AULA Exercícios O sistema de equações lineares. tem a matriz completa. , pelo que

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1 Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia, sem consulta prévia das soluções propostas, análise comparativa entre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior eposição junto do docente de todas as dúvidas associadas. TÓPICOS Eercícios AULA 5 5. Eercícios. 5.. O sistema de equações lineares tem a matriz completa, pelo que A b 5 >> AB[ - ; 6; - 5; - ]; >> CDrref(AB) CD >> format rat >> CD Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

2 CD 7/6 7/6 / O sistema é possível e determinado, com solução 7 7 ; ; 6 6 Poderíamos ter verificado que o sistema é possível e determinado, fazendo >> A[ -; ; - ; -]; >> B[; 6; 5;]; >> rarank(a) ra >> rbrank([a B]) rb Dado que ( ) car( A ) car A b n o sistema é possível e determinado. Para resolver um sistema de equações lineares podemos utilizar a função linsolve(a,b) >> A[ -; ; - ; -]; >> B[; 6; 5;]; >> format rat >> linsolve (A,B) 7/6 7/6 / Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

3 5.. O sistema de equações lineares tem a matriz completa, pelo que A b >> AB[ - 5; 5; ]; >> CDrref(AB) CD - - Dado que a última linha não nula da forma escalonada reduzida da matriz completa b com b o sistema é impossível. do sistema é da forma [ ] m m Alternativamente, podemos fazer >> A[ - ; ; ]; >> B[5;5; ]; >> rank(a) >> rank([a B]), e concluir que, sendo car( ) car ( ) A A b, o sistema é impossível. Se utilizarmos a função linsolve(a,b) somos informados que o sistema é impossível. A função só é útil para determinar a solução de sistemas de equações lineares possíveis e determinados. >> linsolve (A,B) Warning: Rank deficient, rank, tol.e-5. Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

4 Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A O sistema de equações lineares tem a matriz completa A b, pelo que >> AB[ ; - ; - ; ]; >> CDrref(AB) CD - A forma escalonada reduzida da matriz completa possui colunas sem pivots (a a e a a colunas) pelo que o sistema é possível e indeterminado. O sistema considerado é equivalente a, tendo portanto como solução + As variáveis que não estão associada a um pivot, e, são variáveis livres. Tendo duas variáveis livres, o sistema tem um grau de indeterminação g (também dito sistema duplamente indeterminado). O sistema tem duas variáveis principais (associadas a um pivot), e, com um valor dependente das variáveis livres. A solução geral do sistema é epressa na forma

5 Alternativamente, podemos fazer >> A[ ; - ; - ; - - -]; >> B[;;;-]; >> rank(a) >> rank([a B]), e concluir que, sendo ( ) car( A ) car A b < n, o sistema é indeterminado (duplamente indeterminado dado que g ). Se utilizarmos a função linsolve(a,b) somos informados que o sistema é indeterminado >> linsolve (A,B) Warning: Matri is singular to working precision. / / / / 5.. Escreva na forma matricial o sistema + Atendendo à definição de matriz dos coeficientes do sistema, de vector coluna das incógnitas, e de vector coluna dos termos independentes, temos A b Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

6 5.5. Resolva, recorrendo ao método de Gauss-Jordan, e classifique quanto à solução, o sistema 5 Aplicando do método de Gauss-Jordan, temos A b 5 Temos car( A) car ([ Ab ]) n, pelo que o sistema é possível e determinado, com solução [ ] T L + L L L + L L L + L L L + L L L L L + L L L + L L >> A[ - ; ; 5]; >> b[ ]'; >> format rat >> rref([a b]) / / / Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

7 5.6. Resolva, recorrendo ao método de Gauss-Jordan, e classifique quanto à solução, o sistema Aplicando do método de Gauss-Jordan, temos A b 5 L + L L L + L L L L L L L + L L L + L L Temos car( A) car ([ Ab ]) n, pelo que o sistema é possível e indeterminado, com grau de indeterminação g n car( A ). As variáveis principais, correspondentes às colunas com pivot, são e, e a variável livre é. A solução geral do sistema é dada por todos os vectores que verificam, ou seja [ ] T >> A[ - ; ; 5]; >> b[ ]'; >> rref([a b]) / / Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

8 5.7. Resolva, recorrendo ao método de Gauss-Jordan, e classifique quanto à solução, o sistema Aplicando do método de Gauss-Jordan, temos A b 5 L + L L L + L L L + L L Temos car( A) < car( [ Ab ]), pelo que o sistema é impossível. >> A[ - ; ; 5]; >> b[ - ]'; >> rref([a b]) 5.8. Dado o sistema Resolva o sistema homogéneo associado. Determine b, b e b b b b de modo que [ ] T seja uma solução do sistema.. Com base nas alíneas anteriores determine a solução geral do sistema.. Aplicando do método de Gauss-Jordan ao sistema homogéneo A, temos Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

9 A 5 Temos car( A) car ([ A ]) < n, pelo que o sistema é possível e indeterminado, com grau de indeterminação g n car( A ). As variáveis principais, correspondentes às colunas com pivot, são e, e a variável livre é. A solução geral do sistema é dada por todos os vectores que verificam, ou seja. Se [ ] [ ] h T é uma solução particular do sistema, então b A. Com base nas alíneas anteriores, sendo e a solução geral do sistema. é 5 [ ] h p A [ ] T [ ] T + + h p T T L + L L L + L L L L L L L + L L L + L L Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

10 5.9. Dado o sistema b + b a b b( + b) Estude a natureza do sistema em função dos parâmetros reais a e b. Escrevendo o sistema na forma matricial b b + b a b( + b), temos, recorrendo ao método de Gauss-Jordan, + b b a A B b b(+ b) + b b ab L L L b b b L bl L + b b ab L + L L b b + ab Se b b o sistema é possível e determinado. Se b b temos: b b a A B a a a Pelo que: a O sistema é indeterminado a O sistema é impossível L L a A B a Pelo que: a O sistema é indeterminado. a O sistema é impossível. Resumindo: b b O sistema é possível e determinado a O sistema é indeterminado b a O sistema é impossível a O sistema é indeterminado b a O sistema é impossível Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

11 5.. Dado o sistema + bz ( + y) + b(z + ) + ay + ( y + ) bz Estude a natureza do sistema em função dos parâmetros reais a e b. Escrevendo o sistema na forma matricial b b y b a + b z, temos, recorrendo ao método de Gauss-Jordan, b b b A B a + b b L b L L L L L a + b b b ( a + ) L L L ( a + )( b + ) b Para b o sistema é possível e determinado. Para b temos: Para A B a + a + a + a, resulta A B O sistema é possível e (simplesmente) indeterminado. a + Para a, resulta O sistema é impossível. A B b Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

12 5.. Dado o sistema + kz k + y z k y + k z Estude a natureza do sistema em função do parâmetro real k. Escrevendo o sistema na forma matricial k k y k k z, temos, recorrendo ao método de Gauss-Jordan, k A B k k k k k k k k k ( k + ) k k k k Calculando as raízes do polinómio do grau do elemento a : temos ± + 8 k k k k k k A B ( k + ) k ( k )( k + ) k Assim, para k k o sistema é possível e determinado. Para k : A B O sistema é possível e (simplesmente) indeterminado. Para k : O sistema é impossível. A B L kl L L L L L L L Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A