1 Espaços Vectoriais

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1 Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Espaço Vectorial Conjunto de elementos que verifica as seguintes propriedades: Existência de elementos: Contém pelo menos um elemento. Soma: Fecho: A soma de quaisquer dois elementos de é um elemento de. Comutatividade: A ordem por que é feita a soma de vectores de resultado. não afecta o Associatividade: Numa soma de pelo menos vectores de, a prioridade atribuída a cada soma não afecta o resultado. Existência de elemento neutro: Existe um elemento de cuja soma com cada elemento de não o altera. Existência de elemento simétrico: Cada elemento de pode ser somado com outro para resultar no elemento neutro da soma. Multiplicação por números reais: Fecho: A multiplicação de qualquer número real por qualquer elemento de é um elemento de. Associatividade: Numa multiplicação entre pelo menos números reais e elemento de, a prioridade atribuída a cada multiplicação não afecta o resultado. Distributividade em : A multiplicação entre uma soma de números reais e um elemento de é igual à soma da multiplicação de cada um dos números reais por esse elemento. 1

2 Distributividade no espaço: A multiplicação de um número real pela soma de elementos de elementos. é igual à soma da multiplicação desse número real por cada um dos Existência de elemento neutro: A multiplicação de por cada elemento de resulta nesse elemento. Ex.: é um espaço vectorial, porque verifica as seguintes propriedades: Existência de elementos: Soma: Fecho: Comutatividade: Associatividade: ( ) Existência de elemento neutro: Existência de elemento simétrico: Multiplicação por números reais: Fecho: Associatividade: ( ) Distributividade em : Distributividade no espaço: ( ) Existência de elemento neutro: 2 Definição Subespaço vectorial de um espaço vectorial Subconjunto de, que é um espaço vectorial. { 2

3 Ex.: é um subespaço vectorial de porque verifica todas as propriedades de um espaço vectorial. 3 Facto Subespaços vectoriais e propriedades de espaços vectoriais Um subconjunto de um espaço vectorial é um subespaço vectorial de se e só se for: Não vazio: Contém pelo menos um elemento Fechado para a soma: A soma de quaisquer dois elementos de é um elemento de Fechado para a multiplicação por números reais: A multiplicação de qualquer número real por qualquer elemento de é um elemento de. Ex.: é um subespaço vectorial de porque é: Não vazio: Fechado para a soma: Fechado para a multiplicação por escalares números reais: 4 Facto Subespaços vectoriais e o vector nulo Qualquer subespaço vectorial contém o elemento nulo do espaço vectorial a que pertence. Ex.: não é um subespaço vectorial de porque não contém a origem de,. 5 Definição Intersecção de dois conjuntos e Conjunto de elementos que pertencem a e a. Ex.: 3

4 6 Definição Reunião de dois conjuntos e Conjunto de elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos e. Ex.: 7 Definição Soma de dois conjuntos e Conjunto de elementos que resultam da soma de um elemento de. com um elemento de Ex.: 8 Definição Soma directa de dois conjuntos e Soma de e, se e forem subespaços vectoriais de um espaço vectorial, e a intersecção entre eles for o vector nulo de. { * + Ex.: *+ 9 Definição Combinação linear de vectores,,, e, de um conjunto Soma do produto de cada um dos vectores por um número real. Ex.: é uma combinação linear de, e porque. 4

5 10 Definição Sistema de geradores de um espaço vectorial Conjunto de vectores a partir dos quais se obtêm todos os vectores de todas as combinações lineares possíveis., fazendo com eles Ex.: *+, subespaço vectorial de, tem como sistema de geradores, por exemplo, *+, porque fazendo todas as combinações lineares possíveis do vector, obtemos todos os vectores de. 11 Definição Conjunto de vectores,,, e, linearmente dependente Conjunto de vectores em que pelo menos um deles é uma combinação linear dos restantes, ou conjunto apenas constituido pelo vector nulo de um espaço vectorial. * + Ex.: * + é linearmente dependente porque. 12 Definição Conjunto de vectores,,, e, linearmente independente Conjunto de vectores em que nenhum deles é uma combinação linear dos restantes. Ex.: é um conjunto de vectores linearmente independente porque é impossível obter o vector a partir de uma combinação linear do vector, bem como o vector a partir de uma combinação linear do vector. 13 Facto Independência linear, combinações lineares e vector nulo Um conjunto de vectores é linearmente independente se e só se a única combinação linear dos seus vectores que iguala o vector nulo do espaço que o contém é aquela cujos coeficientes são todos 0. 5

6 Ex. 1: O conjunto é um conjunto de vectores linearmente independente porque a única solução de é. Ex. 2: O conjunto é um conjunto de vectores linearmente dependente porque as soluções de são do tipo, pelo que, por exemplo, é uma solução, não sendo assim a única solução. 14 Definição Base de um espaço vectorial Conjunto de vectores de que é: Um sistema de geradores de : Linearmente independente: linearmente independente Ex.: O conjunto é uma base de porque é: Um sistema de geradores de : Linearmente independente: linearmente independente 15 Definição Dimensão de um espaço vectorial ( ) Número de vectores que qualquer base de tem. Número de elementos de vectores de que é possível escolher arbitrariamente. Ex.:, subespaço vectorial de, tem dimensão 1 porque todas as suas bases (como, por exemplo, o conjunto *+) têm 1 vector. Por outro lado, na procura de vectores de, é possível escolher 1 coordenada, tendo a outra que ser igual a esta. 16 Facto Dimensão de um subespaço vectorial nulo Qualquer subespaço que contenha apenas o vector nulo de um espaço vectorial tem dimensão, na medida em que nenhum dos elementos do seu único vector pode ser escolhido. * + 6

7 Ex.: *+, subespaço vectorial de, tem dimensão Facto Dimensão, independência linear e geração de um espaço vectorial Qualquer conjunto de vectores gera um espaço vectorial se: linearmente independente Ex.: O conjunto gera, subespaço vectorial de, porque: (é possível escolher arbitrariamente 2 das coordenadas dos vectores de ) linearmente independente 18 Facto Teorema das Dimensões Se e são subespaços vectoriais do mesmo espaço vectorial, então: Ex.: *+ 19 Definição Coordenadas de um vector de um espaço vectorial numa base de Conjunto ordenado de coeficientes necessários para escrever vectores de. como combinação linear dos Ex.: * + * + * + 7

8 : :. / : 20 Definição Produto interno de dois vectores, e, de Soma do produto das coordenadas homólogas de e. Ex.: 21 Propriedades Propriedades do produto interno de dois vectores, e, de Associatividade em : Comutatividade: Distributividade: Exs.: Associatividade em : ( ) Comutatividade: Distributividade: ( ) 22 Definição Norma Euclideana de um vector,, de () Medida do comprimento de. Ex.: 8

9 23 Fórmula Coseno do ângulo formado entre dois vectores, e, de ( ) Ex.: (( ) ) 24 Definição Projecção ortogonal de sobre, vectores de ( ) Vector resultante da transformação de num vector paralelo a. Ex.: 25 Definição Vectores e, de, perpendiculares ou ortogonais Vectores cujo produto interno é. Ex.: 26 Facto Ortogonalidade mútua e independência linear de factores Qualquer conjunto de vectores mutuamente perpendiculares que não contenha o vector nulo é linearmente independente. Ex.: * + { 9

10 27 Definição Base ortonormada de um espaço vectorial Base de constituída por vectores mutuamente perpendiculares e de norma. { Ex.: {. /. /} é uma base ortonormada de porque é constituída por vectores perpendiculares e de norma. 28 Algoritmo Algoritmo de Gram-Schmidt para a obtenção de uma base ortonormada de um espaço vectorial 1 Ortogonalização: Obtenção de uma base ortogonal de, de dimensão, a partir de outra base de. Definição de : Escolher para primeiro vector de o primeiro vector de. Obtenção dos restantes vectores de : Calcular, substituindo por na fórmula abaixo indicada. Calcular, substituindo por. Continuar a calcular os vectores de, substitundo pelos restantes números naturais, de forma crescente, até. [ ] [ ] 2 Normalização: Depois de obtida a base, obter uma base ortonormada de, multiplicando cada vector de pelo inverso da sua norma Ex.: * + base de 1 Ortogonalização: [ ] [. / ] { } 10

11 2 Normalização: ( ). /. / ( ) ( ) {( ) ( ) ( )} 29 Definição Complemento ortogonal de um conjunto, em Conjunto de vectores de que são perpendiculares a todos os vectores de. Ex.: 30 Facto Perpendicularidade e bases de espaços vectoriais Um vector é perpendicular a todos os vectores de um espaço vectorial se e só se for perpendicular a todos os vectores de qualquer uma das suas bases. Ex.: *+ porque todos os elementos de são perpendiculares a. 31 Definição Vector diferença de um plano, de Vector que é a diferença entre dois vectores de. Ex.: é o plano de que passa por, e. é um vector diferença de porque é a diferença entre os vectores e, que pertencem a. 11

12 32 Definição Vector normal a um plano, de Vector que é perpendicular a todos os vectores diferença de. Ex.: é o plano de que contém, e. é um vector normal a porque é perpendicular a qualquer vector diferença de. 33 Facto Vector normal a um plano e vectores do plano Um vector é normal a um plano de se e só se for perpendicular a pelo menos vectores diferença do plano não paralelos. { Ex.: é o plano de que contém por, e. e são dois vectores diferença de não paralelos. é perpendicular a estes dois vectores, logo é um vector normal a, sendo por isso também perpendicular a todos os outros vectores diferença de. 34 Fórmula Equações de um Plano, de, que contém e é normal a Normal: Cartesiana: Ex.: Equações do plano de que contém e é normal a : Normal: ( ) Cartesiana: 35 Definição Distância Euclideana entre dois vectores, e, de ( ) Norma Euclideana do vector diferença entre e., - 12

13 Ex.: ( ) 36 Definição Distância Euclideana entre um vector,, e um plano de, que contém e é normal a ( ) Norma Euclideana do vector diferença de menor comprimento possível entre de. e um vector Ex.: ( ) 37 Definição Distância Euclideana entre dois planos paralelos, e, de ( ) Norma Euclideana do vector diferença de menor comprimento possível entre um vector de e um vector de. Distância Euclideana entre um vector de e o plano. Distância Euclideana entre um vector de e o plano. Ex.: ( ) ( ) 13