2 o TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERC, LEGI, LEE 22 de Novembro de 2008 (9:00) Teste 201

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 2 o semestre 08/09 Nome: Número: Curso: Sala: 2 o TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERC, LEGI, LEE 22 de Novembro de 2008 (9:00) Teste 201 O Teste que vai realizar tem a duração total de 90 minutos e consiste de nove poblemas. Os problemas estão divididos em alíneas com as cotações indicadas na tabela abaixo. O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não escreva nada. Probl 1 Probl 2.a) Probl 2.b) Probl 2.c) Probl 3 Probl 4 Probl 5.a) Probl 5.b) Probl 6 Probl 7 Probl 8 2 Val 0.5 Val 1 Val 1.5 Val 3 Val 2 Val 1 Val 2 Val 3.5 Val 1.5 Val 2 Val NOTA FINAL: 1

2 Problema 1 (2 valores) Seja A uma matriz invertível. Determine as matrizes X, Y e Z, em termos das matrizes A, B e C, tais que [ ] [ ] [ ] [ ] A B I 0 A 0 I Y =, C I X I 0 Z 0 I onde os blocos matriciais têm tamanhos apropriados. Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar! Solução: X = CA 1, Y = A 1 B e Z = I CA 1 B. 2

3 Problema 2 (3 valores) Considere nas alíneas seguintes os vários problemas de computação gráfica 2D relativamente ao quadrado de vértices (1, 2), (2, 2), (1, 3) e (2, 3). (a) Esboce o quadrado original e a imagem do quadrado, quando este é rodado em torno do ponto p = (1, 2) num ângulo de π/6. (b) Usando coordenadas homogéneas, construa a matriz que permite deslocar o vértice p = (1, 2) para a origem. (c) Usando coordenadas homogéneas, construa a matriz que permite rodar o quadrado em torno do ponto p = (1, 2) num ângulo de π/6. Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar! /2 1/2 3/2 Solução: (b) ; (c) 1/2 3/2 3 5/

4 Problema 3 (3 valores) Considere a matriz A = Determine uma base para o espaço Col A e uma base para Nul A e indique as respectivas dimensões. Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar! 1 1 Solução: B Col A = 1 0, 0 1 1, dimcol A = 2; B Nul A = 4, dimnul A =

5 Problema 4 (2 valores) Calcule o determinante da seguinte matriz B, usando operações elementares do Método de Eliminação de Gauss sobre as linhas da matriz: B = Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar! Solução: detb = 0 5

6 Problema 5 (3 valores) Num dado país existem três grandes cidades que são pólo de desenvolvimento. Cada uma destas cidades possui um sector económico predominante: a cidade A atrai muitos turistas, a cidade B tem muitas fábricas de componentes electrónicos e a cidade C caracteriza-se por uma indústria pesqueira desenvolvida. Em cada cinco anos, 10% dos habitantes da cidade A deslocam-se para a cidade B e 10% deslocam-se para a cidade C. Dos habitantes da cidade B, 20% deslocam-se em média, ao fim de cinco anos, para a cidade A e 10% deslocam-se para a cidade C. Finalmente, durante o mesmo período de tempo, 40% dos habitantes da cidade C deslocam-se para a cidade A e 20% deslocam-se para a cidade B. (a) Faça uma representação esquemática da mobilidade da população e construa a matriz M estocástica que descreve a mobilidade quinquenal da população no país descrito acima. (b) Determine a percentagem de população residente em cada uma das cidades depois dum longo período de tempo, i.e. calcule o vector estacionário q que verifica a condição Mq = q. Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar! Solução: (a) M = ; /7 (b) q = 2/7, i.e., a longo prazo, 4/7 da população total irá morar na cidade A, 2/7 da população 1/7 irá morar na cidade B, e apenas 1/7 na cidade C. 6

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8 Problema 6 (3.5 valores) Considere a matriz A = [ ] Justifique que a matriz A é diagonalizável. Calcule explicitamente a matriz diagonalizante P e a matriz diagonal D tal que A = P DP 1. Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar! Solução: [ ] [ ] [ ] [ A = = ] 1 8

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10 Problema 7 (1.5 valores) Sejam a transformação linear T : R n R m e a respectiva matriz A m n que a representa. Preencha os espaços entre n e m com uma relação de ordem (<, >,, ou =) de modo a que as afirmações fiquem correctas: Para n m a transformação linear T pode eventualmente ser injectiva e para n < m a transformação linear T nunca é sobrejectiva. Quanto à matriz A, ela só poderá eventualmente ser invertível, quando n = m. Problema 8 (2 valores) Mostre que a matriz A e a sua transposta A T possuem o mesmo polinómio característico. Justifique usando propriedades dos determinantes e da transposta! Sugestão: mostre que det(a T λi) = det(a λi) T. 10

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