ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. Resolução da Repetição do 1º Teste

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1 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Resolução da Repetição do 1º Teste 01 de Fevereiro de 2013 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

2 ISEL è ADMat Secção de Álgebra ç ALGA

3 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 3 PARTE 1 1 ç Seja + Ï! e considere os planos α, e com as seguintes equações cartesianas: α BCDœ!, +B+Dœ e B + C&Dœ a ç Discuta a posição relativa dos três planos em função do parâmetro real +. b ç Verifique que, para +œ, os planos se intersectam segundo uma recta < e determine a equação vectorial da mesma. c ç Escreva a equação cartesiana do plano : paralelo a α e que passa pelo ponto E de coordenadas ß!ß. 1a ç O problema é equivalente a discutir, em função de + Ï!, o sistema formado pelas três equações lineares dadas. Levemos a matriz completa deste sistema à forma escalonada, por condensação vertical e no pressuposto de que +Á! :!!! P+PÄP P+PÄP $ $ +! + µ! + + µ! + + PPÄP $ $ + &! + %!! Estamos, agora, em condições de fazer a discussão do sistema: Designando por < a característica da matriz simples, por = a característica da matriz completa e por 8 œ $ o número de incógnitas, temos: Caso + 8 < = < œ = 8< Natureza do sistema + œ $ Sim Possível simplesmente indeterminado + œ $ $ Não Impossível $! + Á $ $ $ Sim! Possível determinado Em termos geométricos, α e são sempre planos, para todo o + ; quanto a, será um plano se +Á! e vazio, se œg. A discussão será, excluindo o caso +œ! : Caso + Posição relativa de α, e +œ α, e intersectam-se segundo uma recta <Àα œ< + œ α, e definem um prisma triangularàα œ g $! + Á α, e intersectam-se num único ponto FÀα œ F Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2013 Fevereiro 01

4 4 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste As figuras seguintes ilustram cada um dos casos anteriores: a = 2 0< a 2 a =- 2 r B r = 2 s = 2 r = 2 s = 3 r = 3 s = 3 1b ç A discussão anterior mostra que, para +œ, estamos no caso em que os planos se intersectam segundo uma recta <. Para obtermos a equação vectorial de <, basta resolver o sistema, aproveitando a condensação já anteriormente realizada: Fazendo +œ na última das matrizes anteriores e levando-a à forma escalonada reduzida, somos conduzidos à solução geral do sistema (atenda a que a ordem das incógnitas é Bß Cß De ainda ao facto de que a variável livre é D)!! %! Î Bœ > P P ÄP PÄP! µ! µ! Î Ê Cœ > ; onde > œ D!!!!!!!! PÄP!!!! Dœ> A equação vectorial da recta < é: Bß Cß D œ >ß >ß> œ ß ß! > ßß à> Trata-se da recta < que passa pelo ponto ß ß! e que tem a direcção do 1c ç O vector 8t œ ßß é normal ao plano α. Por sua vez, dizer que : é paralelo a α equivale a dizer que 8t é também perpendicular a :: Portanto, : é o lugar geométrico dos pontos T BßCßD tais que o vector TEé ortogonal ao vector 8t mencionado, isto é, deverá ser 8t T E œ! Substituindo 8te E na equação anterior, vem ßß BßCßD ß!ß œ!í ßß BßCßD œ!í B CD œ!íbcd$œ!íbcdœ$ Portanto, a equação cartesiana de : é: : BCDœ$ O problema podia também resolver-se, sabendo que todo o plano paralelo a α terá uma equação do tipo BCDœ., onde. (se o plano passa pela origem, é.œ!); basta, agora, calcular. de modo que : passe por E, isto é, ß!ß deve satisfazer a equação B C D œ.:!œ.ê.œ$ A equação cartesiana de : é, portanto, BCDœ$ Fevereiro 01 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

5 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 5 2 ç Considere as matrizes reais onde Bß Cß D são parâmetros reais.!! EœB àfœ àgœ! C! D a ç Indique os valores de Bß C e D para os quais as matrizes Eß F e G são invertíveis. b ç Faça Cœ na matriz F e determine as matrizes reais \ e ] tais que T M \ œ F M \ ] œ 2a ç Uma matriz real quadrada Y é invertível sse for dety Á!. Portanto, as condições pedidas são, respectivamente, dete œ B Á! detf œcá!ícá detg œdá!ídá! 2b ç A igualdade M \ œ F equivale a M \ œ F, donde resulta \œm F Temos, portanto, que calcular F ; ora, F é uma matriz real de segunda ordem e sabemos que a inversa +, de existe sse +.,- Á! e que -. Então, +,., œ à com +.,- Á! +.,- F œ œ Substituindo F em, temos:! \œm F œ œ!! Como M \ œ F, a igualdade M \ ] œ equivale a F ] œ, donde resulta, multiplicando ambos os membros, à esquerda, por F: T $ ]œf œ œ A inversão de F podia também fazer-se por condensação:! PPÄP!! PPÄP µ µ Ê F œ!!! T T Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2013 Fevereiro 01

6 6 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 3 ç No espaço vectorial real %, considere o subconjunto J definido por JœBßCßDßAÀBAœ! e a sequência = œ ß!ß!ß! ß ß ß!ß! ß ß!ß!ß! ß!ß!ß!ß de vectores daquele espaço. a ç Verifique que J é um subespaço de % e determine uma base e a dimensão de J. b ç Seja W o subespaço de % gerado por =. Determine uma base e a dimensão de W. Caracterize os vectores de W por meio de uma condição sobre as suas componentes. c ç Indique uma base para um subespaço de W de dimensão e uma base de % contendo o maior número possível de vectores de =. 3a ç O conjunto J está definido por meio de uma equação linear homogénea e, nestas condições, tratase necessariamente de um subespaço linear de $. Podemos, no entanto, verificar as condições para que J seja um subespaço: ñ J contém o vector nulo:!ß!ß!ß! J, visto que!! œ!. ñ J é fechado para a adição vectorial: w w w w w w Bß Cß Dß A J B ß C ß D ß A J Ê BAœ! B A œ! Ê w w w w BAB A œ!!êbbaa œ!ê w w w w BBßCCßDDßAA J Ê w w w w Bß Cß Dß A B ß C ß D ß A J ñ J é fechado para a multiplicação de escalar por vector: 5 BßCßDßA J Ê5 BAœ!Ê 5BA œ5!ê5b5a œ!ê 5Bß5Cß5Dß5A J Ê5BßCßDßA J Determinemos agora uma base e a dimensão de J : J œbßcßdßaàbaœ! œbßcßdßaàaœb œbßcßdßbàbßcßd œ B ß!ß!ß C!ß ß!ß! D!ß!ß ß! À Bß Cß D œ P ß!ß!ß ß!ß ß!ß! ß! ß!ßß! Acabámos de mostrar que a sequência ß!ß!ß ß!ßß!ß! ß!ß!ßß! gera J e, sendo óbvia a sua independência linear (a sequência é escalonada e reduzida), trata-se de uma base de J ; Portanto: ß!ß!ß ß!ßß!ß! ß!ß!ßß! é uma base de J e dimj œ$ 3b ç Para determinar uma base de vectores de = W, basta condensar verticalmente a matriz cujas linhas são os!!!!!!!!!!! PPÄP!!!!!! µ PÄP µ!!! P$ P ÄP$!!!! PÇP $ %!!!!!!!!!!!!! 2013 Fevereiro 01 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

7 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 7 Concluímos, assim, que = é linearmente dependente e que W œ P = œ P ß!ß!ß! ß!ß ß!ß! ß!ß!ß!ß Como a lista ß!ß!ß! ß!ß ß!ß! ß!ß!ß!ß é escalonada e reduzida (linearmente independente) e gera W, trata-se de uma base de W; assim: ß!ß!ß! ß!ß ß!ß! ß!ß!ß!ß é uma base de W e dimw œ $ Podemos ainda caracterizar os vectores Bß Cß Dß A W por meio de uma equação linear homogénea em BßCßDßA, basta notar que BßCßDßA W sse a matriz!!!!!!!!! B C D A tiver característica igual a $. Para isso, condensamo-la verticalmente e determinamos a condição para que tal suceda:!!!!!!!!! PBPCPAPÄP % $ %!!! µ!!!!!! B C D A!! D! É agora evidente que a característica é $ sse D œ!, donde WœBßCßDßAÀDœ! 3c ç Qualquer dos vectores da base de W indicada anteriormente, ß!ß!ß! ß!ß ß!ß! ß!ß!ß!ß gera um subespaço de W de dimensão. Por exemplo, ß!ß!ß! constitui uma base de um subespaço de W de dimensão. Para obtermos uma base de % contendo o maior número possível (que é $œdimw) de vectores de = œ ß!ß!ß! ß ß ß!ß! ß ß!ß!ß! ß!ß!ß!ß, comecemos por retirar de = o vector ß!ß!ß! que é múltiplo de ß!ß!ß!, obtendo-se w = œ ßß!ß! ßß!ß!ß! ß!ß!ß!ß w que é uma base de W œp = œp =. O vector!ß!ßß! não pertence a W, visto que a sua $ ª w % componente não é nula; basta agora acrescentá-lo a = para obter uma base, de contendo $ vectores de = :, œ ßß!ß! ßß!ß!ß! ß!ß!ß!ß ß!ß!ßß! Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2013 Fevereiro 01

8 8 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste PARTE 2 1 ç Seja 5 e considere os seguintes vectores de $ :?t œ ß!ß $ ß?t œ ß ß ß?t$ œ!ßß ß?t % œ!ß $ß 5 Para que?t pertença ao subespaço gerado por?tß?tß?t, deverá ser: % $ úç 5Á$ úç 5œ$ ú ç 5œ$ úç 5Á! Os vectores?t ß?tß?t $ são linearmente dependentes, como se mostra a seguir! $! $! $ PPÄP P$ P ÄP$ µ! µ!!!!!! Podemos, pois, dizer que o subespaço gerado por?t ß?tß?t $ é P ß!ß $ ß!ß ß. Então, para que?t% pertença ao subespaço gerado por?tß?tß?t $, deverá ser! $! œ!í5!!!$!œ!í5$œ!í5œ$! $ 5 A resposta correcta é, pois, a terceira Fevereiro 01 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

9 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 9 2 ç Sejam +ß,ß -ß.ß /ß 0ß 1ß 2ß 3 e considere as seguintes matrizes reais: +, - +1, Eœ. / 0 ßFœ.1 /2 03 ßGœ. / , - Atente agora nas seguintes proposições, nas quais se supõe que dete œ %: +ç detfg œ$.,ç deteg œ$. -ç dete œ$..ç dete F œ). A lista formada por todas as proposições anteriores que são verdadeiras é: úç +ß. ú ç,ß. úç +ß -ß. úç -ß. Calculemos os determinantes de F e G em função de dete: +1,2-3 +, - PPÄP $ detf œ. 1 / œ. / 0 œ dete P P$ ÄP , - PÇP $ detg œ. / 0 œ. / 0 œ. / 0 œ dete +, - +, ç A proposição dada é falsa: detfg œ detfdetg œ dete œ ' œ $ ç A proposição dada é verdadeira: ç A proposição dada é falsa: deteg œ detedetg œ dete œ ' œ $ det E œ $ det E œ ) det œ ) E % œ ç A proposição dada é verdadeira: det det E F œ $ det E F œ ) det E det F œ ) E dete œ ) A resposta correcta é, pois, a segunda. Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2013 Fevereiro 01