Nota de aula: Transformações Lineares

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1 Nota de aula: Transformações Lineares Prof. Rebello out/99 rev. out/ São aplicações entre espaços vetoriais, isto é, funções onde tanto o domínio como o contra domínio são espaços vetoriais, portanto todas as variáveis envolvidas são vetores. Definição: Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear T é uma função de V em W, T : V W, que satisfaz as seguintes condições: i) Quaisquer que sejam u e v em V, T(u + v ) = T( u ) + T( v ) ii) Quaisquer que sejam k R e v V, T( kv ) = k T( v ) Assim apresentam toda a estrutura de espaço vetorial. Obs: Por ser uma função vemos que cada vetor v de V (domínio) tem um e somente um vetor imagem w de W (contradomínio). Uma transformação Linear de V em V, isto quando V = W, é chamada de: Operador Linear Eemplo: ) Seja a transformação T : R R que associa vetores v = [, R com vetores w = [,, z R, definida por T( v ) = [, +,. Para um vetor v = [, teremos: T( v ) = [,,

2 Eemplo ) Seja uma transformação linear T : R R, com β = { v, v, v } onde: v = [,,, v = [,,, v = [,,, formando uma base do R. Sabendo que: T(v ) = [,, T(v ) = [, e T(v ) = [,. Determine: T( w ), onde w = [,,. Primeiro devemos escrever o vetor w = [,, como combinação linear da base β: a [,, + a [,, + a [,, = [,,, gerando o sistema: a a a a a de solução : a 4 a a 7 assim [ w β = [ 4,, 7 Como w = 4 v v + 7v aplicando a transformação, vem: T( w ) = T( 4 v v + 7v ) Usando as propriedades de linearidade: T( w ) = 4 T( v ) T( v ) + 7 T( v ) T( w ) = 4 [, [, + 7 [, T( w ) = [ 4, 8 + [ 6, + [, 4 T( w ) = [, Moral da história: Se soubermos como a transformação interfere na base de um subespaço vetorial, então, saberemos automaticamente como ela, afetará qualquer vetor desse mesmo subespaço.

3 Veja que no eemplo anterior, se precisássemos verificar como ficaria a transformação para outro vetor do R, teríamos que achar nova combinação linear, ou seja, aplicar o mesmo raciocínio. Veremos a seguir uma maneira mais racional, que transforma um conjunto de vetores de forma mais prática. Determinação da lei de transformação A idéia, é fazer o mesmo procedimento anterior, porém, agora para um vetor genérico. w = [,, z Onde: a [,, + a [,, + a [,, = [,, z b) Procedendo de forma idêntica para um vetor genérico, temos o sistema a a a a a z de solução a = + + z a = z a = z T( [,, z ) = ( + + z )T( v ) + ( z ) T( v ) + ( z ) T( v ) T( [,, z ) = ( + + z )[, + ( z ) [, + ( z ) [, T( [,, z ) = [ + + z, z + [ z, z + [, z Finalmente: T( [,, z ) = [ + + 4z, 4 z Agora sim, temos uma lei que transforma qualquer vetor do R

4 Podemos fazer uma prova real com o eercício anterior: 4 T( [,, ) = [ + + 4( ), 4() () ( ) = [, Núcleo de uma transformação Chama-se núcleo de uma transformação linear T :V W ao conjunto de todos os vetores v V que são transformados em ( vetor nulo ). Representação ker(t) do inglês kernel ( núcleo ) Assim ker (T) = { v V / T ( v ) = } Ker(T) Vetor nulo Im(T) (Imagem) V T W Pela figura podemos notar que sempre tanto o ker(t) como a Im(T) ( não vazios), pois a imagem do vetor nulo será nula. Eemplo: ) Determine a imagem e o núcleo da transformação T: R R, T( [,, z ) = [,, z, que é uma projeção ortogonal de R sobre o plano Oz. Sabemos que: T( [,, z ) = [,, [,, z = [,, Note que: =, z =, isso para qualquer

5 Assim, o núcleo ker(t) = { [,, R / R } Em resumo, a imagem será o plano Oz e o núcleo será o eio dos. ) Determinar o núcleo da transformação T : R R, T(,, z) = [ + 4z, + + 8z Por definição T(,, z) = [, gerando o sistema: 4z 8z que é um sistema do tipo possível e indeterminado Sua solução é [ z, z, z, assim ker(t) = { z [,, / z R }. Obs.: A escolha de z como parâmetro foi apenas uma opção. Caso a escolha fosse, teríamos: [,, ou [,,

6 Dimensão Vemos que tanto o núcleo como a imagem de uma transformação linear são subespaços vetoriais e suas dimensões obedecem a relação, facilmente observada nos eemplos anteriores. 6 dim ker(t) + dim Im(T) = dim V Para fiar o conceito Imagine você tirando a foto de algum evento. Possivelmente você escolheu o melhor ângulo e registrou a cena. Veja que o evento representa um objeto tridimensional, isto é, um espaço R. Quando posicionou a câmera, na realidade, escolheu uma base do R, para representar. Uma vez capturada a imagem, você acabou realizando uma transformação linear { T: R R }, isto é, a imagem está configurada no espaço R (bidimensional) associada ao displa da câmera. Note que uma dimensão foi anulada, eatamente a direção ortogonal a objetiva da câmera.

7 Matriz de uma transformação linear 7 Sejam T: V W uma transformção linear, A uma base de V e B uma base de W. Para tornar menos abstrato, porém sem perder a generalização, consideraremos a dim V = e a dim W =. Assim β = { u, v } e β = { u, v, w } Um vetor v de V pode ser escrito como: v =. u +. v ou [v β = [ e sua imagem como: T( v ) =. u +. v + z. w ou [T( v ) β = [ z Aplicando a transformação na primeira combinação linear, vem: T( v ) =. T( u ) +. T( v ) Como conhecemos T( v ) da segunda combinação linear, temos:. u +. v + z. w =. T( u ) +. T( v ) Que na forma matricial fica: u v w T( u ) T( v ) [. [ = [. [ z

8 8 Multiplicando (pela esquerda) toda a equação pela inversa da matriz formada pelos vetores da base β, temos: u v w [ u v w u v w. [. [ = [ z T( u ) T( v ). [. [ u v w [. [ = [ z T( u ) T( v ). [. [ u v w Finalmente: [ = [ z T( u ) T( v ). [. [ A matriz produto será a Matriz da Transformação T(v) Obs: Quanto às matrizes acima, a primeira matriz tem nas suas colunas as coordenadas dos vetores da base β, enquanto na segunda matriz as colunas são formadas pelas coordenadas das imagens dos vetores da base β. Eemplo: Determine a matriz da transformação linear T : R R, se T(,, z) = [ + z, + z, sendo as bases β = { u, v, w } do R e β = { u, v } do R, onde: u = [, v = [, w = [ e u = [, v = [ Pela transformação, temos: Assim: T(u ) = [,, T(v ) = [,, T(w ) = [,

9 9.. z.. z. 4 z Portanto a matriz da transformação será T = 4 Alguns eemplos de transformação lineares no plano ( Operadores diferenciais) Vamos considerar algumas transformações sobre a figura criada no Scilab: pombo

10 Rotação: [ R [ cos(θ) sen(θ) sen(θ) cos(θ) Obs.: Componentes dos versores dispostas em colunas Vamos fazer uma rotação com θ = π/6 sobre a figura (ave) no Scilab: Refleão em : Refleão em :

11 Simetria em relação a origem: Cisalhamento (horizontal): Cisalhamento (vertical): Ampliação: