ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE /

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1 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0 0. (a) Calcule o sinal das seguintes permutações (i) (; ; ; ; ) (ii) (; ; ; ; ; ) (b) Use os resultados da alínea (a) para calcular, usando a de nição, os determinantes (i) det (ii) det Seja A = [a ij ] uma matriz de ordem cujas únicas entradas não nulas estão nas posições (; ) ; (; ) ; (; ) ; (; ) ; (; ) ; (; ) Assinale a resposta correcta det (A) = a a a a a a det (A) = 0 det (A) = a a a a a a det (A) = a a a a a a. Sendo A = [a i;j ] uma matriz de ordem cinco, os produtos elementares (i) a ; a ; a ; a ; a ; (ii) a ; a ; a ; a ; a ; têm sinal (i) positivo, (ii) negativo (i) positivo, (ii) positivo. Calcule (a) det (c) det (e) det (g) det cos sin 0 sin cos Se possível, dê exemplos de cos (b) det sin (d) det (i) negativo, (ii) negativo (i) negativo, (ii) positivo ; R (f) det (h) det (a) Uma matriz do tipo com determinante igual a. sin cos ; R (b) Uma matriz de ordem, com as entradas todas diferentes e determinante nulo. (c) Uma matriz escalar, de ordem quatro, com determinante igual a (d) Uma matriz triangular, de ordem cinco, com determinante igual a

2 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes p p 0 0 (a) p (b) p (c) (e) i (d) (f) Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes 0 A = 0 0 B = C = 0 0 D = 0 0. Seja A = (a) det (c) det d e f d e f Sabendo que det A = ; calcule a d b e c f (b) det (d) det d e 8f a d d g b e e h c f f i

3 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0 8. Sabendo que det A = det (a) det g i h d f e a c b (b) det ( A) = = d e f (c) det A + A T = a a + b c (d) det d d + e f = 8 g g + h i = ; considere a seguinte lista de a rmações A lista completa das a rmações verdadeiras é (a), (b), (c) e (d) (a) e (b) (b) e (c) (a), (b) e (c). Se possível, dê exemplos de (a) Uma matriz sem entradas nulas e determinante 0. (b) Uma matriz de ordem cinco com a terceira coluna nula e determinante. (c) Uma matriz de ordem três com a diagonal principal nula e determinante (d) Uma matriz de ordem três, sem entradas nulas e com determinante 0. O valor do determinante da matriz A = é p 0. Sejam A e B matrizes de ordem n; quaisquer. Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das a rmações (a) Se det A = det B; então A = B (b) det (A + B) = det A + det B (c) Se R, então det (A) = det A (d) Se n é ímpar, então det ( A) = det A (e) Se P é uma matriz invertível de ordem n, então det (P AP ) = det A (f) Se car (A) = n ; então det (A) = 0 (g) Se AB é uma matriz invertível então A e B também o são. (h) Se AB não é uma matriz invertível então pelo menos uma das duas matrizes A ou B também não é invertível. p

4 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0 8. Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a rmações (a) det 0 0 = det = (b) Sendo A uma matriz quadrada de ordem n; det (A + I n ) = det A + (c) Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n; det (AB BA) = 0 (d) Sendo A, B e C matrizes quadradas de ordem n; det (ABC) = det A det B det C. Considere a matriz A = Em cada alínea, se possível, complete A de modo a que (a) det (A) = 0 (b) det (A) = (c) det (A) =. Calcule o determinante das seguintes matrizes A = B = C = D = Seja A uma matriz de ordem. Sabendo que det A = ; determine (a) det ( A) (b) det (A ) (c) det (A ) (d) det A

5 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0. Considere as matrizes A = se possível e B = Calcule, (a) det A (b) det B (c) det A T (d) det B T (e) det (AB) (f) det (BA) (g) det ( B ) (h) det (A ) (i) det (B ). Sejam A; B matrizes de ordem ; tais que det (A) = e det (AB) =. Calcule det ( B) T 8. Sabendo que A e B são matrizes de ordem tais que det ( (AB)) =, det(b) > 0 e det (AB ) = 8; calcule det (A) e det (B). Sabendo que A e B são matrizes de ordem tais que det ( (AB)) =, det(b) < 0 e det (AB ) = ; então det (A) = e det (B) = det (A) = e det (B) = det (A) = e det (B) = det (A) = e det (B) = 80. Sejam A; B e C três matrizes quadradas da mesma ordem. Sabe-se que det(a B ) =, det(bc ) =, det(c) = Qual é o determinante da matriz A? 8. Sejam A; B e C três matrizes quadradas da mesma ordem tais que det(a) =, det(b) = e det(c) =. Se possível, determine (a) det(abc) (b) det(ab T C ) (c) det(a C B ) (d) det(ab C ) 8. As soluções da equação det k k = 0 são k = p ; k = p k = ; k = k = k = 0

6 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/ det k 0 0 k k k 0 = k k k k 8. Sejam A; B matrizes de ordem n Diga, justi cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das a rmações (a) AB = BA ) det (A + B) det (A B) = det (A B ) (b) [det (A + B)] = det A + det B + det (AB) (c) det (A + B) = det A T + B T (d) Se A = A T, então jdet Aj = 8. Sejam A = 0 0 e B = Calcule det (AB) e det (BA) 0 Será que o resultado obtido contradiz a propriedade estudada sobre o determinante do produto de duas matrizes? 8. Usando determinantes, determine os valores de para os quais as seguintes matrizes são invertíveis + (a) ; R. + (b) ; R. 0 (c) 0 ; ; R Seja A = (a) det A (b) b A (c) adj (A) (d) A Calcule

7 ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0 88. Considere a matriz A = (a) Calcule adj (A) k k 0 k k 0 0 k 0 ; k R (b) Determine os valores de k para os quais det A = (c) Para os valores determinados na alínea anterior calcule A 8. Considere a matriz real A = 0 ; ; R (a) Utilizando determinantes calcule os valores de e para os quais cara < (b) Diga para que valores de e a matriz A é invertível. (c) Calcule A, para todos os valores encontrados em (b) + 0. Considere a matriz A = ; ; R + + (a) Determine para que valores de e a matriz A é invertível. (b) Para um dos pares e encontrados em (a), calcule a primeira coluna de A Considere, para a; b; c; d R; a matriz A = 0 a 0 b c 0 d (a) Determine o produto de A pela sua adjunta. (b) Calcule a entrada (,) de adj (A) (c) Determine, se existirem, os valores reais de a; b; c; d para os quais A é invertível a b. A inversa de uma matriz invertível ; A = é dada por c d A d b = ad bc c a Então det A = det ad bc d c b = a ad bc ad bc = Será que podemos concluir que todas as inversas de matrizes de ordem têm determinante? Ou haverá algo de errado neste cálculo? a a. Mostre que 8a; b; c R, det b b = (b a) (c a) (c b) c c