ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Resolução do 1º Teste 29 de Abril de 2015; 18:30 Ano Lectivo: Semestre: Verão

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3 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º Teste 3 PARTE 1 1 ç Sendo +, considere o sistema de equações lineares BC+D œ! $B C + D œ + C D œ " a ç Discuta a natureza do sistema em função do parâmetro real +. b ç Faça +œ" e determine a solução geral do sistema dado. c ç Considere +œ$. Mostre que se trata de um sistema de Cramer e calcule o valor de Cna respectiva solução, usando a regra de Cramer. 1a ç Levemos a matriz completa do sistema E\ œ F à forma escalonada, por condensação vertical: " " +! " " +! " " +! P $P" ÄP $ " + + µ PPÄP $ $! + $+ + µ! + $+ +! "! "!! +" + +" Estamos agora em condições de fazer a discussão do sistema: Designando por < a característica da matriz simples, por = a característica da matriz completa, por 8 œ $ o número de incógnitas e sendo 8< o grau de indeterminação, temos: Caso + 8 < = < œ = 8< Natureza do sistema " " $ Sim " Possível simplesmente indeterminado $ $ Não Impossível $ Á " Á $ $ $ Sim! Determinado Ano Lectivo: Semestre: Verão 2015 Abril 29; 18:30

4 4 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º Teste 1b ç A discussão anterior mostra que, para +œ", estamos no caso " em que o sistema é simplesmente indeterminado, tendo uma infinidade simples de soluções. Para determinar a solução geral, bastará fazer +œ" na última das matrizes anteriores e levá-la à forma escalonada reduzida, sendo D a variável livre: " " " "!!! " "!! "Î Bœ " P" P ÄP" PÄP " "! " µ! " Ä! " " "Î Ê " Cœ D "!!!!!!!! PÄP!!!! DœD A solução geral do sistema é: " " " " BßCßD œ ß DßD œ ß ß! D!ß"ß" à D 1c ç Para +œ$, temos <œ$ (caso $ da discussão anterior) e, portanto a matriz E é quadrada e regular, pelo que será dete Á! e o sistema E\œFé de Cramer. Para calcular C, fazemos +œ$ em E e calculamos dete e detec: No cálculo dos determinantes, usamos, em ambos os casos, o método de condensação seguido do teorema de Laplace aplicado à " ª coluna: " " $ " " $ P $P" ÄP! dete œ $ " * œ!! œ œ%!œ%á!!! "! $ "! $ P $P" ÄP $! detec œ $ $ * œ! $! œ œ '! œ ' "! "! " A regra de Cramer dá-nos então: dete C ' $ Cœ œ œ dete % 2015 Abril 29; 18:30 Ano Lectivo: Semestre: Verão

5 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º Teste 5 2 ç No espaço vectorial cartesiano real %, considere a sequência de vectores = œ "ß ß!ß! ß!ß!ß "ß ß "ß "ß "ß " ß!ß!ß ß 5. a ç Usando a teoria dos determinantes, calcule os valores de 5, de modo a que o subespaço gerado por = seja igual a %. b ç Seja K o subespaço de % gerado por "ßß!ß! ß!ß!ß"ß. Caracterize os vectores Bß Cß Dß A K por meio de uma conjunção de equações lineares homogéneas em B, C, D e A. c ç Determine uma sequência geradora de K que não seja uma base de K. d ç Indique um subespaço L K, tal que diml œ". e ç Indique um subespaço J de % que não seja subespaço de K e tal que dimj œ "Þ Determine J K. % % 2a ç Tratando-se de % vectores de, = gera sse = for linearmente independente, o que, por sua vez, acontece sse o determinante de = for não nulo (usamos condensação e teorema de Laplace aplicado à " ª coluna): "!! "!!! "!! "!! " " œ œ " " " œ " " " " " " " 5 œ5%á!í5á%!! 5!! 5!! 5 % % Portanto, o subespaço de gerado por = é igual a sse 5 Á %. 2b ç A sequência = é escalonada e sem vectores nulos, logo = é linearmente independente. Portanto, = é uma base de K e dimk œ. Um vector BßCßDßA K sse?œ "ßß!ß! ß!ß!ß"ß ßBßCßDßA ainda gera K (e não um sobrespaço de K ), o que equivale a dizer que a seguinte matriz deverá ter característica igual a : "!! "!! BP P ÄP!! " µ!! " µ B C D A! BC D A G ÇG " $ $ $ "!! "!! PDPÄP $ $! "! µ! "!! D BC A!! BC D A É agora óbvio que a característica igual a sse BC œ! e D A œ!. Então: KœBßCßDßAÀBCœ! DAœ! " 2c ç Basta juntar a "ß ß!ß! ß!ß!ß "ß um qualquer vector de K, ou seja, uma qualquer combinação linear de "ß ß!ß! e!ß!ß "ß (isto é, um vector satisfazendo as condições expressas em " ), por exemplo, "ß ß!ß! ß!ß!ß "ß ß!ß!ß!ß! ou "ß ß!ß! ß!ß!ß "ß ß "ß ß!ß!!ß!ß "ß œ "ß ß!ß! ß!ß!ß "ß ß "ß ß ß % Ano Lectivo: Semestre: Verão 2015 Abril 29; 18:30

6 6 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º Teste 2d ç Para que seja diml œ ", L deverá ser gerado por um qualquer não nulo de % ; além disso, para que seja L K, deverá K : poderá ser qualquer combinação linear não nula de "ßß!ß! e!ß!ß"ß ); por œ "ßß!ß! : LœP"ß ß!ß! ou L œ P"ß ß!ß!!ß!ß "ß œ P "ß ß ß % 2e ç Para que seja dimj œ ", J deverá ser gerado por um qualquer vector At não nulo de % ; por outro lado, para que J não seja subespaço de K, At não pode pertencer a K: Então, At poderá ser qualquer vector de % que não seja combinação linear de "ß ß!ß! e!ß!ß "ß. Por exemplo, At œ "ß "ß "ß " Ê J œ P"ß "ß "ß " Assim, temos JœBßCßDßAÀBœC CœD DœA. Atendendo a " e e à definição de intersecção, temos: J K œbßcßdßaàbœc CœD DœA BCœ! DAœ! œ!ß!ß!ß! 2015 Abril 29; 18:30 Ano Lectivo: Semestre: Verão

7 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º Teste 7 PARTE 2 " " " " 1 ç Considere a matriz real Eœ e a equação matricial E \EœE. A solução desta $ % equação é: ú \œ % $ ú \œ % $ \œ ú \œ ú % " % " " " " " $ " $ " Multiplicando ambos membros da equação dada à esquerda por E e à direita por E ", obtém-se, " atendendo a que EE œ M: " " E \E œ E Ê E " E \E " E œ " EE " E Ê " EE " " " " \ EE œ ME ÊM\M œe Ê\œE Ora, " " " % $ % " \œe œ E œ œ dete adj " " " $ " Em face do exposto, a resposta correcta é a terceira. T Ano Lectivo: Semestre: Verão 2015 Abril 29; 18:30

8 8 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º Teste & 2 ç Seja E uma matriz real, quadrada de ordem $, tal que E œ M$ e ainda F uma matriz real do tipo $ ". Atente agora nas proposições seguintes envolvendo as matrizes E e F: +ç E é invertível e E " œ E %.,ç O sistema homogéneo E\ œ S tem soluções não nulas. - ç dete œ "..ç O sistema de equações lineares E\ œ F tem solução \ œ FE %. A lista completa formada pelas proposições verdadeiras é: ú +ß, ú,ß-ß. ú +ß-ß. ú +ß- + ç A primeira proposição dada é verdadeira: De facto, atendendo a que E é uma matriz real (e, portanto, dete ), & & E œm ÊdetE œdetm ÊdetE œ"êdete œ"êdete Á!ÊE é invertível $ $ & & " Por outro lado, multiplicando ambos membros de E œ M$ por E (à esquerda ou à direita), obtém-se: & " & " % " E œ M$ Ê E E œ E M$ Ê E œ E, ç A segunda proposição é falsa. Como E é invertível, a sua característica é igual a $ e o sistema E\ œ S é determinado, tendo apenas a solução trivial \œs. - ç Como vimos na primeira alínea, a terceira proposição dada é verdadeira.. ç A última proposição dada é falsa. De facto, o produto FE % nem sequer existe (produto de uma matriz $ " por outra $ $ ). Multiplicando ambos os membros de E\œFà esquerda por E " œe %, obtém-se \œef %. A resposta correcta é, pois, a quarta, +ß Abril 29; 18:30 Ano Lectivo: Semestre: Verão

9 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do 1º Teste 9 3 ç Seja F uma matriz real quadrada regular de ordem e suponha que E é outra matriz real invertível e tal que " E œ " $ %. Apenas uma das seguintes proposições envolvendo as matrizes anteriores é verdadeira. Aponte-a: ú dete " œ " ú detef " F T œ ú detee œ* ú dete œ dete ç A primeira proposição é falsa. Temos, atendendo a que dete " œ : " " det " " E œdet œ det " " E E œ œ % ç A segunda proposição é verdadeira. Temos, atendendo de novo a que dete " œ : " det T det " det T det " " det det " det " EF F œ EF F œ F E F œ F E detf " det " œ E detf œ det " E œ detf ç A terceira proposição é falsa. Temos, atendendo a que dete " œ : det EE œ det $E œ$ det E œ * det œ * E " ç A quarta proposição é também falsa. Aqui, tem-se: dete œ " dete œ dete Á dete Dos cálculos anteriores resulta que a resposta correcta é a segunda. Ano Lectivo: Semestre: Verão 2015 Abril 29; 18:30