folha prática 1 matrizes e sistemas de equações lineares página 1/8 (a) A + B; (b) B 2A; (c) AD; (d) DA; (e) ACD; (f) 1 5

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1 folha prática matrizes e sistemas de eqções lineares página /8 Universidade de Aveiro Departamento de Matemática Matrizes Calcule T Considere as matrizes A =, B = 3 4, C = Calcule, D = (a) A + B; (b) B A; (c) AD; (d) DA; (e) ACD; (f) 5 3 Considere as matrizes 3 A = 3, B = 3 3 Calcule (A + B) AB 4 Escolha uma maneira de ordenar as matrizes A =, B =, C =, D = de modo que o produto das qtro matrizes esteja definido e calcule esse produto 5 Calcule a primeira coluna e a segunda linha do produto 3 4 ( I (DA) ) 6 Mostre que se os produtos AB e BA estão ambos definidos e A é uma matriz m n, então B é uma matriz n m 7 Verifique que o produto de matrizes não é comutativo, calculando EA e AE para 3 E = 3 e A = Ql o efeito na matriz A após efectr os produtos EA e AE? 8 Calcule 4 µ µ µ n

2 folha prática matrizes e sistemas de eqções lineares página /8 9 Considere a matriz A = (a) Mostre que A = A I (b) Mostre que A 3 = 3A I, recorrendo à alínea anterior Verifique que as identidades algébricas i (A + B) = A + AB + B ii (A + B)(A B) = A B iii (A B) = A AB + B iv (AB) = A B nem sempre são verdadeiras qndo A e B são matrizes Considere, por exemplo, as matrizes: (a) A =, B = ; (b) A =, B = 3 4 Corrija os segundos membros das identidades i iv de forma a obter identidades verdadeiras para qisquer A e B matrizes n n Indique, justificando, se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas (a) Se A, B, C são matrizes tais que A + C = B + C, então A = B (b) Se A, B, C são matrizes tais que AB = AC, então A = O (matriz nula) ou B = C (c) Se A é uma matriz tal que A = I n, então A = I n ou A = I n Se A é uma matriz n n tal que AA T = O, mostre que A = O (sendo O a matriz nula n n) 3 Seja A uma matriz qdrada Mostre que A + A T é uma matriz simétrica O que pode afirmar sobre a matriz A A T? 4 Seja A = [a ij ] uma matriz m n e C = c uma matriz n c n Verifique que AC = c col (A) + + c n col n (A), onde col i (A) = 5 Usando o exercício anterior, calcule AC para (a) A = 4, C = ; 3 x (b) A =, C = y e determine C de modo que AC = z a i a mi designa a coluna i de A [ ] 6 Indique qis das seguintes matrizes são matrizes na forma escalonada por linhas: i ; ii ; iii ; iv 5 5 Determine matrizes equivalentes por linhas às matrizes dadas que estejam: (a) na forma escalonada por linhas; (b) na forma escalonada por linhas reduzida 4 5

3 folha prática matrizes e sistemas de eqções lineares página 3/8 Sistemas de Eqções Lineares 7 Resolva, qndo possível, os seguintes sistemas usando o método de eliminação de Gauss (ou Gauss- Jordan) (a) (c) (e) (g) { 3x x = 4 x x = x + x x 3 = 3x x + x 3 = x 3x + 3x 3 = 4x + 3x + x 3 = x + 3x + 5x 3 = 3x + 6x + 9x 3 = x + x = x + x + x 3 = 4 x + x 3 + x 4 = 3 x 3 + x 4 + x 5 = x 4 + x 5 = { x 3x (b) = 4 x 3x = x x + x 3 = 4 (d) x + x + x 3 = x 5x + 7x 3 = 3x + 4x 5x 3 + 7x 4 = x (f) 3x + 3x 3 x 4 = 4x + x 3x 3 + 6x 4 = 7x x + x 3 + 3x 4 = x x + 3x 3 4x 4 + x 5 = x + x x 3 x 5 = 3 (h) x x + x 3 3x 4 = x x 3 + x 4 x 5 = 5 x + 3x x 3 + x 4 + 4x 5 = 8 Determine os valores de α para os qis os sistemas { αx + y = x + y = α (a) x + αy = ; (b) x + y + 3z = x 3y z = 7 x y = 3 ; (c) 5y z = 3 α x + 4α y z = α + i não tem solução; ii tem exatamente uma solução; iii tem uma infinidade de soluções 9 Considere o sistema de eqções x + βy + βz = βx + y + z = x + y + βz = β (a) Discuta o sistema em função de β (b) Considere o sistema homogéneo associado a β = e determine a s solução Considere o sistema de eqções lineares x y z = x + y + z = x by + z = a a, b onde a e b são parâmetros reais (a) Determine os valores de a e b para os qis o sistema é: i possível e determinado; ii impossível (b) Sabendo que (,, ) é uma solução do sistema, determine o conjunto de todas as soluções Considere o sistema de eqções lineares associado à seguinte matriz ampliada: α α α α α α 3 Discuta o sistema em função do parâmetro α e apresente as correspondentes soluções (caso existam)

4 folha prática matrizes e sistemas de eqções lineares página 4/8 Considere o sistema de eqções lineares associado à seguinte matriz ampliada: α β αβ α α β β β α Discuta o sistema em função do parâmetros α e β 3 Considere o sistema de eqções lineares x + 4x = 6 5x x = 4 3x + ax = 9 4x + bx = 7 Determine a e b de forma que o sistema seja possível e determine o conjunto de soluções nesse caso 4 Considere o seguinte sistema, nas variáveis x, y e z, com parâmetros reais a, b, c: x + y + z = a x y + 3z = b 4x + y + 5z = c Verifique que o sistema é possível se e só se a + b c = 5 Considere o sistema representado matricialmente por AX = B com A = α + α + e B = α α α + Diga, justificando, para que valores do parâmetro α o sistema é(a) impossível;(b) possível e determinado; (c) possível e indeterminado 6 Seja A uma matriz qlquer Se B é uma coluna de A, mostre que o sistema AX = B é possível e indique uma solução Matriz Inversa 7 Averigue se são singulares as matrizes A = e B = Considere as matrizes 3 A =, B = 5 7 (a) Mostre que C = ADB (b) Verifique se B é a matriz inversa de A (c) Calcule C 5, usando as alíneas anteriores 7 3, C = 5 7 6, D = Determine as inversas das seguintes matrizes: (a) 3 4 ; (b) 5 7 ; (c) ; 5 4 (d)

5 folha prática matrizes e sistemas de eqções lineares página 5/8 3 Considere a matriz M = 4 (a) Verifique que M satisfaz a eqção M 3 4M I 3 = (b) Prove, sem calcular o seu valor, que M = M 4I 3 (c) Calcule M pela eqção da alínea anterior e verifique o resultado obtido 3 Se A é uma matriz invertível e α R é não nulo, mostre que a matriz αa é invertível e (αa) = α A 3 Sejam A e B matrizes qdradas Mostre que, se AB é invertível, então A e B também são 33 Seja A uma matriz n n qlquer Suponhamos que existe um número natural k tal que A k = O (matriz nula n n) Mostre que I n A é invertível, tendo-se (I n A) = I n + A + A + + A k 34 Usando o exercício anterior, calcule a inversa da matriz M = 35 Encontre todos os valores de α para os qis α é invertível 36 Se A e B são matrizes invertíveis, mostre que Que igldade é esta no caso de matrizes? A + B = A (A + B)B 37 Seja A uma matriz n n tal que A 4 = O (matriz nula n n) Mostre que (I n + A) = (I n A)(I n + A ) 38 Sejam A uma matriz m n e B uma matriz n m tais que I m AB seja invertível (a) Prove que também I n BA é invertível, sendo (I n BA) = I n + B(I m AB) A (b) Verifique que A(I n BA) = (I m AB) A e que (I n BA) B = B(I m AB) 39 Resolva a seguinte eqção matricial relativamente à matriz X: X = Considerando as matrizes A =, B =, C = 3, D = resolva as seguintes eqções matriciais relativamente à matriz X: (a) ( (B ) T X ) A = I; (b) ( C T D T X ) T = E, E = 4, 4 8

6 folha prática matrizes e sistemas de eqções lineares página 6/8 4 Sabendo que A = [ ] e B = determine a matriz M que satisfaz a eqção matricial AMA = B, 4 Considere o sistema de eqções lineares 4x + y + 3z = 3x + y + 3z = 5x + y + 4z = (a) Mostre que a matriz dos coeficientes do sistema é invertível e calcule a s inversa (b) Justifique que o sistema é possível e determinado Indique a s solução 43 Mostre que se A é invertível, então A T também é invertível e (A T ) = (A ) T 44 Uma matriz qdrada diz-se ortogonal se for invertível e a s inversa coincidir com a s transposta Mostre que (a) o produto de ds matrizes ortogonais é ainda uma matriz ortogonal; (b) a inversa de uma matriz ortogonal é ainda uma matriz ortogonal Aplicações 45 Considere o circuito eléctrico representado na figura seguinte: R V A + R R 3 V B + constituído por dois geradores de tensão V A = 7 V e V B = 5 V e três resistências R = kω, R = 5 kω e R 3 = 5 kω Determine a intensidade das correntes que passam pelas três resistências Observação: Para resolver o exercício é preciso aplicar as Leis de Kirchhoff: (a) (lei dos nós) a soma das correntes que entram num nó é igl à soma das correntes que dele saem (ou seja, um nó não acumula carga); (b) (lei das malhas) a soma da diferença de potencial eléctrico ao longo de qlquer caminho fechado (malha) é nula A direção escolhida para percorrer a malha determina o cálculo das diferenças de potencial consoante as seguintes convenções: V A + V = V A + V A V = V A R I V = RI R I V = RI Num gerador de tensão, a diferença de potencial eléctrico medida do polo positivo para o polo negativo é positiva; caso contrário é negativa Numa resistência R percorrida por uma corrente I, a diferença de potencial eléctrico, medida com o mesmo sentido que a corrente, é dada pela Lei de Ohm, isto é, V = RI; caso contrário, V = RI

7 folha prática matrizes e sistemas de eqções lineares página 7/8 46 A companhia aérea Voabem serve qtro cidades, C, C, C 3 e C 4 As ligações podem ser representadas por um grafo orientado: C existem voos de C para C e C 3 ; C C 3 existem voos de C para C e C 3 ; existem voos de C 3 para C e C 4 ; C 4 existem voos de C 4 para C e C 3 (a) Escreva a matriz A = [a ij ] 4 4 tal que {, se existe um voo de C i para C j a ij =, caso contrário chamada a matriz de adjacência associada ao grafo (b) A matriz A r = [a (r) ij ] é tal que a(r) ij representa o número de itinerários diferentes de ligação da cidade C i à cidade C j utilizando r voos Determine qntos itinerários diferentes existem para irmos da cidade C 4 para a cidade C 3 utilizando: i apenas um voo; ii dois voos; iii três voos Para cada uma das alíneas anteriores, determine explicitamente todos os itinerários 47 Considere uma economia que consiste em três setores interdependentes: indústria, agricultura e serviços Cada um destes setores produz um bem e para produzir esse bem necessita de bens produzidos pelos outros dois setores e por ele próprio Na tabela seguinte, as entradas de cada coluna representam as qntidades de produto dos três setores que são necessárias para produzir uma unidade de produto do setor correspondente à coluna Por exemplo, a entrada (, ) significa que são precisas, 3 unidades da produção agrícola para cada unidade produzida pela indústria Indústria Agricultura Serviços Indústria,,, Agricultura,3,, Serviços,,, Vamos assumir que a economia está em equilíbrio: a qntidade de bens produzidos é igl à procura, ou seja, à soma da procura intermédia (bens a serem consumidos pelos próprios setores produtivos) e da procura final (bens a serem consumidos por outros setores como, por exemplo, o consumidor final) (a) Suponha que a indústria, a agricultura e os serviços produzem c, c e c 3 unidades, respetivamente i Determine a procura intermédia correspondente ii Determine a procura final correspondente (b) Suponha que a procura final é de 8, 5, 9, 5 e unidades para o setor da indústria, agricultura e serviços, respetivamente Determine a produção que os vários setores têm de ter para satisfazerem esta procura final Nota: O que foi descrito é um exemplo de um modelo de economia aberta de Leontief Wassily Leontief recebeu, em 973, o prémio Nobel da economia pelo desenvolvimento deste modelo, que contin a ser utilizado na análise de problemas da economia dos nossos dias

8 folha prática matrizes e sistemas de eqções lineares página 8/8 48 Uma unidade de torrefação de café está interessada em testar uma mistura de três tipos de grãos para obter um lote final de 44 kg com um custo de 65 e O primeiro tipo de grão custa, 44 e por quilograma, enqnto o segundo custa, 37 e por quilograma e o terceiro, 4 e por quilograma Verifique se é possível obter o lote anteriormente referido usando, na s confeção, igis qntidades (a) do primeiro e segundo ou (b) do primeiro e terceiro tipos de grão 49 O Sr Silva é dono de um pinhal que explora para produção de árvores de Natal As árvores estão catalogadas por faixas crescentes de altura em três classes, a, a e a (note-se que a lei proíbe a venda das árvores na classe a ) O corte das árvores para venda é feito no início de dezembro e, por cada árvore cortada, é semeada uma nova Depois, de janeiro a dezembro, uma fração g =, 5 das árvores da classe a e uma fração g =, das árvores da classe a que não foram cortadas, cresce o suficiente para passar a pertencer às classes a e a, respetivamente, enqnto as restantes árvores continm na mesma classe (supõe-se que não há perdas de árvores durante o seu crescimento) O Sr Silva pretende implementar uma florestação sustentável, isto é, pretende que a configuração do pinhal (o número de árvores em cada classe) antes do corte, em dezembro, seja igl à do ano anterior (a) Sabendo que, inicialmente, o número de árvores nas classes a, a e a é, respetivamente, n = 45, n = 35 e n = 4, determine o número de árvores a cortar para venda (b) Como os clientes procuram, em média, 5 árvores da classe a e da classe a, ql será a melhor configuração do pinhal, mantendo o mesmo número total de árvores?

9 soluções matrizes e sistemas de eqções lineares página / (a) 4 4 ; (b) 4 ; (c) ; (d) ADBC = ou BADC = ; (e) ; (f) A primeira coluna é 3 e a segunda linha é [ 3 4 ] EA = 7 5 AE = µ 4 8 µ 4 µ 4 n i (A + B) = A + AB + BA + B ; ii (A + B)(A B) = A AB + BA B ; iii (A B) = A AB BA + B ; iv (AB) = ABAB (a) Verdadeira; (b) falsa; (c) falsa z 5 (a) AC = x y 5 ; (b) AC = e C = z, z R x y + z 5 z 6 ii e iv (a) i 3 3 ; iii (b) i ; ii ; iii ; iv [ 3 7 (a) x =, x = ; (b) x = 3, x = 3 ; (c) x = 4, x = t, x 3 = t, t R; (d) impossível; (e) x = t, x = 3 t, x 3 = t, t R; (f) x = 3 7 t 3 7 t, x = 9 7 t 7 t, x 3 = t, x 4 = t, t, t R; (g) x = 6 t, x = 5 + t, x 3 = 3, x 4 = t, x 5 = t, t R; (h) impossível 8 (a) i α =, ii α e α, iii α = ; (b) i α 5, iii α = 5; (a) i α =, ii α e α, iii α = impossível se β = ; 9 (a) O sistema é possível e indeterminado de grau um se β = ; possível e determinado se β e β (b) A única solução é a solução trivial, isto é, x = y = z = (a) i a R e b R \ { }; ii a R \ {} e b = (b) {(, y, y) : y R} ]

10 soluções matrizes e sistemas de eqções lineares página /3 O sistema é impossível se {( α = ou α = ; )} o sistema é possível e determinado se α R \ {, } e nesse caso o conjunto solução é, α, 3 α O sistema é possível e determinado se α, β e α β; é possível e indeterminado se α = ± e β = ou α = e β = ; é impossível nos outros casos 3 a =, b = 5, {(, 3)} 4 Observe que a matriz ampliada do sistema é equivalente por linhas a b a 3 a c b a impossível se α = ou α = ; 5 O sistema é possível e indeterminado de grau um se α = ; possível e determinado se α R \ {,, } 6 Se B é a coluna i de A, então X = [ ] T com na linha i e as restantes entradas nulas é uma solução 7 A não é singular e B é singular 8 (c) C 5 = AD 5 B = (a) ; (b) ; (c) ; (d) (c) M = M(M 4I) = AB é invertível, portanto I = (AB)(AB) = A ( B(AB) ) Logo, A é invertível, sendo A = B(AB) Assim, também B é invertível, pois B = A (AB) é o produto de ds matrizes invertíveis 33 (I n + A + A + + A k )(I n A) = I n A k = I n 34 M = I A com A =, sendo A 3 = O Logo, M = (I A) = I + A + A = 35 α R \ {} 38 Observe-se que A(I BA) = A ABA = (I AB)A e que B(I AB) = B BAB = (I BA)B 4 39 X = 6 4 (a) X = B T A = ; (b) X = ( E(DC) ) T 4 = M = 3 4 (a) 3 3 (b) x =, y =, z = 45 I = 6 µa (esquerda direita), I = µa e I 3 = 4 µa (cima baixo)

11 soluções matrizes e sistemas de eqções lineares página 3/3 46 (a) : C 4 C 3 ;(b) : C 4 C C 3 ; (c) 3: C 4 C 3 C 4 C 3, C 4 C 3 C C 3, C 4 C C C 3 47 (a) i A procura intermédia de bens da Indústria, da Agricultura e dos Serviços é, respetivamente p i =, c +, c +, c 3, p i =, 3c +, c +, c 3 e p i 3 =, c +, c +, c 3 ii A procura final, com notação análoga, é p f k = c k p i k, k =,, 3 (b) c = 5, c =, c 3 = 48 (a) Não; (b) sim 49 (a) árvores na classe a e 5 na classe a ; (b) n = 45, n = 55 e n =