AULA 13 { } 13. Exercícios. DETERMINAR UMA BASE DE UM SUBESPAÇO Determinar uma base do subespaço de

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1 Prof Isabel Matos & José Amaral ALGA A ercícios DTRMINAR MA BAS D M SBSPAÇO 3 Determinar uma base do subespaço de 4 R { } (,,, ) (,,, ) : ( ) ( ) L u u u u R ma ve que qualquer conjunto de k vectores linearmente independentes pertencentes a é uma base de, sendo k a dimensão do subespaço, a solução particular encontrada depende do método utiliado na sua determinação Dadas as restrições impostas, temos o sistemas de equações Faendo, o que corresponde a considerar e como variáveis livres, e e como variáveis principais, resulta que os vectores ),,, ( u pertencentes ao subespaço são da forma u TÓPICOS ercícios ALA 3 Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realiar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia, sem consulta prévia das soluções propostas, análise comparativa entre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior eposição junto do docente de todas as dúvidas associadas

2 Prof Isabel Matos & José Amaral ALGA A Ou seja, são uma combinação linear dos vectores ) (,,, u e ) (,,, u Dado que u e u são linearmente independentes fica assim determinada uma base de Se analisarmos formalmente o sistema, ou seja, na forma matricial >> A[ - ;- - ]; >> B[ ]'; >> rref([a B]) ans - - -, concluímos que o sistema é possível e indeterminado, sendo e variáveis principais e e variáveis livres, as soluções do sistema são da forma ou seja u são portanto uma combinação linear dos vectores ) (,,, u e ),,, ( 3 u Dado que u e 3 u são linearmente independentes, fica assim determinada uma outra base de Note-se que 3 u u O subespaço tem dimensão ; quaisquer vectores linearmente independentes pertencentes são uma base de

3 RPRSNTAR M VCTOR M BASS DIFRNTS 3 Vimos num eemplo anterior que, em base {, } R, dadas a base canónica { e, e} e e e a, com 3e e e, sendo conhecida a representação de v na base, v, podemos encontrar a representação de v na base [ v] [ v], atendendo ao conceito de matri de transição, [ v] M [ v] [[ ] [ ] ][] v 3 4 pelo que v [ e e ] 4e 4 e Caso fosse conhecida a representação de v na base, v 4e e, e se pretendesse encontrar a representação de v na base [ v] [ v], deveríamos ter em atenção que logo [ v] M [ v] Figura 3 [] v ou seja v Prof Isabel Matos & José Amaral ALGA A

4 R, consideremos a base canónica { e, e} e e u e e, e o vector v 4e e 33 m, a base { u, u }, com u e Consideremos o problema de, sendo conhecida a representação de v na base, encontrar a representação de v na base [ v] [ v] Sendo conhecida a matri de transição da base para a base, e dado que temos M [[ u ] [ u ] ] M M Figura [] v M [] v, ou seja, v u 3u R, consideremos a base { u, u}, 3e e e e 34 m, com u e e e u e e, a base { }, com e, e v Pretendemos encontrar a representação de v na base [ v] [ v] Com os dados do problema, é fácil determinar as matries de transição das base e para a base canónica M M 3 Pelo que, considerando a representação intermédia de v na base canónica, sendo e [ v] [ v] [ v] [ v ] M [ v] [ v] M [ v] M [ v] Prof Isabel Matos & José Amaral ALGA A

5 resulta, ou seja, v u 3u >> u[- ]'; >> u[ -]'; >> [3 ]'; >> [ -]'; >> Me[ ]; >> Mue[u u]; >> v[ ]'; >> vuinv(mue)*me*v vu 3 [] v M M [ v] 3 3 INDPNDÊNCIA LINAR M SPAÇOS D FNÇÕS 35 Verificar se r ( ) p( ) 3 pertence ao subespaço de P gerado por q ( ) e Trata-se de verificar se o vector p( ) pertence ao espaço gerado pelos vectores q ( ) e r ( ), ou seja, verificar se eistem escalares k e k tais que p( ) kq( ) kr( ) Temos então, o que implica, ou seja, na forma matricial O sistema é possível e determinado p ( ) kq ( ) kr ( ) 3 k ( ) k ( ) k k k k k k ( k k ) ( k k ) ( k k ) k k k k 3 k k k k 3 Prof Isabel Matos & José Amaral ALGA A

6 ~ 3, sendo, portanto, k e k Ou seja, p( ) q( ) r( ) 36 Verificar se os vectores, e, e e são linearmente independentes Recorrendo ao ronskiano dos vectores, temos e e det e e 4e e e e 4e Dado que o determinante não é nulo para todo o, os vectores são linearmente independentes MDANÇA D BAS M SPAÇOS D FNÇÕS 37 screver o vector na base {,, } P Temos, o que implica, ou seja, na forma matricial, e, dado que ( ) ( ) 3( ) k k k k k3 k3 3 3 k k k ( k k ) ( k k ) ( k k ) k k3 k k k k 3 k k k 3 ~ temos ( ) ( ) ( ) Prof Isabel Matos & José Amaral ALGA A

7 n 38 À semelhança de R podemos analisar o problema anterior recorrendo ao conceito de matri de mudança de base Considerando a base canónica de P, B {,, }, podemos escrever o vector p( ) na forma (,, ) B, isto é, eplicitando apenas as coordenadas do vector na base canónica Por outro lado, dado que conhecemos as coordenadas dos P,, na base canónica, vectores da base { } P {(,, ) B,(,,) B,(,, ) B}, a escrita da matri de mudança da base P para a base B, M PB, é imediata, dado ser a matri cujas colunas correspondem às coordenadas dos vectores p i na base B Resulta então [ ] [ ] [ ] M p p p PB B B 3 B [ p ( )] M [ p ( )] P M BP PB [ p( ) ] B, tal como tínhamos calculado no eemplo anterior B Prof Isabel Matos & José Amaral ALGA A