Métodos Diretos. 1. Resolva os sistemas lineares utilizando o método de substituição retroativa ou progressiva (sucessiva):

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1 UFOP - Departamento de Computação BCC760- Cálculo Numérico Lista de Exercícios Resolução de Sistemas de Equações Lineares Simultâneas Métodos Diretos. Resolva os sistemas lineares utilizando o método de substituição retroativa ou progressiva (sucessiva): a) 2x = 4 x +5x 2 = x 6x 2 +8x = 48 x +4x 2 x +9x 4 = 6 b) 5x 2x 2 +6x +x 4 = +x 2 +7x 4x 4 = 2 +4x +5x 4 = 28 +2x 4 = 8 2. Resolva os sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss e verifique a exatidão da solução encontrada através do cálculo do resíduo. Utilize 4 casas decimais. 2 4 x x +2x 2 +2x = 2 a) 4 x 2 = 8 b) x +x 2 +x = x 50 x x 2 x = 0. Resolva os sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss com pivotação parcial e verifique a exatidão da solução através do cálculo do resíduo. Utilize 4 casas decimais. 2 5 x 2 x 5 2 a) 2 4 x 2 = 9 b) 5 0 x 2 6 x x 2 = x Resolva os sistemas lineares pelo método de Eliminação de Gauss. O que é possível afirmar em relação a quantidade de soluções desses sistemas? x 8 x a) x 2 = b) x 2 = x 4 x 5 5. Resolva o sistema linear pelo método de decomposição LU e verifique a exatidão da solução. Utilize quatro casas decimais. 4 8 x x x = x Resolva o sistema linear utilizando o método da decomposição LU com pivotação parcial. 2 x x 2 = x 24

2 7. Calcule o determinante e, se possível, encontre a matriz inversa utilizando o método de decomposição LU: [ ] a) b) x 6x 2 x = 8 8. Considere o seguinte sistema de equações lineares: x x 2 + 7x = 4 8x + x 2 2x = 20 a) Faça a etapa de eliminação de Gauss com pivotação parcial. b) Utilize os resultados obtidos para escrever a fatoração LU da matriz A. c) Calcular o determinante da matriz A. d) Resolva o sistema usando o método de decomposição LU. 7x + 2x 2 x 9. Considere o seguinte sistema de equações lineares: 2x + 5x 2 x x x 2 6x a) Obtenha a fatoração LU da matriz A. = 2 = 20 = 26 b) Multiplique as matrizes L e U resultantes para verificar que A é produzida. c) Utilize a decomposição LU para resolver o sistema linear. d) Resolva o sistema linear para um vetor do lado direito alternativo: B 2 = [2 8 6] t 0. O primeiro registro histórico associado a formulação de um problema através de um sistema de equações algébricas lineares encontra-se no antigo livro chinês Chiu-chang Suan-shu (Nove capítulos em aritmética), que se estima ter sido escrito por volta de 200 a.c. No começo do Capítulo VIII, aparece um problema da seguinte forma: Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre, e um fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 9 dou. Dois fardos da boa, três da medíocre, e um da ruim foram vendidos a 4 dou; e um da boa, dois da medíocre, e três da ruim foram vendidos a 26. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo associado a boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim?? Resolva o problema acima usando o método de Eliminação de Gauss.. Um engenheiro civil envolvido em uma construção precisa de 4.800, e m de areia, cascalho fino e cascalho grosso, respectivamente, para um projeto de construção. Existem três minas de onde esses materiais podem ser obtidos e a composição dessas minas é dada conforme a tabela: Areia (%) Cascalho fino (%) Cascalho grosso (%) Mina Mina Mina Quantos metros cúbicos devem ser minerados de cada mina para atender as necessidades do engenheiro? Utilize o método de Eliminação de Gauss com pivatoção parcial para obter a resposta. 2

3 2. Deseja-se fazer o planejamento de uma refeição diária, de forma que a quantidade de cada alimento a ser ingerindo corresponda as necessidades de vitamina C, cálcio e magnésio necessárias por dia. Três diferentes tipos de ingredientes serão empregados na refeição, sendo que cada ingrediente possui uma determinada quantidade de nutriente (expressa em miligramas) por unidade de ingrediente, conforme apresentado na tabela abaixo: De- Nutrientes Ingrediente Ingrediente 2 Ingrediente Total de Nutrientes (mg) Vitamina C Cálcio Magnésio termine, utilizando o método de decomposição LU, a quantidade de unidades de cada ingrediente necessárias para satisfazer plenamente a quantidade de nutrientes estipulada na dieta.. A Figura mostra três reatores interligados por tubos. Como indicado, a taxa de transferência de produtos químicos através de cada tubo é igual a uma vazão (Q com unidade em metros cúbicos por segundo) multiplicada pela concentração do reator do qual o fluxo se origina (c com unidades em miligramas por metro cúbico). Se o sistema estiver em um estado estacionário, a transferência para dentro de cada reator vai balancear com a transferência para fora. Deduza as equações de balanço de massa para os três reatores e resolva o sistema linear de equações algébricas simultâneas para obter as concentrações em cada um dos reatores. Utilize o método de decomposição LU e 4 casas decimais. Figura : Três reatores interligados por tubos. Métodos Iterativos. Caso haja convergência garantida, resolva os sistemas lineares pelo método iterativo de Jacobi com x (0) = [0 0 0] t e ɛ = 0, 0. 0x + 2x 2 + x = x a) x + 0x 2 + 6x = 7 b) 4 x 2 = 6 2x 2x 2 0x = x 9 2. Caso haja convergência garantida, resolva os sistemas lineares pelo método iterativo de Gauss-Seidel com x (0) = [0 0 0] t e ɛ = 0, 0.

4 6x x 2 x = a) x + 6x 2 x = 2 x x 2 6x = 42 b) 4 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 7 x x 2 x = 2. Considere um sistema de equações lineares cujas matrizes dos coeficientes e dos termos independentes são as seguintes: A = C C 20 C 6 B = a) Aplicando o critério das linhas, determine em qual intervalo deve estar o valor da constante C de tal forma que se possa garantir a convergência quando aplicado um método iterativo para a resolução do sistema Ax = B. b) Tomando um valor para C, pertencente ao intervalo determinado na letra a), resolva o sistema de equações lineares utilizando 5 iterações do método de Jacobi e x (0) = [0 0 0] t 4. Considere o seguinte sistema de equações lineares: x + x 2 x = 2 9x + 2x 2 + 6x = 2x + 4x 2 + x = 4 a) Reordene as equações de modo que o critério de convergência dos métodos iterativos seja satisfeito. b) Caso haja a convergência garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelo método iterativo de Jacobi com x (0) = [0, 5 ] t e ɛ = 0, 0. c) Caso haja a convergência garantida, resolva o sistema linear obtido na letra (a) pelo método iterativo de Gauss-Seidel com x (0) = [0, 5 ] t e ɛ = 0, 0. e) Compare o número de iterações e a precisão de ambos os métodos. O que é possível concluir? 5. Com o balanceamento da seguinte reação química, feito com a conservação do número de átomos de cada elemento entre reagentes e produtos P 2 I 4 + ap 4 cp H 4 I + dh P O 4 os coeficientes estequiométricos a, b, c e d são dados pela solução do seguinte sistema de equações: a b c d = Reordene as equações se necessário para que o critério das linhas seja satisfeito, e resolva o sistema linear pelo método iterativo de Gauss-Seidel. Use x (0) = [ 2 4] t e ɛ = 0, No estudo de transferência de calor é possível determinar a distribuição de temperatura assintótica de uma placa fina quando a temperatura em sua borda é conhecida. Por exemplo, considere a placa ilustrada na Figura 2 que representa uma seção transversal

5 Figura 2: Temperatura assintótica de uma placa fina. de uma barra de metal, com fluxo de calor desprezível na direção perpendicular à placa. Sejam T, T 2, T e T 4 as temperaturas em quatro vértices interiores. Sabe-se que a temperatura em um vértice é aproximadamente igual à média dos quatros vértices vizinhos mais próximos. Assim, a temperatura no vértice T é dada por: T = ( T 2 + T )/4, ou 4T T 2 T = 0 Com base nas informações acima, calcule as temperaturas estimadas em cada um dos nós da Figura 2 pelo método iterativo de Jacobi. Use x (0) = [ ] t e ɛ = 0, 5. Referências [] F. F. Campos Filho. Algoritmos Numéricos. LTC editora, Rio de Janeiro, 2 a edição, 202. [2] S. C. Chapra. Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB Para Engenheiro e Cientistas. Bookman editora, Porto Alegre, a edição, 20. [] S. Arenales e A. Darezzo. Cálculo Numérico: Aprendizagem com Apoio de Software. Cengage Learning, São Paulo, 2 a ed. rev. e ampl.,

6 Métodos Diretos Respostas dos Exercícios. a)[2 5 ] t b)[ 0 2 4] t 2. a)[ 2] t b)[ 2 2 4] t. a)[7 6] t b)[0, 42 0, 879, 750 0, 6658] t 4. a) O sistema linear é incompatível. b) O sistema linear é compatível indeterminável. 5. x [2, , 9475, 9672, 6262] t e R [ 0, 000 0, , 000 0, 0002] t 6. x = [ 5 2] t 7. a) det(a) = 0, [ ] 0, 2 0, A = 0, 4 0, 2, 75, 70 0, 0 b) det(a) = 00, A =, 70, 6 0, 08 0, 0 0, 08 0, b) L = 0, 25 0 e U = 0 5, 75, 5 0, 75 0, , 087 c) det(a) 7, 0002 d) x [, 999 7, 9992, 9968] t 9. a) L = 0 0 0, , 429 0, 290 b) LxU = e U = 7 2, , 000 0, , 000 c) x [0, 788, , 6979] t d) x [0, 975, , 5625] t 0. Modelo:. Modelo: 2. Modelo: x + 2x 2 + x = 9 2x + x 2 + x = 4 x + 2x 2 + x = , , , 95 A 0, 52x + 0, 2x 2 + 0, 25x = , x + 0, 5x 2 + 0, 2x = , 8x + 0, x 2 + 0, 55x = x + 20x x = 00 50x + 40x 2 + 0x = 00 0x + 0x x = 200 e x [9, 25 4, 25 2, 75] t e x [4005, 840 7, , 7907] t e x [4, 5455, 552, 22] t 6

7 . Modelo: Q 2 c Q c + Q 2 c 2 = 200 Q 2 c Q 2 c 2 Q 2 c 2 = 0 Q c + Q 2 c 2 Q c = 500 0c + 0c 2 = c 90c 2 = 0 40c + 60c 2 20c = 500 e x [2 2 5, 8] t Métodos Iterativos. a) x = [2, 286 0, 922 2, 422] t com k = 7 b) x = [ 0, 27, 672 0, 8677] t com k = 5 2. a) x = [, 282 4, 29 7, 9062] t com k = 4 b) x = [, , , 967] t com k = 6. a) 5 < C < 4 ou 4 < C < 5 b) Para C = 4, 5 x [0, 974 0, , 94] t com precisão ɛ = 0, 057 Para C = 4, 5 x [ 0, 77 0, 000 0, 975] t com precisão ɛ = 0, 006 9x + 2x 2 + 6x = 4. a) 2x + 4x 2 + x = 4 x + x 2 x = 2 b) x = [ 0, 084 0, 887, 068] t c) x = [ 0, 62 0, 892, 0694] t d) Método k Precisão Jacobi 0 0, 0065 Gauss-Seidel 6 0, x [, , 794 4, 985] t 4T T 2 T = 0 T 6. Modelo: + 4T 2 T 4 = 40 T + 4T T 4 = 40 T 2 T + 4T 4 = 70 e x [7, , 28 2, 28 27, 9688] t 7