2. Calcule o determinante das seguintes matrizes usando o teorema de Laplace. ab (a) (b) (c) 2 5. (e) 0 a b a 0 c b c 0. (h)

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1 3.. determinante de uma riz página /5 departamento de emática universidade de aveiro. Determine o número de inversões e classifica qnto à paridade as seguintes permutações de {,, 3, 4, 5}: (3, 4,, 5, ) (4,, 5, 3, ) (5, 4, 3,, ) (d) (,, 3, 4, 5) (e) (, 3, 5, 4, ) (f) (, 3, 5, 4, ). Calcule o determinante das seguintes rizes usando o teorema de Laplace. [ ] [ ] [ ] a ab 5 4 ab b (d) (g) (j) [ a + a a a b c b c c b ] Considere a riz A = (e) (h) (k) Calcule o seu determinante a b a 0 c b c a 0 0 b x 0 c y z d r s t. (f) (i) Em cada alínea, aplique as propriedades do determinante e indique o valor do determinante da riz B, sabendo que B é a riz obtida a partir de A efectndo as seguintes operações elementares: i. L L 3 ; ii. L := 7 L ; iii. L := 3 L e L 3 := L 3 ; iv. L 3 := L 3 + L ; v. L := L L e L L 3 ; vi. L := L + 7L e L 3 := L 3 Confirme os resultados obtidos na alíneas anteriores, efectndo os cálculos.

2 3.. determinante de uma riz página /5 4. Em cada caso, calcule o determinante, transformando a riz dada numa riz triangular superior por meio de operações elementares sobre as linhas e aplicando as propriedades do determinante. De seguida, verifique os seus cálculos usando o teorema de Laplace, e faça uma estiiva de ql o método mais eficiente a b c 5. Sabendo que d e f = 5, determine: d e f d 6a e 6b f 6c a b c a 7g b 7h c 7i a b c d e f 4g 4h 4i a + d b + e c + f a b c 3a 3b 3c (d) d e f (e) d 3a e 3b f 3c (f) 7g 7h 7i d e f y + z x + z y + x 6. Sem efectr cálculos, prove que x y z = Sejam A, B e C rizes qdradas de ordem 3 tais que det A =, det B = 3 e det C =. Calcule: det ( A 3 B C T B A ) ( ) ; det B T A B CA (C ) T ; det ( A T B C ) ; (d) det ( 4(BA) T (CA) ). 8. Sejam A e B rizes qdradas de ordem 3 tais que det(a ) = 5 = det ( A (B T ) ). Calcule det A e det B. 9. Sejam A e B rizes qdradas de ordem n, com n N. Mostre que se A é invertível então det B = det(a BA). 0. Sejam A e B rizes qdradas de ordem n, com n N. Prove que det ( A + B T ) = det ( A T + B ) ( Sugestão: Mostre que A T T + B) = A + B T. Justifique que está errado o seguinte argumento: det ( A + B T ) = det A + det ( B T ) = det ( A T ) + det B = det ( A T + B ).

3 3.. determinante de uma riz página 3/5. Seja A uma riz qdrada de ordem n, com n N. Indique os valores possíveis para o determinante da riz A, sabendo que: A = I; A = 3A; A = A T e n é ímpar; (d) A + I = 0 e n é par; (e) A 3 = A. a b. Mostre que A = a c é invertível para qisquer a, b, c R. b c { x y = αx 3. Considere o sistema de eqções lineares. x y = αy Mostre, aplicando as propriedades do determinante, que a s única solução é a solução trivial. 4. Considere as rizes a 0 A = 0 a e B = a b b b b Determine os valores dos parâmetros a e b para os qis as rizes A e B são invertíveis e calcule A e B para esses valores encontrados. 5. Mostre que a riz D = é invertível e determine a s inversa. cos θ sen θ 0 sen θ cos θ Considere o sistema de eqções lineares x + y + α z = x + α y + z = α x + y + z = α. Escreva a riz A dos coeficientes do sistema e mostre que det A = (α ) (α + ) (α + ). Justifique a afirmação: Se α = 0, a riz A é invertível. Fazendo α = 0, calcule A. (d) Discuta o sistema em função do parâmetro α, aplicando as alíneas anteriores. (e) Determine o conjunto solução do sistema qndo α = 0.

4 3.. determinante de uma riz página 4/5 7. Sejam A, B e C rizes qdradas de ordem n, com n N. Em cada caso, ou mostre que a afirmação é verdadeira ou dê um exemplo mostrando que é falsa. Se det A = 0 então A possui ds linhas idênticas. det( A) = det A. det(a + B) = det A + det B. (d) Se n =, det(5a) = 5 det A. (e) Se det A = det B então A = B. (f) Se a diagonal principal de A é constituída por zeros então det A = 0. (g) Se A T = A então det A =. (h) det(3a) = 3 det A. (i) det(ab) = det(ba). (j) Se A 3 = 3I então A é invertível. (k) Se A = A e A 0 então A é invertível. (l) Se A é invertível então A é invertível.

5 soluções 3.. determinante de uma riz página 5/5. ímpar: 5 inversões; ímpar: 7 inversões; par: 0 inversões; (d) par: 0 inversões; (e) par: 4 inversões; (f) ímpar: 5 inversões.. 7; 0; 0; (d) ; (e) 39; (f) 9; (g) 3bc b 3 c 3 ; (h) abc; (i) 56; (j) 0; (k) abcd i. 6; ii. 8; iii. 84; iv. 6; v. 6 vi ; 3; ; 5; 40 (d) 5; (e) 35 (f) ; ; ; (d) det A = 8 5 e det B = det A {, }; det A {0, 3 n }; det A = 0; (d) det A {, }; (e) det A {, 0, }.. det A = + a + b + c. 4. A é invertível se e só se a R \ {, 0, } e A = a B é invertível se e só se b R \ {, } e B = 5. D = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ α 6. A = α ; A = α (d) sistema impossível: α = ; sistema possível e indeterminado: α = ; sistema possível e determinado: α R \ {, }; (e) CS = {(, 0, 0)}.. a a a a ; a + a a b 0 b+ b+ b b. b b b b+ b 7. F; F; F; (d) V; (e) F; (f) F; (g) F; (h) F; (i) V; (j) V; (k) F; (l) V. ;