Álgebra Matricial - Nota 03 Eliminação Gaussiana e Método de Gauss-Jordan

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1 Álgebra Matricial - Nota 03 Eliminação Gaussiana e Método de Gauss-Jordan Márcio Nascimento da Silva Universidade Estadual Vale do Acaraú Curso de Licenciatura em Matemática marcio@matematicauva.org 8 de setembro de 2014 No capítulo anterior vimos como representar e resolver um sistema quadrado - número de equações igual ao número de variáveis - através de sua matriz aumentada usando Eliminação Gaussiana. Agora, veremos o método de Gauss-Jordan, uma variação do anterior. 1 Método de Gauss-Jordan para sistemas quadrados Dado um sistema linear, já sabemos como representá-lo e buscar solução usando a matriz aumentada e operações elementares sobre as suas linhas. O processo se resume a: S: Sistema Original Operações Elementares S : Sistema Simplificado E sabemos que o sistema simplificado, qualquer que seja a sua cara, será equivalente ao sistema S. E que tal se a matriz aumentada de S fosse da seguinte forma? Isso nos daria o seguinte sistema S cuja solução seria, simplesmente, (b 1, b 2,..., b n ). S b b b n x 1 = b 1 x 2 = b x n = b n Exemplo 1 Considere o sistema cuja matriz aumentada é a seguinte: Vamos aplicar operações elementares nas linhas desta matriz para que tenhamos um sistema S cuja matriz aumentada seja como em (??). Vamos às operações. Inicialmente, vemos que o pivot é o 1 que aparece na primeira linha. Então, devemos anular os elementos abaixo do pivot. (1) 1

2 L 2 3L 1 L 3 2L 1 O que nos dá a matriz abaixo L 1 + 2L 2 L 3 L 2 Passando à próxima linha, identificamos o 7 como sendo o pivot e agora, além de zerar os elementos abaixo do pivot, devemos também zerar os elementos acima do pivot (usando operações elementares sobre as linhas) L 1 + 3L 3 4L 2 + 5L 3 Chegando á última linha da matriz aumentada, vemos que o pivot é 4. Devemos, então, zerar os elementos acima deste (1/28)L 1 ( 1/28)L 2 ( 1/4)L 3 Por fim, transformando cada pivot em 1, obteremos: O sistema S é, então: S x 1 = 3 x 2 = 2 x 3 = 1 cuja solução é (3, 2, 1). Esta também é solução para o sistema original, pois em todo o processo foram utilizadas somente operações elementares sobre as linhas. O processo empregado acima é o método de Gauss-Jordan. Enquanto na Eliminação Gaussiana nosso objetivo é triangularizar a matriz dos coeficientes, no método de Gauss-Jordan, nosso objetivo é diagonalizar a matriz dos coeficientes: Eliminação Gaussiana Método de Gauss-Jordan 2

3 2 Sistemas Retangulares Até aqui estudamos a Eliminação Gaussiana e método de Gauss-Jordan para sistemas quadrados. Vamos estender os métodos para sistemas onde o número de equações não necessariamente é igual ao número de variávies, isto é, Sistemas Retangulares. Como já foi dito, na Eliminação gaussiana, nosso objetivo é triangularizar a matriz dos coeficientes. Se o sistema é não quadrado, então isso não é mais possível (a matriz dos coeficientes não é mais quadrada e portanto não há mais diagonais). Vejamos, então, como proceder. Exemplo 2 Considere o sistema S x 1 +2x 2 +x 3 +3x 4 +3x 5 = 5 2x 1 +4x 2 +4x 4 +4x 5 = 6 x 1 +2x 2 +3x 3 +5x 4 +5x 5 = 9 2x 1 +4x 2 +4x 4 +7x 5 = 9 Vamos usar Eliminação Gaussiana para tentar encontrar uma solução. A matriz aumentada é a seguinte: Veja que o primeiro pivot está indicado na primeira linha. Eliminemos os coeficientes abaixo desse: L 2 2L 1 L 3 L 1 L 4 2L 1 Obtemos L 3 + L 2 L 4 L 2 Repare que ao passarmos à segunda linha, na posição onde esperávamos um pivot, temos zero. E não adianta fazer uma permuta de linhas com as linhas posteriores, pois sempre teremos zero. Neste caso, permanecemos na segunda linha e procuramos o seu primeiro elemento não nulo, como indicado acima. Este é o nosso próximo pivot. L 4 L 3 Na linha seguinte, a terceira, todos os elementos são nulos, isto é, não podem ser pivots. Neste caso, fazendo uma permuta entre as linhas 3 e 4, podemos obter um pivot na terceira linha 3

4 Assim, na terceira linha nosso pivot é 3, conforme indicado. Ao passarmos à quarta linha, não encontramos mais pivots. É hora de parar e escrever o sistema simplificado. S x 1 +2x 2 +x 3 +3x 4 +3x 5 = 5 2x 3 2x 4 2x 5 = 4 +3x 5 = 3 Observe que o sistema S com quatro equações foi transformado em S com apenas 3 equações. Iniciando com a substituição reversa, teremos: (E 3 ) : x 5 = 1 (E 2 ) : 2x 3 2x 4 = 2 x 3 + x 4 = 2 (E 1 ) : x 1 + 2x 2 + x 3 + 3x 4 = 2 Só foi possível determinar unicamente a variável x 5. Mais adiante retornaremos para ver como fica a solução do sistema. 2.1 Forma Escalonada, Posto e Colunas Básicas No Exemplo?? tínhamos um sistema com quatro equações, isto é, a matriz ampliada do sistema tinha 4 linhas. No entanto, com o desenrolar da Eliminação Gaussiana, encontramos apenas 3 pivots. Isso aconteceu pelo fato de a última linha da matriz aumentada, ao final da simplificação, ser completamente nula. Definição 3 (Forma escalonada de uma matriz) Seja A uma matriz. Ao aplicarmos operações elementares de modo a encontrar todos os pivots possíveis, a matriz E obtida é chamada forma escalonada de A. Exemplo 4 No Exemplo??, temos e uma forma escalonada A = E = Definição 5 (Colunas básicas de uma matriz) Seja A uma matriz e E a sua forma escalonada. Se uma coluna de E contém um pivot, então a respectiva coluna em A é chamada coluna básica. Exemplo 6 Considerando as matrizes do exemplo anterior, vemos que em E = aparecem pivots nas colunas 1, 3 e 5. Portanto, em A as colunas básicas são as colunas 1, 3 e 5. 4

5 Note que em uma forma escalonada, o pivot só não aparece em linhas completamente nulas. Assim, podemos dizer que o número de pivots de uma matriz é exatamente igual ao número de linhas não nulas após o escalonamento. Além disso, a quantidade de pivots também é igual ao número de colunas básicas na matriz original. Veremos que esta relação é muito importante e por isso ela recebe um nome especial. Definição 7 (Posto de uma matriz) Seja A uma matriz e E uma forma escalonada de A. O posto de A é definido de uma das seguintes formas: Número de pivots em E; Número de linhas em E; Número de colunas básicas em A. Notação: posto(a) IMPORTANTE: Embora uma matriz A podendo admitir várias formas escalonadas, o número de pivots, e o posicionamento dentro da matriz E, não muda, como justificaremos mais adiante. Exemplo 8 Considere a matriz A = vamos determinar posto(a) e as suas colunas básicas. Como tal matriz possui apenas 3 colunas, já sabemos que o número de pivots será no máximo 3. Vamos ao escalonamento usando Eliminação Gaussiana. Identificando o 1 da primeira linha como pivot, temos: L 2 2L 1 L 3 2L 1 L 4 L 1 L 5 3L 1 Fazendo as contas, temos a matriz a seguir. Vemos que o próximo pivot é o 2 indicado L 3 L 2 L 5 L 2 Anulando os coeficientes abaixo do segundo pivot, obtemos a matriz a seguir. O novo pivot é o L 4 + 4L 3 8L 5 5L 3 5

6 E não há mais nada a fazer Desta forma, encontramos 3 pivots e posto(a) = 3. Além disso, eles estão nas colunas 1, 2, 3 da matriz escalonada, ou seja, as colunas básicas em A são: 1 2 2, , Forma Escalonada Reduzida Aplicando a eliminação gaussiana a uma matriz qualquer A, obtemos uma forma escalonada E. Dependendo das operações elementares empregadas, podemos obter várias formas escalonadas diferentes. No entanto, se aplicarmos o método de Gauss-Jordan em A, obteremos sempre a mesma forma escalonada. Definição 9 (Forma Escalonada Reduzida) Seja A uma matriz qualquer. Se determinarmos a forma escalonada de A usando o método de Gauss-Jordan, a matriz obtida será chamada Forma Escalonada Reduzida de A e será denotada por E A. Exemplo 10 Vamos usar, novamente, a matriz aumentada do sistema apresentado no Exemplo??. Tínhamos: e obtivemos uma forma escalonada A = E = Apliquemos em A o método de Gauss-Jordan, isto é, buscamos zerar os coeficientes abaixo e também acima do pivot. L 2 2L 1 L 3 L 1 L 4 2L 1 Identificando o primeiro pivot, façamos as devidas operações elementares. 6

7 L 1 + L 2 L 3 + L 2 L 4 L 2 Veja que o nosso próximo pivot é o 2, indicado acima. Portanto, o passo seguinte é zerar os demais coeficientes desta coluna. L 4 L 3 Como a terceira linha se tornou nula, mas a quarta linha não, devemos fazer uma permuta de linhas. 3L 1 4L 3 3L 2 + 2L 3 Prosseguindo, agora temos o 3 como pivot e as operações que devem ser feitas, estão indicadas acima (1/6)L 1 ( 1/6)L 2 (1/3)L 3 Por fim, devemos deixar os pivots todos iguais a 1, obtendo a forma escalonada reduzida de A: E A = Como esperado, obtivemos 3 pivots (posto(a) não mudou) que aparecem exatamente nas mesmas posições vistas no Exemplo (??). IMPORTANTE: Quando optamos pelo método de Gauss-Jordan, a forma escalonada obtida - a reduzida E A - é única. Já usando apenas Eliminação Guassiana, podemos obter infinitas formas escalonadas distintas para uma mesma matriz A. Assim, a forma escalonada reduzida E A é apenas uma das infinitas formas escalonadas de uma matriz. 4 Exercícios 1. Refaça os exercícios 1, 2, 3, 4, 6 da Nota de Aula 02 usando o método de Gauss-Jordan. 2. Use o método de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas: x 4x 2 3x 3 = x 2 + x 3 + x 4 = 1 x (a) x 1 + 7x 2 5x 3 = 4 (b) 1 + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 0 x x 1 + 8x 2 6x 3 = x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0 7

8 3. Use o método de Gauss-Jordan para resolver simultaneamente os três sistemas a seguir: 2x y = x + 2y z = y + z = Obtenha a forma escalonada, determine o posto e as colunas básicas das matrizes a seguir: (a) (b) Determine quais das seguintes matrizes está na forma escalonada (a) (b) (c) (d) 6. Suponha que [A b] foi reduzida para [E c] (a) Se E é um escalonamento para A, então [E c] está na forma escalonada? (b) Se [E c] está na forma escalonada então E está na forma escalonada? 7. Construa uma matriz A cuja forma escalonada reduzida é a seguinte: A matriz A obtida, é única? E A =