AULA Exercícios. DETERMINAR A EXPRESSÃO GERAL E A MATRIZ DE UMA TL CONHECIDAS AS IMAGENS DE UMA BASE DO

Transcrição

1 Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia sem consulta prévia das soluções propostas análise comparativa entre as suas resposta e a respostas propostas e posterior eposição junto do docente de todas as dúvidas associadas. ÓPICOS ercícios. UL. ercícios. DRMINR XPRSSÃO GRL MRIZ D UM L CONHCIDS S IMGNS D UM S DO SU DOMÍNIO.. Considere-se a transformação linear () ( ). Vamos determinar a epressão geral de isto é : R R tal que () ( ) e ( ) ( ) R Sendo e então logo () () Prof. José maral LG

2 Pelo que ( ) ficando assim determinada a epressão geral de : ( ) ( ).. Dada a transformação linear : R R tal que ( e ) ( ) e ( e ) ( ) escreva a matriz da transformação. Sendo a matriz canónica da transformação dada por [ e ) ( e )] imediato temos de (.. Seja : R R uma transformação linear tal que () () ( ) ( ) ( ) ( ) Determine a representação matricial de relativamente à base canónica de epressão de z ( ) ( z ) R. R e a Designando por a matriz canónica da transformação temos z ( ) ( z ) logo escrevendo a equação matricial das equações acima resulta Prof. José maral LG

3 I Sendo z ( ) ( z ) temos z z ( ) + z ( z + z).. Seja : R R uma transformação linear tal que ( ) ( ) () ( ) Justifique a eistência e unicidade da transformação. Determine a representação matricial de e a epressão de ( ) ( ) R. Uma aplicação linear cujo domínio é um espaço vectorial de dimensão finita fica perfeitamente definida quando se conhecem as imagens dos vectores de uma qualquer base desse domínio eistindo uma e só uma transformação que relaciona os dois conjuntos de vectores. Designando por a matriz canónica da transformação temos ( ) ( ) logo escrevendo a equação matricial das equações acima resulta Sendo ( ) ( ) temos Prof. José maral LG

4 Prof. José maral LG ( ) ( ) DRMINR MRIZ D UM L DD SU XPRSSÃO GRL.5. Seja ) ( f uma função de R R tal que + doptando a notação matricial podemos escrever e ainda função ) ( f considerada sendo uma transformação matricial é uma transformação linear ) ( sendo a matriz da transformação.6. Determine as matrizes canónicas das transformações ) ( ) ( ) ( ) ( + + ) ( ) ( + Conhecida a epressão analítica da transformação a determinação da matriz canónica da transformação é imediata. Para ) ( ) ( ) ( temos logo

5 Procedendo de modo análogo para ( ) ( + + ) temos: e para ) ( + ) (.7. Dada a transformação linear : R R definida por z ( ) (+ z z) screva a matriz da transformação em relação à base canónica de R. Designando por a matriz canónica da transformação temos z ( ) (+ z z) + z z z ( z ) Logo.8. Dada a transformação linear : R R definida por ( ) ( ) screva a matriz da transformação em relação à base canónica de {( )()( } R e à base de Usando a matriz calculada verifique se o vector ( ) pertence à imagem de. R Prof. José maral LG

6 Podemos começar por calcular a matriz canónica da transformação. emos ( ) ( ) Logo Podemos agora calcular a matriz da transformação em relação à base canónica de e à base de ( )()(. tendendo ao diagrama R { } R [ ] [ ] M [ ] temos pelo que [ ] [ ] M M [ ] ( M ) Dado que M tem por colunas os vectores da base {( )()( } escritos na base canónica temos M m alternativa e mais rapidamente podemos atender a que Prof. José maral LG

7 ( M ) M Resolvendo os dois sistemas de equações em simultâneo temos logo tenda-se a que o vector ( ) está escrito na base canónica. partir da matriz é imediato verificar que não pertence à imagem de dado que o sistema é impossível Para tirar conclusões utilizando a matriz atenda-se a que e pelo que [ ] [ ] [ ] M [ ] [ ] [ ] ( M ) [ ] [ ] [ ] M M Resolvendo o sistema tiraríamos a mesma conclusão (aliás o sistema é o mesmo dado que obviamente M e [ ] [ ]..9. Dada a transformação linear : R R definida por z ( ) ( + ) Prof. José maral LG

8 omando a mesma base no domínio e no contradomínio escreva a matriz da transformação em relação à base de R {( )( )( } tenda-se ao diagrama [ ] [ ] M M [ ] [ ] temos logo Sendo e pelo que temos [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] M M ( M ) M ( M ) M M z ( ) ( + ) + z Prof. José maral LG

9 ( M ) M Note que a relação acima pode ser escrita na forma M M pelo que alternativamente temos resolvendo os sistemas de equações em simultâneo o mesmo resultado de modo mais epedito MISCLÂNS... m R e R é possível fazer uma representação geométrica simples do efeito da aplicação de uma transformação linear quer se considere que os pares ou ternos ordenados são representativos de pontos ou de vectores. m R n a interpretação do resultado da aplicação de uma transformação linear é idêntica embora a sua representação geométrica não seja possível. a) Seja : R R a transformação linear ( ) Figura. emos então transformação u e. Da aplicação da matriz da a qualquer objecto de R resulta uma imagem que corresponde ao seu simétrico relativamente ao eio dos ( ) ( ) Prof. José maral LG

10 b) Seja : R R a transformação linear ( ) u cos( θ) sen( θ) sen( θ) cos( θ) em que θ é um ângulo medido no sentido directo. Cada uma das colunas da matriz de transformação resulta da aplicação da transformação a cada um dos vectores da base canónica de R e e e cos( θ) sen( θ) [ ( ) ( ) ] sen( θ) cos( θ) e e emos assim que cos( θ) sen( θ) cos( θ) ( e ) sen() θ cos() θ sen() θ e cos( θ) sen( θ) sen( θ) ( e ) sen( θ) cos( θ) cos( θ) mbos os vectores da base canónica de R sofrem uma rotação de θ no sentido directo. m resultado da aplicação de uma transformação com matiz Figura. cos( θ) sen( θ) sen( θ) cos( θ) todos os objectos do plano sofrem uma rotação de θ no sentido directo. matriz é por isso chamada matriz de rotação em R... Considere o endomorfismo que tomando um vector ( z ) R o reflecte em relação ao plano z e depois o projecta ortogonalmente sobre o plano z (num referencial z ortonormado). screva a matriz de em relação à base canónica de R e determine todos os vectores ( z ) R tais que z ( ) ( ). Sendo em R a matriz de refleão em relação ao plano z e a matriz de projecção sobre o plano z Prof. José maral LG

11 temos z ( ) z z ( z) Os vectores ( z ) R tais que z ( ) ( ) são as soluções do sistema ou seja ( ) R. z.. Considere a transformação linear : R R que transforma o paralelogramo da figura a) no paralelogramo da figura b). Qual das seguintes matrizes pode ser a matriz da transformação em causa asta atender a que ( ) ( ) a) Ora sendo ( ) e e ( e) temos ( e ) pelo que das matrizes candidatas a única que pode ser a matriz da transformação em causa é a matriz. b) scolhendo dois vectores linearmente independentes por eemplo u () e u () temos ( u ) ( ) e ( u ) () pelo que sendo Prof. José maral LG

12 Prof. José maral LG [ ] [ ] u u u Genericamente [ ][ ] u u >> u[ ]'; >> u[ ]'; >> [- -]'; >> [ ]'; >> [ ]*inv([u u]) -/ -/ COMPOSIÇÃO D RNSFORMÇOS LINRS.. Sendo : R R uma refleão sobre o plano z u u u ) ( : S R R uma rotação de π θ sobre o eio do zz

13 v S( ) S cos( θ) sen( θ) sen( ) cos( ) θ θ U : R R uma epansão de k. 5 r U( v) v U.5.5 v.5 composição de U com S com r V ( u) U( S( ( u)) ( U S )( u) u é uma transformação linear V : R R com matriz de transformação V U S U ou seja S r V ( u) V u.5.5 u.5 Saliente-se que a composição de transformações lineares não é comutativa (basta atender ao facto de se efectuar à custa de um produto matricial)... Dada a transformação linear : R R definida por z ( ) ( + z + z z + ) Prof. José maral LG

14 screva a matriz da transformação em relação à base canónica de R. Considere a base {( )()( ) } de R e seja S : R R a transformação linear cuja matriz em relação à base e à base canónica de R é S Determine a epressão geral de S e determine ( S )( ). matriz da transformação em relação à base canónica de R sendo z ( ) ( + z + z z + ) + z + z z + z é matriz de mudança da base {( )()( ) } R é tendendo ao diagrama para a base canónica de M [ ] [ ] S M S [ ] temos Prof. José maral LG

15 ( ) S M S M S S M S S logo a matriz da transformação S em relação às bases canónicas de S MS ou seja a epressão geral de S é Sz ( ) S( z ) z ( + + z + ) R e R é Finalmente para ( S )( ) temos ( S )( ) S Prof. José maral LG

16 RNSFORMÇÃO LINR INVRS.5 Sendo : R R uma rotação de θ π sobre o eio do zz ( u) u cos( π ) sen( π ) sen( π ) cos( π ) u u a sua transformação inversa tem matriz de transformação u ( ) cos( π ) sen( π ) sen( π ) cos( π ) ou seja como seria de esperar uma rotação de θ π. MISCLÂN..6. Dada a transformação linear : R R tal que () () ( ) ( ) ( ) ( ) a) Determine a matriz que representa em relação às bases canónicas dos dois espaços e ainda a matriz que representa em relação à base canónica de R e à base de ( )( )( )( ). R { } b) Justifique que cada uma seguintes afirmações é verdadeira: b.) ( ) Img( ). b.) ( ) ker( ) b.) () ( ) b.) não é sobrejectiva nem injectiva. Prof. José maral LG

17 b.5) dim(img( )) c) Indique bases para ker( ) e Img( ). d) Determine z ( ) ( z ) R. a) m relação às bases canónicas dos dois espaços resulta directamente do enunciado para a matriz que representa : m relação à base canónica de R e à base de ( )( )( )( ) temos atendendo ao diagrama { } R [ ] [ ] M [ ] que Sendo temos: M ( M ) M M Prof. José maral LG

18 Pelo que resolvendo o sistema temos: M b) Qualquer das 5 alíneas pode ser respondida rapidamente por inspecção da definição da transformação linear. Dado que () () ( ) ( ) ( ) ( ) temos: b.) Logo ( ) Img( ). + + b.) Logo ( ) ker( ). + + b.) Prof. José maral LG

19 b.) transformação é injectiva sse Nuc( ) ( ) ker( ) logo não é injectiva.. Vimos em b.) que transformação é sobrejectiva sse dim(im( )) dim( ). Sendo : R R é: dim(im( )) n e dim( ) m logo a transformação não é sobrejectiva. b.5) Por inspecção da matriz é imediato que a a e a colunas são linearmente dependentes sendo independentes da a logo dim(img( )). c) Podemos calcular uma base para ker( ) procurado as soluções do sistema homogéneo. emos logo z z z O vector ( ) constitui uma base de ker( ) Podemos calcular uma base para Img( ) calculando uma base de col( ) lin( ). emos Os vectores ( ) e ( ) constituem uma base de Img( ). d) emos logo z z ( ) z z z + z ( z) ( z z + z) ( z) R Prof. José maral LG