Valores próprios (de uma matriz): tais que det(a I) = 0. Vectores próprios (de uma matriz) associados a um valor próprio : v 2 N (A I)n f0g

Transcrição

1 Polinómio característico: det(a I) Valores próprios (de uma matriz): tais que det(a I) Vectores próprios (de uma matriz) associados a um valor próprio : v N (A I)n fg N (A I) é o subespaço próprio associado ao valor próprio Multiplicidade algébrica de um valor próprio : m a () n o de vezes que esse se repete em det(a I) Multiplicidade geométrica de um valor próprio : m g () dim N (A I) m g () m a () Matrizes (A e B) semelhantes: B SAS 1

2 Matriz A diagonalizável: D P AP 1 det A 1 n tr A n Valores próprios e vectores próprios de uma transformação linear Transformações lineares diagonalizáveis Projecções

3 De nição. Seja A M nn : Se existirem matrizes P e D diagonal tais que 1 invertível D P AP 1 então A é diz-se diagonalizável. Observação. Se A fôr uma matriz diagonal então P 1 I: Observação. Se D P AP 1 com D matriz diagonal então para k N D k P A k P 1 A k P 1 D k P

4 Observação. Se P 1 h v 1 ::: v n i e D n então D P AP 1 AP 1 P 1 D 8 >< >: Av 1 1 v 1 Av n n v n (v i N (A i I)n fg i 1; :::; n e i é tal que det(a i I) )

5 De nição. é valor próprio de A satisfaz: det(a I) De nição. Polinómio característico de A M nn : det(a I) De nição. m a () multiplicidade algébrica de é a multiplicidade de como raíz de det(a I): De nição. v é vector próprio de A associado ao valor próprio de A v N (A I)n fg De nição. N (A ao valor próprio I) é o subespaço próprio associado I) m g () é a multiplici- De nição. dim N (A dade geométrica de

6 De nição. Sejam A; B M nn. A e B dizem-se semelhantes se e só se existir S invertível tal que B SAS 1 Observação. Duas matrizes são semelhantes se e só se existirem bases em relação às quais essas matrizes representem a mesma transformação linear. Teorema. A; B M nn. Se A e B forem semelhantes então A e B têm o(a) mesmo(a): (i) determinante; (ii) característica; (iii) nulidade; (iv) traço; (v) polinómio característico e os mesmos valores próprios.

7 Polinómio característico de A M nn : det det(a I) a 11 a 1 a 1n a a n 1 n a n1 a n n 1 a nn ( 1 ) m 1( ) m ( k ) m k Tem grau n: 1 ; :::; k valores próprios distintos de A m 1 ; :::; m k multiplicidades algébricas m 1 + m + + m k n: Para todo o valor próprio de A m g () m a ()

8 Polinómio característico de A: det(a I) det a 11 a 1 a 1n a a n 1 n a n1 a n n 1 a nn ( 1 ) m 1( ) m ( k ) m k O coe ciente do termo de grau n é ( 1) n O coe ciente do termo de grau n 1 é ( 1) n 1 tr A O termo constante é: det(a I) det A é um valor próprio de A det A A não é invertível Teorema. Sendo 1 ; ; : : : ; n os valores próprios de A (repetidos de acordo com a respectiva multiplicidade algébrica). Então det A 1 n tr A n.

9 Teorema. Para todo o valor próprio de A m g () m a () Dem. Seja um qualquer valor próprio de A. Seja r m g () dim N (A I). Seja fu 1 ; :::; u r g uma base de N (A I). Seja fu 1 ; :::; u r ; u r+1 ; :::; u n g uma base de R n (ou de C n ). Seja S 1 [u 1 :::u r u r+1 :::u n ]. Tem-se SAS 1 I rr (n r)r. Logo como SAS 1 e A têm o mesmo polinómio característico então é uma raíz do polinómio característico de A com multiplicidade algébrica pelo menos igual a r.

10 Teorema. A M nn. Se A tiver valores próprios distintos 1 ; :::; k e se v 1 ; :::; v k forem os vectores próprios associados a cada um destes valores próprios então os vectores v 1 ; :::; v k são linearmente independentes. Teorema. A M nn (R) é diagonalizável se e só se existir uma base B vp de R n formada por vectores próprios de A. Na diagonal principal de D estarão os valores próprios de A pela ordem dos vectores próprios correspondentes na base B vp. P 1 será a matriz cujas colunas são os vectores próprios de A da base B vp de R n pela mesma ordem tendo-se (analogamente em C n ) D P AP 1

11 Teorema. A M nn 1 ; :::; k valores próprios distintos de A Então são equivalentes: (i) A é diagonalizável. (ii) A tem n vectores próprios linearmente independentes. (iii) k P i1 m g ( i ) n (iv) m g ( i ) m a ( i ) para todo o i 1; :::; k. Teorema. Se A M nn (R) então A é diagonalizável R n N (A 1 I) ::: N (A k I)

12 De nição. T : V! V linear. é um valor próprio de T se e só se existir v V n fg tal que T (v) v a esses vectores não nulos v chamam-se vectores próprios associados ao valor próprio. N (T I) fv V : T (v) vg é o subespaço próprio associado ao valor próprio e dim N (T I) m g () é a multiplicidade geométrica de :

13 Teorema. T : V! V linear. é um valor próprio de T N (T I) fg Teorema. Se A M (T ; B; B) então fvalores próprios de T g fvalores próprios de Ag Os vectores de N (A I) são as coordenadas dos vectores de N (T I) em B. m g () dim N (T I) dim N (A I). Observação. Se V R n e A M (T ; Bc n ; Bc n ) então N (T I) N (A I) fvalores próprios de T g fvalores próprios de Ag fvectores próprios de T g fvectores próprios de Ag

14 De nição. T : V! V linear. T é diagonalizável se e só se existir uma base (ordenada) B de V em relação à qual a matriz M (T ; B; B) seja uma matriz diagonal D. Nesse caso tem-se B B vp de T Observação. Se A M (T; B; B) e se existir B vp de T então com D M (T; B vp ; B vp ) P AP 1 P 1 S Bvp!B Observação. Se V R n e B B n c então P 1 S Bvp!B n c

15 De nição. T : V! V linear diz-se projecção se e só se T T T (T T ) Teorema. T projecção ) V N (T ) I (T ) T projecção ) I (T ) N (T I) T projecção ) V N (T ) N (T I) T projecção ) os valores próprios de T são e 1 T projecção e dim V < 1 ) T é diagonalizável Os valores próprios de T são e 1 ; T projecção De nição. Considerando um produto interno T : V! V linear dir-se-á projecção ortogonal se e só se T T T (T T ) e N (T ) (I (T ))?

16 Exemplo. Uma matriz com todos os valores próprios distintos. A det(a I) ( 1) ( ) Valores próprios de A: 1. Os vectores próprios associados ao valor próprio são os vectores não nulos de N (A I). N (A) L (f( 1; ; 1)g) logo m g () m a () 1 N (A I) L (f(1; 1; 1)g) logo m g (1) m a (1) 1 N (A I) L (f(1; ; 1)g) logo m g () m a () 1 B f( 1; ; 1) ; (1; 1; 1) ; (1; ; 1)g é uma base de R formada por vectores próprios de A:Logo A é diagonalizável isto é existe P invertível tal que P AP 1 D é uma matriz diagonal. D 1 ; P

17 Exemplo. Uma matriz com valores próprios repetidos mas diagonalizável. A det(a I) ( 1) ( ) Os valores próprios de A são 1 e. N (A I) L (f(; 1; ) ; ( 1; ; 1)g) m g (1) m a (1) N (A I) L (f(1; ; 1)g) logo m g () m a () 1 R N (A I) N (A I) B f(; 1; ) ; ( 1; ; 1) ; (1; ; 1)g é uma base de R de vectores próprios de A. Logo A é diagonalizável existe P invertível tal que P AP 1 D é uma matriz diagonal. D 1 1 P 1 1

18 Exemplo. Uma matriz com valores próprios repetidos e não diagonalizável. A det(a I) ( ) ( ) Valores próprios de A: e. N (A I) L (f(1; ; 1)g) logo 1 m g () < m a () N (A I) L (f(; 1; )g) logo m g () m a () 1 como R N (A I) N (A I) então não existe uma base de R formada só por vectores próprios de A. Logo a matriz A não é diagonalizável isto é não existe P invertível tal que P AP 1 seja diagonal.

19 Exemplo. Uma matriz com apenas um valor próprio real. A det(a I) (1 ) + 1 Valores próprios de A: 1 1 i i. Logo a matriz A não é diagonalizável em M (R). No entanto como os três valores próprios são distintos A é diagonalizável numa matriz de entradas complexas: D 1 i i

20 Exemplo. A sucessão de Fibonacci (Leonardo de Pisa 1). Seja (v n ) nn tal que v 1 1; v 1 e v n+ v n + v n+1 n N. ( vn+1 v n+1 v n+ v n + v n+1 vn+1 v n+ 1 vn v n+1 vn+1 v n Valores próprios de N N 1 1 n v1 v L L vn v n+1 1 vn 1 v n 1 n 1 1 : 1 1+p e 1 p. ( ( 1 + p ; p ; 1.!)!!)!

21 Como existe uma base de R formada por só por vectores 1 próprios então é diagonalizável. P 1 1+ p vn+1 v n+ 1+ p 1 P n 1 1 p + p p 1 p 1 1+p 1 p 1n P A 1 1 p1 1+ p n+1 p1 1+ p n+ 1 p! n+1 1 p! n+.

22 Exemplo. u (t) au (t) u(t) u (t) ke at ( u 1 (t) u 1 (t) u (t) u (t) ( u1 (t) k 1 e t u (t) k e t u 1 (t) u (t) u1 (t) u (t) u1 (t) u (t) k 1 1 e t + k 1 e t

23 ( u * 1 (t) u 1 (t) + u (t) u (t) u 1 (t) + u (t) u 1 (t) u (t) 1 u1 (t) u (t) u 1 (t) u (t) P 1 DP u1 (t) u (t) P u 1 (t) u (t) DP u1 (t) u (t) Seja w1 (t) w (t) P u1 (t) u (t) u1 (t) u (t) P 1 w1 (t) w (t)! w 1 (t) w (t) D w1 (t) w (t)

24 w 1 (t) w (t) D w1 (t) w (t) w 1 (t) w (t) w1 (t) w (t) w1 (t) w (t) k 1 1 e t + k 1 e t Mas u1 (t) u (t) P 1 w1 (t) w (t) u1 (t) u (t) 1 k 1 1 e t + k 1 e t! u1 (t) u (t) k 1 1 e t + k 11 e t é a solução do sistema de equações diferenciais inicial *

25 Neste caso: P 1 1 D D P DP 1