ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

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1 ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Resolução do Exame (Época de Recurso) 20 de Fevereiro de 2015; 10:00 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

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3 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época de Recurso) 3 PARTE 1 1 ç Considere o sistema de equações lineares nas incógnitas Bß Cß D, onde + e, são parâmetros reais: BC,D œ, +" C œ" BC +, Dœ#, a ç Discuta a natureza do sistema, em função dos parâmetros + e,. b ç Para que valores de c ç Faça +œ# e,œ". Calcule: c1 ç dete ". + e, tem o sistema homogéneo associado soluções não nulas? c2 ç O valor de Bna solução do sistema, usando a regra de Cramer. 1a ç Levemos a matriz completa ÒE FÓdo sistema à forma escalonada, por condensação vertical: " ",, " ",, PPÄP $ " $! +"! " µ! +"! " " " +, #,!! +, Estamos, agora, em condições de fazer a discussão do sistema: Designando por < a característica da matriz E simples, por = a característica da matriz ÒE FÓ completa e por 8 œ $ o número de incógnitas, resumimos a discussão no quadro seguinte: Caso +, < = < œ = 8< Natureza do sistema "!! # # Sim " Possível simplesmente indeterminado # Á! # $ Não Impossível $ " # $ Não Impossível % Á! Á " $ $ Sim! Possível determinado 1b ç O sistema homogéneo associado tem soluções não nulas, quando for indeterminado, i.e., a matriz E deverá ser singular ( < $ ). A discussão anterior mostra que se tem <$, quando +œ! +œ" (independentemente de,). Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2015 Fevereiro 20; 10:00

4 4 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época de Recurso) 1c1 ç A discussão do sistema antes realizada mostra que, para +œ# e qualquer,, o sistema é determinado (caso %) e sê-lo-á, em particular, para, œ " : A matriz E terá característica < œ $, logo, E é invertível e " " " det E œ det œ " " œ#ê E œ " det œ "! "! T. Lap ", para " " E # +œ#,œ". " " " 1c2 ç Para +œ# e qualquer,, o sistema é de Cramer, pelo que, sendo EB a matriz que resulta de E substituindo a sua " ª coluna por F, temos, com, œ ", " " " dete B " " & Bœ œ " "! œ "!"#!" œ, para +œ#,œ". dete # # # # " " 2015 Fevereiro 20; 10:00 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

5 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época de Recurso) 5 2 ç Considere, em %, o subespaço JœBßCßDßAÀBCAœ! e a sequência a ç Determine uma base e a dimensão de J. = œ "ß "ß $ß! ß "ß!ß #ß ". b ç Seja K o subespaço de % gerado por =. Caracterize os vectores BßCßDßA K por meio de um sistema de equações lineares homogéneas em Bß Cß Dß A. c ç Determine uma base e a dimensão de J K. d ç Determine um vector?t de % que satisfaça a condição?t J?tÂK. 2a ç Temos: JœBß Cß Dß AÀ B C A œ! œ Bß Cß Dß C BÀ Bß Cß D œ B "ß!ß!ß " C!ß "ß!ß " D!ß!ß "ß! À Bß Cß D A lista <œ"ß!ß!ß " ß!ß "ß!ß " ß!ß!ß "ß! gera J e é linearmente independente (escalonada e sem vectores nulos), logo < é uma base de J, pelo que "ß!ß!ß " ß!ß "ß!ß " ß!ß!ß "ß! é uma base de J e dimj œ $. 2b ç Os vectores de = são linearmente independentes, o que implica que = é uma base de K e que dimk œ #. Caracterizemos agora K por meio de um sistema de equações lineares homogéneas: Um vector Bß Cß Dß A % pertence a K se e só se K œp "ß"ß$ß! ß "ß!ß#ß" ßBßCßDßA Í dimp "ß"ß$ß! ß "ß!ß#ß" ßBßCßDßA œ # Portanto, a seguinte matriz deverá ter característica igual a #: " " $! " " $! " " $! PPÄP # "! # " µ " # PCBPÄP $! " " "! " " " B C D A! BC $BD A µ # $ PBPÄP $ " $!! #BCD BCA Então: KœBßCßDßAÀ#BCDœ! BCAœ! 2c ç Todo o vector BßCßDßA K satisfaz BCAœ! e, portanto, pertencerá também a J. Isto significa que K J. Então: J KœKœBßCßDßAÀ#BCDœ! BCAœ! Deste modo, = œ "ß "ß $ß! ß "ß!ß #ß " é uma base de J K dimj K œ#. 2d ç O vector Bß Cß Dß A % pedido deverá satisfazer a equação BCAœ! (para pertencer a J), mas não a equação #BCDœ! (para não pertencer a K). Por exemplo, poderá ser?t œ "ß "ß "ß! J Ï K. Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2015 Fevereiro 20; 10:00

6 6 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época de Recurso) 3 ç Seja E uma matriz real quadrada de ordem $ tal que " #!!!! E " œ # ß E " œ $ ß E! œ! " # " $ " # $ $ e suponha que E é a matriz canónica de um endomorfismo 0À Ä. Determine: a ç Os valores próprios de 0 e as respectivas multiplicidades algébricas e geométricas. b ç O polinómio característico de 0. c ç Uma base para cada subespaço próprio de 0. " d ç Uma matriz diagonal H e uma matriz invertível X tais que H œ X EX. Determine ainda a matriz E. 3a ç As igualdades matriciais dadas equivalem a 0 "ß"ß" œ# "ß"ß" 0!ß"ß" œ$!ß"ß" 0!ß!ß" œ#!ß!ß" o que significa que "ß "ß " é um vector próprio associado ao valor próprio -" œ #!ß "ß " é um vector próprio associado ao valor próprio -# œ $!ß!ß " é um vector próprio associado ao valor próprio - $ œ # O espectro de 0 é E0 œ $ß#ß# Como as multiplicidades algébricas terão que ser " e deverão somar $œdim, terão que ser todas iguais a ": Temos Por outro lado, temos a 7 - œ " - E0 + a "Ÿ7- Ÿ7 - Ê a "Ÿ7- Ÿ" Ê a 7- œ" E0 - E0 - E0 Então, será $ 7 - œ $ œ dim, o que permite concluir que 0 é diagonalizável. - E0 1 $ 2015 Fevereiro 20; 10:00 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

7 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época de Recurso) 7 3b ç Os zeros do polinómio característico de 0 (do $ º grau) são os valores próprios de 0, pelo que : - œ -$ -# -# œ - $ - % -"# 0 $ # 3c ç Os subespaço próprios de 0 têm todos dimensão "( multiplicidade geométrica) e as bases são Base de I$ 0 œ!ß "ß " Base de I# 0 œ!ß!ß " Base de I 0 œ "ß "ß " # 3d ç Escolhendo a base de $ / œ!ß "ß " ß!ß!ß " ß "ß "ß " formada inteiramente por vectores próprios de 0, a representação matricial de 0 será a matriz diagonal A matriz $!! Hœdiag$ß #ß # œ! #!!! # X é a matriz de mudança da base canónica para a base / anteriormente indicada!! " Xœ "! " " " " " Com estes valores para H e X, teremos H œ X EX ( H é semelhante à matriz diagonal E). Para determinar E, basta multiplicar ambos os membros desta igualdade por X (à esquerda) e por X " (à direita): Determinemos agora X " : Então, " " " " " H œ X EX Í XHX œ XX EXX Í E œ XHX M M $ $ " " "! " " "! " X œ adjx œ " "! œ! " " detx "! "! "!! EœXHX "!! " $!! " "! œ "! "! #!! " " " " "!! # "!!!! # " "! œ $! #! " " $ # # "!! #!! œ & $! & " # T Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2015 Fevereiro 20; 10:00

8 8 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época de Recurso) 4 ç Em $, dotado do produto interno canónico, considere os vectores?tœ "ß!ß5 a ç Determine os valores reais de 5 para os quais o ângulo entre?t é igual a 1Î$. b ç Faça 5 œ " e calcule: b1 ç b2 ç A área do paralelogramo definido por?t b3 ç Um vector ortogonal a?t e com norma igual &. 4a ç Sendo! Ÿ ) Ÿ 1 o ângulo entre?t 1 "ß!ß 5 5ß "ß! " 5 cos ) œ Í cos œ Í œ $ "ß!ß 55ß "ß! # "5 # "5# # # # "5 œ# 5 Í5 #5"œ!Í5" œ!í5"œ!í5œ" 4b1 ç A projecção ortogonal sobre?t é "ß"ß! "ß!ß " "ß!ß " œ " "ß!ß " œ "?t?t "ß!ß " "ß!ß " # # "ß!ß" 4b2 ç A área do paralelogramo definido por?t é dada por $ Ora, sendo t-ß-ß- " t# t$ a base canónica de, tem-se " " -t "! " " " " œ! " -t # œ t- t- t- œ t- - t - t œ "ß"ß" "! " "! #! " $ " # $ "! -t $ Então, œ "ß "ß " œ $ 4b3 ç O œ "ß "ß " é ortogonal a?t pelo que todos os vectores ortogonais a?t serão da forma > "ß"ß", com >. Basta, pois, determinar >, de forma a que > "ß"ß" œ& & & & > "ß"ß" œ&í > "ß"ß" œ&í > $œ&í > œ Í>œ >œ $ $ $ As duas soluções do problema serão os vectores & & $ "ß "ß " e $ "ß "ß " Fevereiro 20; 10:00 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

9 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época de Recurso) 9 1 ç Seja Atente agora nas seguintes proposições: +çe é invertível se e só se α Á!.,çdetE œ & αα ". T % -çdete œ & α α". α # # $ " " " ".çdete œ α. # # $ $ " # # $ A lista completa de proposições verdadeiras é: PARTE 2 α # # $ α α α α Eœ # # $ $ " # # $ úç +ß-ß. úç,ß- ú ç,ß. úç +ß. Calculemos o determinante de E: α # # $ α # # $ α α α α " " " " " dete œ œ α # # $ $ # # $ $ " # # $ " # # $ α "!!! " " " # " " " " $ œ α œ αα " # $ $ # # $ $ # # $ " # # $ " "! % & " " œ αα " # $! œ αα " # $ # # " ' œ& αα " Segue-se a justificação de cada igualdade: ". Linearidade na # ª linha. #. Operação do tipo $ : P" P% Ä P". $. Teorema de Laplace aplicado à " ª linha. %. Operação do tipo $ : G$ G# Ä G$. &. Teorema de Laplace aplicado à coluna $. '. Definição de determinante de # ª ordem. Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2015 Fevereiro 20; 10:00

10 10 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época de Recurso) Vejamos agora o valor de verdade das proposições: +ç A proposição é falsa. Eé invertível se e só se dete œ& αα " Á!ÍαÁ! αá".,çvimos antes que dete œ & αα ". A proposição é, pois, verdadeira. -ça proposição é falsa. De facto, det T % E œ dete œ & αα " Á & αα".ç A proposição é verdadeira e resulta da linearidade do determinante em relação à # ª linha (que usámos no passo " no cálculo de dete, anteriormente realizado). Em face do exposto, a resposta correcta é a terceira,,ß Fevereiro 20; 10:00 Ano Lectivo: Semestre: Inverno

11 Álgebra Linear e Geometria Analítica - Resolução do Exame (Época de Recurso) 11 2 ç Seja 0À $ Ä % uma função linear tal que 0 "ß!ß! œ!ß#ß!ß! 0 "ß"ß! œ!ß#ß!ß!. 0!ß!ß" œ #ß#ß!ß! Apenas uma das seguintes proposições é verdadeira. Assinale-a: ú #ß'ß!ß! ÂImg 0. ú A nulidade de 0 é igual a ". ú 0 é sobrejectiva e não injectiva. ú Para todo o BßCßD $, tem-se 0BßCßD œ #Bß#B#C#Dß#B#Cß!. Facilmente se nota que!ß "ß! œ "ß "ß! "ß!ß! ; então 0!ß "ß! œ 0"ß "ß! 0 "ß!ß! œ!ß #ß!ß!!ß #ß!ß! œ!ß!ß!ß! Podemos agora produzir as seguintes afirmações: " O vector!ß "ß! Ker 0; portanto, Ker 0 Á!ß!ß! o que mostra que 0 não é injectiva. # A imagem de 0 será Img0 œ P0 "ß!ß! ß 0 "ß "ß! ß 0!ß!ß " œ P!ß #ß!ß! ß!ß #ß!ß! ß #ß #ß!ß! œ P!ß #ß!ß! ß #ß #ß!ß! A sequência!ß #ß!ß! ß #ß #ß!ß! é uma base Img 0, pelo que a característica de 0 é #. $ O teorema fundamental mostra-nos que a nulidade de 0 é $# œ ". % É claro que 0 não é sobrejectiva, visto que Img 0 œp!ß#ß!ß! ß #ß#ß!ß! Á %. Vejamos então o valor de verdade das quatro proposições apresentadas: ç A primeira proposição é falsa. Temos #ß'ß!ß! œ #ß#ß!ß! #!ß#ß!ß! œ0!ß!ß" #0 "ß"ß! œ 0!ß!ß " # "ß "ß! œ 0#ß #ß " Assim, #ß'ß!ß! œ0#ß#ß", o que mostra que #ß'ß!ß! Img 0. ç Vimos acima que a segunda proposição é verdadeira. ç A terceira proposição é falsa, como vimos antes ( 0 não é sobrejectiva: Img0 Á % ). ç A quarta proposição dada é falsa. Como Img 0 œp!ß#ß!ß! ß #ß#ß!ß! e 0BßCßD Img 0, a $ ª e a % ª componentes de 0BßCßD serão necessariamente nulas, visto que 0BßCßD será combinação linear de!ß#ß!ß! e de #ß#ß!ß!. Assim, a $ ª componente de 0BßCßD deverá ser nula e não igual a #B#C, como se indica na expressão dada. De tudo o que ficou dito, concluímos que a única proposição verdadeira é a segunda. Ano Lectivo: Semestre: Inverno 2015 Fevereiro 20; 10:00