ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMERIA ANALÍICA Resolução da Repetição do 1º este 04 de Fevereiro de 2015; 19:00 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

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3 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º este 3 1 ç Sendo +ß,, considere as matrizes reais PARE 1 +! ", B Eœ # + ", Fœ " e \œ C. "! "! D a ç Discuta o sistema E\ œ F, nas incógnitas reais Bß Cß D, em função dos parâmetros + e,. b ç Determine os valores de + para os quais a matriz E é invertível. c ç Considere + œ# e, œ. c1 ç Determine a matriz adjunta de E e, recorrendo a esta matriz, determine E ". c2 ç Usando propriedades dos determinantes, calcule o valor de " det # E E " #. c3 ç Resolva o sistema E\ œ F, usando a matriz E " calculada anteriormente. 1a ç Levemos a matriz completa deste sistema à forma escalonada, por condensação vertical: +! ", "! "! "! "! P ÄP P# #P" ÄP# # + " " µ # + " " µ! + " " PÇP " P+PÄP " "! "! +! ",!! "+, No caso +œ! (em que a matriz anterior não está ainda escalonada), temos ainda que realizar uma operação elementar adicional de tipo : "! "! "! "! PPÄP # +œ!ê!! " " µ!! " "!! ",!!!," Estamos, agora, em condições de fazer a discussão do sistema: Designando por < a característica da matriz simples, por = a característica da matriz ampliada e por 8<œ< o grau de indeterminação, temos: Caso +, < = < œ = Natureza do sistema Grau de indet. " +œ", œ! <œ# =œ# Sim Simplesmente indeterminado 8<œ" #, Á! < œ # =œ + œ!, œ " < œ # = œ # %,Á" <œ# = œ Não Sim Impossível Simplesmente indeterminado Não Impossível & + Á"ß!, <œ = œ Sim Determinado 8< œ! 8<œ" Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2015 Fevereiro 04; 19:00

4 4 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º este 1b ç A matriz E é invertível sse < œ. A discussão anterior mostra que, para tal, deverá ser +Á" +Á! e, qualquer em 1c1 ç A discussão mostra que, para + œ# e, œ, estamos no caso & em que o sistema é determinado e dete Á!(sistema de Cramer). Nesse caso, a matriz adjunta de E será # " # " # #! " " " "! # " # #! # adje œ! " # " #! œ! "! œ " "!! " " " "!! " # " #! #! % # " # " #! % # # Assim, a matriz adjunta é #! # adje œ " "! #! % Por outro lado, o determinante de E é, aplicando o teorema de Laplace à # ª coluna: #! " # " dete œ # # " œ # œ # # " œ # " " "! " Portanto, a inversa de E é " " #! # " E œ adje œ " "! dete # #! % 1c2 ç emos, sucessivamente: # # # # " " det " det " " " " " E E œ E E E œ dete dete det E " " " " " " " " " # dete dete # dete # # #% "' œ dete œ œ œ œ 1c3 ç Vimos anteriormente que, para + œ# e, œ, o sistema é determinado. A sua única solução será, em termos matriciais: " " " " " " E\ œ F Í E E\ œ E F Í E E \ œ E F Í M \ œ E F Í \ œ E F Portanto, fazendo,œ em F, a solução é \œe Fœ " #! # ' " " "! " % # # #! % œ " œ # Ê BßCßD œ ß#ß! ' 2015 Fevereiro 04; 19:00 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

5 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º este 5 2 ç Considere, no espaço cartesiano real %, o subespaço a ç Determine uma base e a dimensão de J. J œbßcßdßa % ÀBœCA CœD b ç Mostre que?t œ "ß #ß #ß " J e indique as coordenadas de?t em relação à base que determinou na alínea anterior. c ç Determine uma sequência geradora de J que não seja base de J. d ç Determine, justificando, uma base de % que contenha o maior número possível de vectores de J. 2a ç Ora J pode escrever-se na forma J œ % BßCßDßA ÀBœCA C œd œcaßcßcßaàcßa œc "ß"ß"ß! A "ß!ß!ß" ÀCßA œp "ß"ß"ß! ß "ß!ß!ß" Como nenhum dos vectores da lista, œ "ß "ß "ß! ß "ß!ß!ß " é múltiplo do outro, a lista é linearmente independente e, portanto, constitui uma base de J, pelo que dimj œ #. 2b ç É óbvio que?t œ "ß #ß #ß " œ # "ß "ß "ß! "ß!ß!ß ", o que mostra que?t J. A igualdade vectorial anterior mostra ainda que as coordenadas de?t em relação à base, são #ß". Se não reparássemos imediatamente na relação anterior, podíamos ver se é possível exprimir?t como combinação linear dos vectores de, (tal possibilidade equivale a?t J e, a existirem, α" ß serão as coordenadas pedidas): "ß #ß #ß " œ α"ß "ß "ß! " "ß!ß!ß " œ α "αα" ß ß ß Í α œ # " œ " 2c ç Basta juntar a, uma qualquer combinação linear dos seus vectores, por exemplo, o próprio vector?t ou até o vector nulo "ß "ß "ß! ß "ß!ß!ß " ß "ß #ß #ß " para obtermos uma sequência que é linearmente dependente por construção e que continua a gerar J. 2d ç Comecemos por escalonar,: " " "! PPÄP " " "! " # # µ "!! "! " " " w Portanto,, œ "ß "ß "ß! ß!ß "ß "ß " é outra base (desta vez, escalonada) de J. Como % tem w dimensão %, será necessário acrescentar a, mais dois vectores (obviamente não percentes a J) de modo a obterem-se % vectores de % linearmente independentes. A forma mais simples e óbvia será acrescentar os vectores!ß!ß "ß! e!ß!ß!ß ", o que conduzirá à seguinte base escalonada de % : "ß "ß "ß! ß!ß "ß "ß " ß!ß!ß "ß! ß!ß!ß!ß " Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2015 Fevereiro 04; 19:00

6 6 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º este PARE 2 1 ç Sejam Eß F e G matrizes reais arbitrárias, quadradas de ordem 8 ". Apenas uma das seguintes proposições é verdadeira. Assinale-a: ú a EFœS8 ÊEœS 8 FœS8 EßF 8ß8 ú a 8ß8 EFEF œ E F EßF # # ú a característicae œ8 EFœGEÊFœG EßFßG 8ß8 ú a " " dete Á! E œeêe œe E 8ß8 ç A proposição dada é falsa: Para obter um contra-exemplo, basta que E seja singular não nula e as colunas de F sejam soluções não nulas (que existirão garantidamente) do sistema homogéneo E\ œ S. Por exemplo, " # # # Eœ ÁS Fœ ÁS EFœS # % # " " # # ç A proposição dada é falsa: De facto, tem-se, # # EFEF œe EFFEF A igualdade dada será válida sse E e F forem permutáveis ( EF œ FE). Por exemplo, para " # # Eœ Fœ " " " temos: % % #!! ) EFEF œ œ! % # # ) ) # # ) ( ) %! E F œ œ % "" % " ) "# ç A proposição dada é falsa: Por exemplo, para " " "!! " Eœ ßFœ Gœ! " " " e " # temos! " característicae œ# EFœGEœ FÁG " " 2015 Fevereiro 04; 19:00 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

7 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º este 7 A chamada lei do corte é válida apenas quando E é regular e a matriz E a "cortar" está no mesmo lado do produto em ambos os membros da igualdade: isto é, é falso que a característicae œ8 EFœGEÊFœG EßFßG a EßFßG 8ß8 8ß8 característicae œ8 FEœEGÊFœG odavia, é verdadeiro (demonstre!) que a característicae œ8 EFœEGÊFœG EßFßG a EßFßG 8ß8 8ß8 característicae œ8 FEœGEÊFœG ç A proposição dada é verdadeira: " Como dete Á!, E é invertível, i.e., existe E tal que " " EE œ E E œ M8 ranspondo os membros das igualdades acima, elas equivalem a " E E œ E " E œ M œ M Estas igualdades mostram, por definição de inversa, que E " " 8 8 é invertível e que E œ E " Como E e E são ambas invertíveis, se E for simétrica ( E œ E), será, invertendo ambos os membros, Recorrendo a o que significa que E ", a igualdade anterior equivale a E " E é também simétrica, q.e.d. A resposta correcta é, portanto, a quarta. œ E " " " " œ E Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2015 Fevereiro 04; 19:00

8 8 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º este 2 ç Seja E uma matriz quadrada de ordem tal que E œ M e F ß". Atente agora nas seguintes proposições: +ç O sistema E\ œ S tem soluções não nulas.,ç E é invertível e E " œ E #. -ç A característica da matriz EF é inferior a..ç O sistema E\ œ F tem solução \ œ E # F. A lista completa formada pelas proposições verdadeiras é: ú +ß,ß - ú,ß. ú,ß -ß. ú +ß. # # " # A igualdade E œm equivale a E EœEE œm, o que mostra que Eé invertível e que E œe. +ç A proposição dada é falsa: Já vimos que E é invertível, logo o sistema homogéneo E\ œ S tem apenas a solução trivial \ œ S, ou seja, não tem soluções não nulas.,ç A proposição dada é verdadeira: " # Vimos acima que, efectivamente, E œ E. -ç A proposição dada é falsa: Como E é invertível, a sua característica é. Quanto à matriz EF ß%, tendo mais uma coluna do que E, só poderá ter característica ou %; porém, sendo do tipo %, terá também que ter característica Ÿ ; assim sendo, a característica de E F será exactamente igual a..ç A proposição dada é verdadeira: " Já vimos que Eé invertível e que E œe #. Então, o sistema E\œFé determinado e a sua solução é " " " " " # E\ œ F Ê E E\ œ E F Ê E E \ œ E F Ê M \ œ E F Ê \ œ E F A resposta correcta é, portanto, a segunda,,ß Fevereiro 04; 19:00 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

9 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução da Repetição do 1º este 9 3 ç Em %, considere a sequência =œ "ß!ß"ß! ß!ß"ß#ß! e o subespaço W gerado por =. Apenas uma das seguintes proposições é verdadeira. Indique-a: ú WœBßCßDßA % ÀBDœ! Aœ! ú WœBßCßDßA % ÀB#CDœ! ú WœBßCßDßA % ÀB#CDœ! Aœ! ú WœBßCßDßA % ÀB#CDAœ! A sequência =œ "ß!ß"ß! ß!ß"ß#ß! é linearmente independente, pelo que = é uma base de W e este terá dimensão #. Os conjuntos W dados são todos definidos por sistemas de equações lineares homogéneas, cujo grau de indeterminação será a dimensão do subespaço W que eles definem. Os que são definidos apenas por uma equação terão grau de indeterminação 8<œ%"œ, pelo que não podem definir o subespaço gerado por =, o qual tem dimensão #. Isto deixa-nos apenas com a 1ª e a 3ª hipóteses (que correspondem a sistemas de duas equações independentes com grau de indeterminação 8<œ%#œ# ). Porém, o vector!ß "ß #ß! não pertence ao 1º conjunto, porque não satisfaz a equação BDœ! e este facto exclui a 1ª hipótese. Resta-nos a 3ª hipótese, facilmente se verificando que, de facto, ambos os vectores de = satisfazem as duas condições B#CDœ! e Aœ! nela constantes. A resposta correcta é, portanto, a terceira. Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2015 Fevereiro 04; 19:00