ sin θ sin θ 0 cos (ϕ ϕ 0 )=R 2, sendo (ρ 0,θ 0,ϕ 0 ) as coordenadas esféricas de C ELIPSÓIDE DecentroC (0, 0, 0), deraioa na direcção, de raio b na direcção eraioc na direcção : Projecção no O-plano 2 a b c 2 =1 elipse de equação 2 a b 2 =1 Projecção no O-plano elipse de equação 2 b c 2 =1

21 20CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS Projecção no O-plano elipse de equação 2 a c 2 =1 DecentroC ( 0, 0, 0 ),deraioa na direcção, deraiob na direcção eraioc na direcção : ( 0 ) 2 a 2 + ( 0) 2 b 2 + ( 2 0) c =1 2 A figura ilustra o elipsóide de equação ( 1) 2 ( +2)2 ( 2)2 + + = Tem centro C (1, 2, 2) eraio1 na direcção, raio3 na direcção eraio4 na direcção. PARABOLÓIDE ELÍPTICO DevérticeV(0, 0, 0) que se desenvolve ao longo da direcção : 2 a =2p, p 6= 0 b2

22 21 Projecção no O-plano elipse de equação 2 a b 2 =1 p > 0 p < 0 O parabolóide desenvolve-se ao longo da direcção, a variável que não aparece eplicitamente na sua equação. DevérticeV ( 0, 0, 0 ) que se desenvolve ao longo da direcção : Projecção no o-plano ( 0 ) 2 a 2 + ( 0) 2 b 2 = 0 +2p elipse de equação ( 0) 2 a 2 + ( 0) 2 b 2 = 0 d p > 0 p < 0

23 22CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS p > 0 As últimas 2 figuras representam parabolóides transladados apenas na direcção na direcção do, respectivamente. Que se desenvolve ao longo da direcção : permutar e em coordenadas rectangulares A figura seguinte ilustra o mesmo parabolóide elíptico diferente posicionamento dos eios coordenados ( α)2 a =2p em b2 Que se desenvolve ao longo da direcção : permutar e em coordenadas rectangulares

24 23 CILINDRO ELÍPTICO Que se desenvolve ao longo da direcção : 2 a b 2 =1 Projecçção no O-plano elipse de equação 2 a b 2 =1 b b a a Alterando 2 para ( 0 ) 2 dá-se um deslocamento do cilindro na direcção em 0 unidades. Se 2 dá lugar a ( 0 ) 2 e, simultaneamente 2 dá lugar a ( 0 ) 2 obtem-se um cilindro deslocado em ambas as direcções e de equação ( 0 ) 2 a 2 + ( 0) 2 b 2 =1 cuja projecção no plano é a elipse de centro C ( 0, 0 ) ederaioa na direcção e raio b na direcção.

25 24CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS β a α β b α a Que se desenvolve ao longo da direcção : Projecção no O-plano 2 a b 2 =1 ou ( 0 ) 2 a 2 + ( 0) 2 b 2 =1 elipse de equação 2 a b 2 =1 ou ( 0) 2 a 2 + ( 0) 2 b 2 =1 a b b a Que se desenvolve ao longo da direcção : 2 a b 2 =1 ou ( 0 ) 2 a 2 + ( 0) 2 b 2 =1

26 25 Projecção no O-plano elipse de equação 2 a b 2 =1 ou ( 0) 2 a 2 + ( 0) 2 b 2 =1 CILINDRO PARABÓLICO Que se desenvolve ao longo da direcção emtorno dadirecção: 2 =2p, para p 6= 0 Projecção no O-plano parábola de equação 2 =2p, para p 6= 0 O cilindro desenvolve-se na direcção, a direcção da variável que não aparece eplicitamente na sua equação. p > 0 p < 0 O parabolóide desenvolve-se em torno da direcção, a direcção da variável quadrática. Osinaldocoeficiente p da variável linear condu à orientação do parabolóide: virada para a parte positiva do eio da variável linear se p>0 e virada para a parte negativa do eio dessa variável se p<0.

27 26CAPÍTULO 1. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA PARA INTEGRAIS MÚLTIPLOS Se além disso a equação contém uma constante, por eemplo, 2 =2p + b então o cilindro desloca-se b unidades na direcção da variável linear, nesse caso de. Atenção também no signal de b que pode ser negativo ou positivo Que se desenvolve ao longo da direcção em torno da direcção : 2 =2p, para p 6= 0 Que se desenvolvem ao longo da direcção : 2 =2p ou 2 =2p, para p 6= 0 Que se desenvolvem ao longo da direcção : 2 =2p ou 2 =2p, para p 6= 0 Não se esqueça que antes de faer o gráfico de qualquer das superfícies referidas acima é conveniente pôr a sua equação na forma analítica standard identificar o papel das diferentes variáveis atender ao sinal dos coeficientes que afectam as variáveis atender às constantes que determinam translações determinar os pontos de intersecção com os eios coordenados identificar algumas curvas de projecção nos planos coordenados.