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1 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - /. Se possível dê exemplos de (a) Uma equação não linear. (b) Uma equação linear com termo independente igual ao seu número de aluno e tenha dois coe cientes das incógnitas simétricos um do outro. (c) Uma sistema de equações lineares possível e indeterminado. (d) Um sistema de equações lineares impossível, com três equações e duas incógnitas. (e) Um sistema de equações lineares do qual (; ; ) seja solução (f) Uma sequência (s ; s ; s ) de números reais que seja solução de um sistema de equações lineares, cuja matriz simples seja do tipo (g) Um sistema de equações lineares cuja solução geral tenha duas variáveis livres e duas variáveis dependentes. (h) Um sistema de equações lineares cuja matriz ampliada seja do tipo (i) Um sistema de equações lineares possível e determinado, cuja matriz ampliada seja do tipo (j) Um sistema de equações lineares homogéneo, cuja matriz simples seja do tipo. O registo mais antigo conhecido de análise simultânea de equações encontra-se no antigo livro chinês Chiu-chang Suan-shu (Nove capítulos em aritmética), que se estima ter sido escrito por volta de a.c. No começo do Capítulo VIII, aparece um problema da seguinte forma Três medidas de uma boa colheita, duas medidas de uma colheita medíocre e uma medida de uma colheita má são vendidas por 9 dou; duas medidas de boa, três de medíocre e uma de má são vendidas por dou; e uma de boa, duas de medíocre e três de má são vendidas por dou. Qual é o preço recebido por cada medida de boa colheita, cada medida de colheita medíocre e cada medida de má colheita? Resolva o problema utilizando as técnicas matriciais estudadas. < x y + z + w =. Considere o sistema de equações x y + w = x + z + w = (a) Veri que se (; ; ; ) ou ( ; ; ; ) são soluções do sistema. (b) Escreva a forma matricial do sistema e a sua matriz ampliada.. Indique a solução geral de cada um dos seguintes sistemas (note que não é necessário efectuar cálculos) x z w = (a) y + w = < x + x + x = (b) x + x = x + x + x = (c) AX = B; com A = ; B =

2 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - /. Resolva, por algum dos métodos de eliminação estudados, os sistemas de equações AX = B, para os seguintes pares de matrizes A e B (a) A = ; B = (b) A = ; B = (c) A = ; B = (d) A = ; B =. Determine a solução geral, dos seguintes sistemas de equações, utilizando um dos métodos de eliminação < x y + z = < x y + z = (a) x y + z = (b) x y + z = x + y + z = x y + z = x x x + x = < x x (c) + x + x + x = x + x + x = (d) x x x + x = + x x + x = > x x + x + x + x = + x x + x =. Para cada sistema indeterminado dos dois exercícios anteriores, calcule a solução particular que se obtém atribuindo a cada variável livre o valor.. Determine a solução geral de cada um dos sistemas de equações homogéneos associados aos sistemas dos dois exercícios anteriores. < x x x x =. Considere o sistema de equações x + x + x =. x = (a) A forma matricial do sistema é " # " # " # " X = " # " X = (b) A solução geral do sistema é S = f( x + x ; x x ; x ; ; x ) x ; x Rg S = f( + x + x ; x ; x ; x ; ) x ; x Rg S = f( x + x ; x + x ; x ; ; x ) x ; x Rg S = f( + x ; x ; x ; x ; ) x ; x Rg # #

3 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - / 9. Seja AX = B um sistema de equações lineares, sendo A do tipo m n e B do tipo m. Diga, justi cando, se são verdadeiras ou falsas as seguintes a rmações (a) Se m < n; o sistema é possível e indeterminado. (b) Se m > n; o sistema não pode ser possível e determinado. (c) Se B = ; o sistema é possível. (d) O sistema homogéneo associado a AX = B é possível e determinado. (e) O sistema AX = B e o seu sistema homogéneo associado têm o mesmo grau de indeterminação. (f) Se m = n = car(a); o sistema é possível e determinado. (g) Se car [AjB] > car(a); o sistema é impossível. (h) Se m < n e car [AjB] = car(a); o sistema é possível e indeterminado. (i) Se m > n e car [AjB] = car(a); o sistema é possível e indeterminado.. Dos seguintes sistemas X = B X = C (a) Qual é que pode ser resolvido para qualquer termo independente B ou C? (b) Se um destes sistemas puder ser resolvido só para um termo independente especí co será a solução única?. Seja A = 9 (a) Veri que se há algum termo independente B para o qual AX = B não tenha solução. (b) Seja B um termo independente para o qual o sistema AX = B tem solução. Veri que se haverá uma única solução ou se para alguns casos possa haver um número in nito de soluções.. Sejam A = e B = Se possível, complete A e B de modo a que (a) O sistema AX = B seja impossível. (b) O sistema AX = B seja possível e determinado. (c) O sistema AX = B seja possível e tenha grau de indeterminação.

4 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - /. Sejam A = (a) e B = + ; R. Em cada alínea escreva uma condição em de modo a obter uma a rmação verdadeira (a) T é solução do sistema AX = B se e só se (b) O sistema AX = B é impossível se e só se (c) O sistema AX = B é possível e indeterminado, com grau de indeterminação... se e só se (d) O sistema AX = B é possível e determinado se e só se Classi que, em função dos parâmetros indicados, cada um dos seguintes sistemas x + y + z = x y + z = < x x + x = (c) (e) > < > x + z = x y + z = ; R. (b) x + x x = x x + x = x + x + (a ) x = a + x + x + x = x + x x = x x + x = x + x + x = ; a R. (d) ; R. (f) < > x x = x x + x = x + y + z = x + z = x + y + z = + + x + x + x + x = x + x = x + x = x + x + x = ; ; R. ; ; R. ; ; R. (g) AX = B; em que A = k k k k k k e B = t + ; k; t R. Sejam A; B; C matrizes quadradas de ordem n. Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a rmações (a) Se A; B e C são invertíveis, então car (A) = car (B) = car (C) = n (b) Se A tem todos os elementos diferentes de zero, então A é invertível. (c) Se A tem duas linhas iguais, então A não é invertível. (d) Se A tem uma coluna de zeros, então A não é invertível. (e) Se A é diagonal e tem um zero na diagonal então A não é invertível (f) Se A tem todos os elementos diagonais nulos então A não é invertível. (g) Se A e B são invertíveis, então A + B é invertível. (h) Se A + B é invertível, então A é invertível ou B é invertível. (i) Se A e AB são invertíveis, então B é invertível. (j) Se A é invertível e AB = AC, então B = C.

5 ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - /. Seja A = k k M (R) (a) Determine os valores do parâmetro real k para os quais A é invertível. (b) Sendo k = ; determine a inversa de A. Considere as matrizes A = e B = (a) Mostre que são invertíveis, calcule as suas inversas e veri que os cálculos. (b) Calcule (AB) e (BA). Determine a inversa de cada uma das seguintes matrizes, no caso de serem invertíveis (a) (b) (c) (d) (e) 9. Para matrizes A nn e B n, assinale o valor lógico das a rmações Se S é solução do sistema AX = e S é solução do sistema AX = B; então S S é solução do sistema AX = B Se S é solução do sistema AX = e S é solução do sistema AX = B; então S S é solução do sistema AX = B Se S e S são soluções do sistema AX = ; então S AX = Se S é solução de AX = ; então, necessariamente, S =. S é solução do sistema Se A é invertível, então S = A B é a única solução do sistema AX = B.