Pode-se mostrar que da matriz A, pode-se tomar pelo menos uma submatriz quadrada de ordem dois cujo determinante é diferente de zero. Então P(A) = P(A

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1 MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES AULA 03: ÁLGEBRA LINEAR E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES TÓPICO 02: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Considere o sistema linear de m equações e n incógnitas: O sistema S pode ser representado pela equação matricial AX=B, onde: Sendo A, a matriz coeficientes, X a matriz das incógnitas e B, a matriz dos termos independentes EXISTÊNCIA DA SOLUÇÃO O conceito de posto de uma matriz é muito importante para a resolução de sistemas de equações lineares. (i) Se P(A) = P(A: B) = n, onde n é o nº de variáveis, então o sistema será possível (compatível) e determinado, isto é, o sistema terá uma única solução. (ii) Se P(A) = P(A: B) < n, então, o sistema será possível (compatível) e indeterminado, isto é, o sistema terá infinitas soluções. (iii) Se P(A) P(A: B) o sistema será impossível (incompatível), isto é, o sistema não terá solução RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Utilizando o conceito de Posto de uma Matriz e a Regra de Cramer EXEMPLO 1 Pode-se mostrar que o determinante de A (matriz dos coeficientes) é igual a zero, mas existe pelo menos uma matriz de ordem dois cujo determinante é diferente de zero. Já A: B (matriz ampliada) pode formar determinante diferente de zero quando se forma uma matriz 3x3 desconsiderando-se a segunda ou terceira coluna da matriz A. Logo, teremos que P(A) = 2 P(A: B) = 3. Portanto, o sistema não tem solução. EXEMPLO 2

2 Pode-se mostrar que da matriz A, pode-se tomar pelo menos uma submatriz quadrada de ordem dois cujo determinante é diferente de zero. Então P(A) = P(A: B) = 2. Mas o número de variáveis (n) é igual a quatro. Logo, teremos que P(A) = P(A: B) = 2 < n = 4, ou seja, o sistema será indeterminado (terá infinitas soluções). A resolução dos sistemas determinados (P(A) = P(A : B) = n) é feita utilizando-se a Regra de Cramer. Esta regra consiste em determinar o valor das variáveis do sistema através de uma razão de determinantes. Como denominador teremos o determinante da matriz dos coeficientes (A) e no numerador teremos o determinante da matriz A modificada. Esta matriz modificada nada mais é que a matriz A com uma de suas colunas substituídas pela matriz B. A coluna apropriada deverá ser substituída de acordo com a variável que se quer calcular. Assim, para se calcular a primeira variável do sistema, deve-se substituir a primeira coluna da matriz A e assim sucessivamente. EXEMPLO 3 A seguir, apresentaremos duas outras formas diferentes de resolver um sistema de equações lineares. Uma se dá com a utilização de matriz escalonada, que é conhecido como processo de eliminação de Gauss-Jordan, e a segunda forma se dá com o uso de matriz inversa. PROCESSO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN

3 Podemos resolver um sistema de equações lineares aplicando as operações elementares dadas anteriormente, pois sabemos que aplicando operações elementares sobre uma matriz obtemos sempre uma matriz equivalente. Nesse caso, as operações elementares transformam o sistema original em um sistema equivalente. Esse processo é conhecido como processo de eliminação de Gauss-Jordan. Seja AX = B o sistema dado. Para resolver esse sistema devemos seguir os seguintes passos: 1º Passo: Formar a matriz aumentada 2º Passo: Levar a matriz aumentada à forma escalonada, usando operações elementares sobre as linhas EXEMPLO 4 abaixo: (Exemplo 2.9 do livro texto págs. 107 e 108) - Resolver o sistema Aplicando as operações elementares, obtemos Isto implica que P(A)= P(A : B) = n = 3 Logo, o sistema é consistente e determinado. E sua solução é: LEITURA COMPLEMENTAR Para que você saiba mais sobre este assunto que tal ver exemplos 2.10 e 2.11 do livro arquivo LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF, (págs 108, 109 e 110).

4 Vá à seção MATERIAL DE APOIO do ambiente SOLAR e baixe o arquivo LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF ou clique aqui (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). USANDO A MATRIZ INVERSA Dado um sistema de equações lineares na forma matricial AX = B. Se a matriz A é quadrada e possui inversa, então,. EXEMPLO 5 Exemplo: (Exemplo 2.12 do livro texto págs. 110 e 111) Resolver o sistema abaixo: Calculamos a inversa da matriz A, aplicando as operações elementares: Obtemos: Logo, Temos: LEITURA COMPLEMENTAR Para que você possa aprofundar ainda mais os seus estudos, recomendamos que veja o exemplo 2.13 do arquivo LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF, nas páginas 110 e 111.

5 Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo LIVRO_TEXTO_MATEMATICA.PDF ou clique aqui (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). FONTES DAS IMAGENS Responsável: Prof. João Mario Santos de França Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual