ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA. Resolução da Repetição do 1º Teste

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1 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Resolução da Repetição do 1º Teste Realizado em 01 de Fevereiro de 2012 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

2 ISEL è ADM Secção de Álgebra ç ALGA

3 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 3 PARTE 1 1 ç Considere o sistema de equações lineares nas incógnitas reais Bß Cß D e onde + e, são parâmetros reais: a ç Escreva o sistema na forma matricial. b ç Discuta o sistema, em função de + e,. BCD œ$ BC +" Dœ,% B "+ D œ,# c ç Considere +œ! e,œ". Resolva o sistema dado, escreva a sua solução geral e use-a para indicar uma solução particular e a solução geral do sistema homogéneo associado. 1a ç Tem-se imediatamente: " " " B $ " " +" C œ,% "! "+ D,# 1b ç Façamos a condensação vertical da matriz completa do sistema " " " $ " " " $ " " " $ PPÄP # " " +",% µ " # P!! +,"! " + ", "! "+,#! " +," µ $ ÄP$ PPÄP $ " $ PÇP $ #!! + ", Sendo < a característica da matriz simples, = a característica da matriz completa e 8 œ $ o número de incógnitas, temos,œ"ê=œ#êsistema indeterminado de grau 8<œ$#œ" +œ!ê<œ#ê,á"ê=œ$ê sistema impossível ( =Á< ; sem solução) +Á!Ê<œ=œ8œ$ÊSistema determinado (uma e só uma solução) 1c ç Fazendo +œ! e,œ" na última matriz anterior e eliminando a última linha nula, obtém-se (recorde que o sistema é simplesmente indeterminado: uma infinidade simples de soluções): " " " $ PPÄP "! " " " # " µ! "! #! "! # A última matriz mostra que B e C são variáveis principais e D é secundária (livre); assim, a solução geral do sistema é Bß Cß D œ " Dß #ß D œ "ß #ß! D"ß!ß " à D Na solução geral anterior, "ß #ß! é uma solução particular (obtida quando D œ!) e D"ß!ß " à D é a solução geral do sistema homogéneo associado. Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2012 Fevereiro 01

4 4 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste " "!! " 2 ç Considere as matrizes reais Eœ # " " e Fœ!!.! " # "! a ç Determine explicitamente a solução da equação matricial E\ œ F. b ç Diga, justificando, qual a relação da matriz \ com a inversa da matriz E. 2a ç Admitindo que E é invertível, teremos, multiplicando ambos os membros de E\ œ F por E " à esquerda " " " " " E\œFÊE E\ œe FÊE E \œe FÊ\œE F Determinemos a inversa de E por condensação (no processo, mostraremos que E tem característica $, logo é invertível) Portanto, " "! "!! " "! "!! P#PÄP # " # PPÄP " # " # " "! "! µ! " " # "! µ PPÄP $ # $! " #!! "! " #!! " "! " " "! "!! $ # " PPÄP " $ "! " " # "! µ! "! % # " PPÄPàPÄP $ # # #!! " # " " #!! " # " " $ # "! " " $ " \œe Fœ % # "!! œ " % # " " "! " # M $ 2b ç A observação do resultado anterior mostra-nos que a primeira e a segunda colunas de \ respectivamente a terceira e a primeira colunas de E ". " Ora isto deve-se ao seguinte: Façamos GœE e fragmentemos GœG" G# G$ e a identidade M$ œi" I# I$ nas suas colunas (repectivamente, GßGßG " # $ e IßIßI " # $ ). A igualdade GM$ œg (lembrar que é elemento neutro na multiplicação matricial) equivale a M $ GI œgà3œ"ß#ß$ 3 3 Então, fragmentando \œ \ " \# nas suas duas colunas \" e \# e observando que as colunas da matriz FœI$ I" dada são precisamente a terceira e a primeira colunas de M$ (por esta ordem), obtemos " " # $ " $ " $ " \ \ œ\œe FœGFœGI I œgi GI œg G Ê\ œg \ œg o que mostra que as colunas de \ são a terceira e a primeira colunas de E ", q.e.d. " $ # " são 2012 Fevereiro 01 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

5 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 5 3 ç Sendo +ß, 3 3 e -3 números reais e usando exclusivamente as propriedades dos determinantes, calcule, justificando adequadamente, o valor do escalar α que satisfaz a seguinte igualdade: $+ # $, # $- # + " + # + $ + " + # + $, ", #, $ -" -# - $ œ α,",#, $ #+ #, # $ $ $ " # $ Temos sucessivamente: $+ # $, # $-# + " + # + $, ", #, $ -" -# -$ #+ $ #, $ #-$ $+ # $, # $- # $+ # $, # $- # $+ # $, # $-# " œ + ", " -" + #,# -# + $, $ -$ #+ $ #, $ #-$ #+ $ #, $ #- $ #+ $ #, $ #-$!! + #,# -# + "," -" + " + # + $ # $ % + "," -" œ' + #,# -# œ',",#, $ + $, $ -$ + $, $ -$ -" -# -$ œ' Conclui-se, assim, que α œ'. A justificação das igualdades é a seguinte: "Þ O vector da segunda linha do determinante dado pode escrever-se na forma + " ß, " ß-" + # ß, # ß-# + $ ß, $ ß-$ e a linearidade do determinante em relação à segunda linha dá a decomposição em três determinantes. Por último, os determinantes da segunda e terceira parcelas são nulos, respectivamente porque a " ª linha é múltipla da segunda e porque a $ ª linha é múltipla da segunda. #Þ A igualdade resulta da linearidade do determinante em relação às três linhas ' œ " $ #. $Þ Anti-simetria do determinante em relação às linhas " e #. %Þ Os determinantes de uma matriz e da respectiva transposta são iguais. Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2012 Fevereiro 01

6 6 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 4 ç No espaço vectorial real $, considere o subespaço J definido por J œbßcßd À#BCDœ! e o subespaço Kgerado pela sequência 1œ "ß"ß" ß!ß"ß&. a ç Determine uma base e a dimensão de J. b ç Determine uma base e a dimensão de K e caracterize os vectores BßCßD K por meio de uma condição sobre as suas componentes. Amplie a base de K que indicou, de modo a obter uma base de $. Justifique. c ç Sendo L œj K, mostre que "ß"ß" L e determine uma base e a dimensão de L. 4a ç Temos J œbßcßdà#bcd œ! œbßcßdàd œ#bc œbßcß#bcàbßc œ B "ß!ß # C!ß "ß " À Bß C œ P "ß!ß # ß!ß "ß " Como acabamos de mostrar, a lista 0 œ "ß!ß # ß!ß "ß " gera J e é linearmente independente (está em escada e os vectores não são nulos), logo é uma base de J, pelo que dimj œ #. " " " 4b ç K é o espaço das linhas da matriz que está escalonada e tem característica #. Então,! " & a lista 1 œ "ß "ß " ß!ß "ß & é uma base de K (de novo, 1 está em escada e os vectores não são nulos e geram K), pelo que dimk œ #. " " " O vector Bß Cß D K sse a matriz! " & tiver característica #. Portanto: B C D " " " " " " " " " PBPÄP $ " $ PBCPÄP $ # $! " & µ! " & µ! " & B C D! CB D B!! 'B&CD A matriz escalonada obtida anteriormente mostra que a característica é # sse 'B&CD œ!, ou seja: KœBßCßDÀ'B&CDœ! Para obter uma base de $ ampliando 1, basta juntar a 1 qualquer vector da forma!ß!ß A, com A Á!; por exemplo,, œ "ß "ß " ß!ß "ß & ß!ß!ß " é uma base (escalonada) de $. 4c ç Por definição de intersecção, temos L œj KœBßCßDÀ#BCDœ! 'B&CDœ! Portanto, L é o espaço das soluções de um sistema de # equações lineares com $ incógnitas (geometricamente, trata-se da intersecção de dois planos passando pela origem). Estes planos só podem ser coincidentes (sistema duplamente indeterminado) ou intersectarem-se segundo uma recta (sistema simplesmente indeterminado), consoante a matriz simples E do referido sistema tiver característica " ou 2012 Fevereiro 01 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

7 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 7 #. Ora, # " "! P# $P" ÄP# # " "! Eœ µ ' & "!! # #! Como a característica de E é #, o sistema que define L ( L é o espaço nulo de E) é simplesmente indeterminado ( 8<œ$# ), o que significa que L é uma recta passando pela origem, intersecção dos planos J e K. Para obter uma base e a dimensão de L, basta agora resolver o sistema, continuando a condensação anterior # " "! " # " "! #! #! " "! "! # P# ÄP# PPÄP " # " P" Ä # P" µ µ µ! # #!! " "!! " "!! " "! Assim, L œbßcßdàbœd C œd D œdßdßdàd œd "ß"ß" ÀD œp "ß"ß" Portanto, o vector "ß "ß " é uma base de L e diml œ " (grau de indeterminação do sistema e nulidade de E). Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2012 Fevereiro 01

8 8 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 1 ç Considere as matrizes reais E e F tais que: PARTE 2 # " " " # Eœ F œ "! e! ". Apenas uma das seguintes igualdades é verdadeira. Indique qual: " " úç F E œ! " "!. " ú ç EF œ # $. " # " " úç E F œ " " " ". úç E F œ $ $ " ". " +, "., Atendendo a que œ, com +.,- Á!, a inversa de E é: -. +.,- - + " " " "! "! " E œ œ " # " # Observe-se que EF œ F E, pelo que as duas primeiras proposições não podem ser ambas verdadeiras. Ora, temos " " " #! " # $ F E œ œ! " " # " # Portanto, a primeira proposição é falsa e a segunda é verdadeira. Como o enunciado afirma que apenas uma das proposições é verdadeira, trata-se necessariamente da segunda. Assim, a terceira e a quarta deverão ser falsas, como facilmente se constata. Para a última expressão EF, será necessário calcular F que será dada por: Fœ " F " œ " #! " Portanto, a resposta correcta é a segunda Fevereiro 01 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

9 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 9 " $! % " 2 ç Sejam α" ß e E œ α $ α. "! " Apenas uma das seguintes proposições é verdadeira. Indique qual: úç det#e œ ) dete. # # úç E é invertível para qualquer valor real de ". ú ç dete não depende do valor real de α. úç Se " œ!, a matriz E é singular. Proposição "ç det#e œ det%e œ% dete œ'% dete Á) dete. # # $ # # # Assim, a primeira proposição é falsa (só é verdadeira se for dete œ!: matrizes singulares). Proposição #ç Temos " $! % " " $ % " dete œ α $ α œ$ œ$" $% " œ$$ " $ œ* " " " " "! " O cálculo anterior mostra que E não é invertível para " œ ". Logo, a segunda proposição é falsa. Proposição $ç O mesmo cálculo mostra que dete não depende de α. A terceira proposição é verdadeira. Proposição %ç dete œ * " " mostra que, para " œ!, se tem dete œ * Á!. Logo E é regular e a quarta proposição é falsa. Portanto, a resposta correcta é a terceira. Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2012 Fevereiro 01

10 10 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º Teste 3 ç Sejam I um espaço vectorial real e = " At uma sequência de vectores de I linearmente independente. Considere agora as seguintes proposições: + ç dimi œ $., ç dimi $. - ç A sequência = # Atß?t@t é linearmente independente.. ç A sequência = $ Atß #?t@t$at é linearmente dependente. A lista completa de proposições verdadeiras é: ú ç,ß. ú ç,ß-ß. ú ç +ß. ú ç +ß- Caso +ç Como a lista = " é linearmente independente, ela é prolongável a uma base de I, mas não será necessariamente uma base de I (só se P = " œ I, isto é, se = " for geradora de I), pelo que as bases de I terão um comprimento igual ou superior a $ e não necessariamente $. Assim, + é falsa. Como vimos, será verdadeira, quando = for uma sequência geradora de I. " Caso,ç Pelo que vimos antes,, é verdadeira. Caso -ç - é falsa, porque o seu quarto vector é combinação linear dos dois primeiros. Caso.ç A última proposição é verdadeira, visto o seu quarto vector ser combinação linear dos restantes. Portanto, a resposta correcta é a primeira,,ß Fevereiro 01 Ano Lectivo: Semestre: Inverno