AULA 13 { } 13. Exercícios. DETERMINAR UMA BASE DE UM SUBESPAÇO Determinar uma base do subespaço de

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1 Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A Eercícios. DETERMINAR MA ASE DE M SESPAÇO... Determinar uma base do subespaço de R { } (,,, ) (,,, ) : ( ) ( ) L u u u u R W ma ve que qualquer conjunto de k vectores linearmente independentes pertencentes a W é uma base de W, sendo k a dimensão do subespaço, a solução particular encontrada depende do método utiliado na sua determinação. Dadas as restrições impostas, temos o sistemas de equações Faendo, o que corresponde a considerar e como variáveis livres, e e como variáveis principais, resulta que os vectores ),,, ( u pertencentes ao subespaço são da forma u TÓPICOS Eercícios. ALA Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realiar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia, sem consulta prévia das soluções propostas, análise comparativa entre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior eposição junto do docente de todas as dúvidas associadas.

2 Prof. José Amaral ALGA A Ou seja, são uma combinação linear dos vectores ) (,,, u e ) (,,, u. Dado que u e u são linearmente independentes fica assim determinada uma base de W. Se analisarmos formalmente o sistema, ou seja, na forma matricial >> A[ - ;- - ]; >> [ ]'; >> rref([a ]) ans - - -, concluímos que o sistema é possível e indeterminado, sendo e variáveis principais e e variáveis livres, as soluções do sistema são da forma ou seja u são portanto uma combinação linear dos vectores ) (,,, u e ),,, ( u. Dado que u e u são linearmente independentes, fica assim determinada uma outra base de W. Note-se que u u. O subespaço W tem dimensão ; quaisquer vectores linearmente independentes pertencentes W são uma base de W.

3 REPRESENTAR M VECTOR EM ASES DIFERENTES... Vimos num eemplo anterior que, em base {, } R, dadas a base canónica { e, e} e e E e a W, com e e e, sendo conhecida a representação de v na base W, v, podemos encontrar a representação de v na base E [ v] W [ v] E, atendendo ao conceito de matri de transição, [ v] E MW E [ v] W [[ ] [ ] ][] v E E W pelo que v [ e e ] e e Caso fosse conhecida a representação de v na base E, v e e, e se pretendesse encontrar a representação de v na base W [ v] E [ v] W, deveríamos ter em atenção que logo [ v] W M W E [ v] E Figura. [] v ou seja v. W....6 Prof. José Amaral ALGA A

4 E X E R C Í C I O S R, consideremos a base canónica { e, e} e e u e e, e o vector v e e.. Em E, a base { u, u }, com u e. Consideremos o problema de, sendo conhecida a representação de v na base E, encontrar a representação de v na base [ v] E [ v] Sendo conhecida a matri de transição da base para a base E, e dado que temos M E [[ u ] [ u ] ] E E M E M E Figura. [] v M [] v E, ou seja, v u u. E R, consideremos a base { u, u}, e e e e.. Em, com u e e e u e e, a base W { }, com e, e v. Pretendemos encontrar a representação de v na base [ v] W [ v] Com os dados do problema, é fácil determinar as matries de transição das base W e para a base canónica M M W E E Pelo que, considerando a representação intermédia de v na base canónica, sendo e [ v] W [ v] E [ v] [ v ] E M W E [ v] W [ v] M E [ v] E M E [ v] E Prof. José Amaral ALGA A

5 E X E R C Í C I O S resulta, ou seja, v u u. >> u[- ]'; >> u[ -]'; >> [ ]'; >> [ -]'; >> Me[ ]; >> Mue[u u]; >> v[ ]'; >> vuinv(mue)*me*v vu.. [] v M M [ v] E W E W ** INDEPENDÊNCIA LINEAR EM ESPAÇOS DE FNÇÕES..5. Verificar se r ( ). p( ) pertence ao subespaço de P gerado por q ( ) e Trata-se de verificar se o vector p( ) pertence ao espaço gerado pelos vectores q ( ) e r ( ), ou seja, verificar se eistem escalares k e k tais que p( ) kq( ) kr( ). Temos então, o que implica, ou seja, na forma matricial O sistema é possível e determinado p ( ) kq ( ) kr ( ) k ( ) k ( ) k k k k k k ( k k ) ( k k ) ( k k ) k k k k k k k k Prof. José Amaral ALGA A

6 ~, sendo, portanto, k e k. Ou seja, p( ) q( ) r( )..6. Verificar se os vectores, e, e e são linearmente independentes. Recorrendo ao Wronskiano dos vectores, temos e e det e e e e e e e Dado que o determinante não é nulo para todo o, os vectores são linearmente independentes. ** MDANÇA DE ASE EM ESPAÇOS DE FNÇÕES..7. Escrever o vector na base {,, } P. Temos, o que implica, ou seja, na forma matricial, e, dado que ( ) ( ) ( ) k k k k k k k k k ( k k ) ( k k ) ( k k ) k k k k k k k k k ~ temos ( ) ( ) ( ) Prof. José Amaral ALGA A

7 n.8. À semelhança de R podemos analisar o problema anterior recorrendo ao conceito de matri de mudança de base. Considerando a base canónica de P, {,, }, podemos escrever o vector p( ) na forma (,, ), isto é, eplicitando apenas as coordenadas do vector na base canónica. Por outro lado, dado que conhecemos as coordenadas dos P,, na base canónica, vectores da base { } P {(,, ),(,,),(,, ) }, a escrita da matri de mudança da base P para a base, M P, é imediata, dado ser a matri cujas colunas correspondem às coordenadas dos vectores p i na base Resulta então [ ] [ ] [ ] M p p p P [ p ( )] M [ p ( )] P M P P [ p( ) ], tal como tínhamos calculado no eemplo anterior. MISCELÂNEA..9. Para cada um dos conjuntos seguintes, averigue se são subespaços dos espaços vectoriais reais indicados. a) A { (, ) R : } R b) { (,,, ) R : } R a) A não é um subespaço de R. asta verificar que (, ) não pertence ao conjunto, dado que não verifica a condição,. Prof. José Amaral ALGA A

8 O conjunto de pontos (, ) R : constitui uma recta que não passa na origem. Qualquer recta que não passe na origem não constitui um subespaço vectorial de R. b) Dadas as restrições impostas, temos o sistemas de equações Faendo, o que corresponde a considerar e como variáveis livres, e e como variáveis principais, resulta que os vectores u (,,, ) pertencentes ao, eventual, subespaço são da forma u Ou seja, constituem o subespaço resultante da combinação linear dos vectores de R, u (,,,) e u (,,, ). é um subespaço de R de dimensão, constituindo u e u uma sua base... Considere o subespaço de R definido por { (,,, ) R : } W { T T T } e o conjunto [ ], [ ], [ ] de vectores de seja ainda G L( ) o subespaço gerado por. R, e a) Determine uma base e a dimensão de W. b) Construa uma base de R que contenha a base de W que indicou em a). c) Diga, justificando, se os vectores u [ ] T e v [ ] T pertencem a W e, em caso afirmativo, determine as suas coordenadas em relação à base de W que indicou na alínea anterior. d) Porque raão não pode ser uma base de R. e) Justifique se é linearmente independente. f) Indique uma base e a dimensão de G e caracterie os vectores de G por meio de uma condição nas suas coordenadas. g) Determine o subespaço H G W, indicando uma base e a dimensão de H. h) Será G W um subespaço de R? Justifique a resposta. Prof. José Amaral ALGA A

9 a) ma ve que qualquer conjunto de k vectores linearmente independentes pertencentes a W é uma base de W, sendo k a dimensão do subespaço, a solução particular encontrada depende do método utiliado na sua determinação. Dado que apenas é imposta uma restrição podemos escolher quaisquer das variáveis para variáveis livres. Por eemplo, faendo:, ou seja, escolhendo como variável principal, resulta que os vectores u (,,, ) pertencentes ao subespaço são da forma u Ou seja, são uma combinação linear dos vectores u (,,, ), u (,,, ) e u (,,,). Dado que u, u e u são linearmente independentes, ~, fica assim determinada uma base de W que é portanto um subespaço de R de dimensão. b) asta juntar a u, u e u um vector da base canónica de R que seja linearmente independente destes. Por eemplo, u (,,, ), é, como se pode ver por observação da matri escalonada acima, que não tem pivot na a coluna, linearmente independente de u, u e u, constituindo assim os vectores uma base de R. c) Se os vectores u [ ] T e [ ] v T pertencem a W podem ser escritos como combinação linear de uma sua base. Sendo a base constituída pelos vectores u (,,, ), u (,,, ) e u (,,,), temos u u u u Prof. José Amaral ALGA A

10 Escalonando a matri completa do sistema, temos: ~ ~ O sistema é possível e determinado tendo como solução, e. Portanto u [ ] T pertencem a W, u u u u u u, ou u T. seja, [ ] Procedendo de modo semelhante, temos para v [ ] v u u u Escalonando a matri completa do sistema, temos: O sistema é impossível, pelo que T ~ ~ v W. d) não pode ser uma base de R dado que toda a base de vectores e é constituído apenas por vectores. R é constituída por e) Dispondo os vectores de sobre as linhas de uma matri e procedendo ao seu escalonamento, temos:, pelo que é linear independente. A ~ ~ 5 f) Sendo os vectores de linearmente independentes constituem uma base do espaço G por eles gerado que tem, portanto, dimensão. Podemos assim escolher para base de G os vectores u [ ], u [ ] T e [ ] u T. Para caracteriar mais facilmente os vectores de G por meio de uma condição nas suas coordenadas, podemos continuar o escalonamento da matri A Prof. José Amaral ALGA A

11 A ~ ~ Assim, os vectores u (,,, ) G são tais que k u k k k k k Ficando assim determinada a condição: { (,,, ) R : } G Nota: O método de resolução acima é equivalente ao utiliado na aula. Teríamos: ~ ~ 5 Para que o sistema seja possível, ou seja, qualquer vector de G seja uma combinação linear de u, u, u, deverá ser, a mesma condição obtida acima. g) O subespaço H G W, tendo que verificar simultaneamente as condições a que cada um dos dois subespaço obedece é { (,,, ) R : } H Temos então que todos os vectores u (,,, ) pertencentes ao subespaço são da forma u Ou seja, são uma combinação linear dos vectores u (,,, ) e u (,,,). Dado que u, u e u são linearmente independentes, fica assim determinada uma base de H que é portanto um subespaço de R de dimensão. h) G W só seria um subespaço de R se G W ou G W, o que, como podemos concluir dos resultados obtidos na alínea g), não se verifica. Assim sendo, o espaço resultante da reunião não é fechado relativamente à adição vectorial, como podemos comprovar facilmente. Por eemplo, u (,,,) W, dado que, u (,,,) G, dado que, e portanto u, u G W, mas u u (,,,) G W, dado que não verifica nenhuma das condições. Prof. José Amaral ALGA A

12 .. Seja W um espaço vectorial real e { u, u, u } uma base de W. Diga, justificando, se cada uma dos conjuntos seguintes gera W. a) C { u u u, u u, u u} b) D { u u, u u u, u u u } a) W é um espaço de dimensão. C, constituído por vectores, c u u u, c u u e c u u, poderá gerar W, se os vectores forem linearmente independentes, e, se assim for, por serem em número igual à dimensão do espaço, c, c e c para além de gerar W constituem uma sua base. Temos: [ ] T [ ] T [ ] c u u u c u u c u u Para verificar se os vectores são linearmente independentes basta dispo-los sobre as linhas de uma mati e escaloná-la A ~ ~ Os vectores c, c e c não são linearmente independentes, c c c, logo não geram W. b) Procedendo de modo semelhante a a), temos T [ ] [ ] [ T ] c u u c u u u c u u u A ~ ~ ~ Neste caso os vectores c, c e c são linearmente independentes, logo geram W constituindo uma sua base. O enunciado dá-nos os vectores c escritos na base. Constituindo C uma base de W é imediato escrever a matri de mudança de base da base C para a base : [ v] M [ v] [ v] [ v] Por eemplo, o vector c escrito na base C é C C C T T, resultando na base [ ] c c c c T C Prof. José Amaral ALGA A

13 , ou seja, c u u. [ v] M [ v] C C C.. Sejam u, u, u e u vectores de um espaço vectorial real W tais que u o u u o u u u o u L( u, u, u ) Indique, justificando, uma base e a dimensão do subespaço G L( u, u, u, u) W gerado pelos quatro vectores. O vector u é linearmente dependente do vector u :, tal como o vector u : u u 5 u u u u u u Todos eles geram o mesmo espaço, um espaço de dimensão. Dado que u L( u, u, u ), logo é linearmente independente de u, então G L( u, u, u, u) L( u, u), ou seja, u e u constituem uma base de G que é um espaço de dimensão... Considere o subespaço de R definido por { (,, ) R : } W T { } e o conjunto [ ] T,[ ] de vectores de R, e seja ainda G L( ) o subespaço gerado por. a) Determine uma base e a dimensão de W. b) Diga, justificando, se os vectores u [ ] T e v [ ] T pertencem a W e, em caso afirmativo, determine as suas coordenadas em relação à base de W que indicou na alínea anterior. c) Construa uma base de R que contenha a base de W que indicou em a). d) Indique uma base e a dimensão de G e caracterie os vectores de G por meio de uma condição nas suas coordenadas. e) Será G W um subespaço de R? Justifique a resposta. Prof. José Amaral ALGA A

14 a) ma ve que qualquer conjunto de k vectores linearmente independentes pertencentes a W é uma base de W, sendo k a dimensão do subespaço, a solução particular encontrada depende do método utiliado na sua determinação. Dado que apenas é imposta uma restrição podemos escolher quaisquer das variáveis para variáveis livres. Por eemplo, faendo:, ou seja, escolhendo como variável principal, resulta que os vectores u (,, ) pertencentes ao subespaço são da forma u Ou seja, são uma combinação linear dos vectores u (,, ), u (,,). Dado que u e u são linearmente independentes,, fica assim determinada uma base de W que é portanto um subespaço de R de dimensão. b) Se os vectores u [ ] T e [ ] v T pertencem a W podem ser escritos como combinação linear de uma sua base. Sendo a base constituída pelos vectores u (,, ), u (,,), temos u u u Escalonando a matri completa do sistema, temos: ~ ~ O sistema é possível e determinado tendo como solução e. Portanto [ ] u T pertence a W, T. u u u, ou seja, u [ ] Procedendo de modo semelhante, temos para v [ ] T Prof. José Amaral ALGA A

15 v u u Escalonando a matri completa do sistema, temos: O sistema é impossível, pelo que ~ ~ v W. c) asta juntar a u e u um vector da base canónica de R que seja linearmente independente destes. Por eemplo, u (,,), é, como se pode ver por observação da matri acima, que não tem pivot na a coluna, linearmente independente de u e u, constituindo assim os vectores uma base de R. d) Dispondo os vectores de sobre as linhas de uma matri e procedendo ao seu escalonamento, temos: A ~ ~, pelo que não é linear independente. O vector u (,, ) constitui uma base do espaço G por eles gerado que tem, portanto, dimensão. Vamos agora caracteriar os vectores de G por meio de uma condição nas suas coordenadas. Temos que os vectores u (,, ) G são tais que Ficando assim determinadas as condições: h) G W só será um subespaço de k u k k { (,, ) R : } G R se G W ou G W. Sendo { (,, ) R : } W { (,, ) R : } G temos que, para, a condição resulta em, ou seja, G W. Assim sendo, G W é um subespaço de R Prof. José Amaral ALGA A

16 E X E R C Í C I O S R, considere as bases { u, u, u } W,,, com.. Em, com u e, u e e e u e e e { } e e, e e e e e. Sendo v determine a representação de v na base. Pretendemos encontrar a representação de v na base [ v] W [ v] Com os dados do problema, é fácil determinar as matries de transição das bases W e para a base canónica. Sendo e e, e e e e e temos M W E Sendo u e, u e e e u e e temos M E Pelo que, considerando a representação intermédia de v na base canónica, sendo e [ v] W [ v] E [ v] [ v ] E M W E [ v] W [ v] M E [ v] E M E [ v] E resulta [ v] M M [ v] E W E W, ou ainda, multiplicando à esquerda por M E, [ ] [ ] M v M v E W E [] v Escalonando a matri completa do sistema, resulta ~ ~ Pelo que [ v ] [ ] T u u u W Prof. José Amaral ALGA A