15 de setembro de 2014

Transcrição

1 Método de Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de setembro de / 11

2 Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é: 2 / 11

3 Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é: Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A b] 2 / 11

4 Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é: Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A b] Realizar Operações Elementares sobre as linhas de [A b] 2 / 11

5 Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é: Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A b] Realizar Operações Elementares sobre as linhas de [A b] Obter a Forma Escalonada [E b ] 2 / 11

6 Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é: Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A b] Realizar Operações Elementares sobre as linhas de [A b] Obter a Forma Escalonada [E b ] Escrever o Sistema Equivalente 2 / 11

7 Lembremos que na Eliminação Gaussiana, o plano é: Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A b] Realizar Operações Elementares sobre as linhas de [A b] Obter a Forma Escalonada [E b ] Escrever o Sistema Equivalente Aplicar Substituição Reversa e encontrar a SOLUÇÃO 2 / 11

8 Além disso, quando resolvemos o sistema através de Eliminação Gaussiana, nosso objetivo é triangularizar a matriz dos coeficientes e depois resolver o sistema por substituição reversa. 3 / 11

9 Além disso, quando resolvemos o sistema através de Eliminação Gaussiana, nosso objetivo é triangularizar a matriz dos coeficientes e depois resolver o sistema por substituição reversa. S x y + z = 0 x + y + z = 6 x + y 2z = 4 3 / 11

10 Além disso, quando resolvemos o sistema através de Eliminação Gaussiana, nosso objetivo é triangularizar a matriz dos coeficientes e depois resolver o sistema por substituição reversa. S x y + z = 0 x + y + z = 6 x + y 2z = / 11

11 Além disso, quando resolvemos o sistema através de Eliminação Gaussiana, nosso objetivo é triangularizar a matriz dos coeficientes e depois resolver o sistema por substituição reversa. S x y + z = 0 x + y + z = 6 x + y 2z = / 11

12 Para sistemas onde o número de equações é igual ao número de variáveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibir a solução de uma forma mais direta: através da DIAGONALIZAÇÃO da Matriz dos Coeficientes. 4 / 11

13 Para sistemas onde o número de equações é igual ao número de variáveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibir a solução de uma forma mais direta: através da DIAGONALIZAÇÃO da Matriz dos Coeficientes. Vamos considerar, novamente, o sistema x y + z = 0 S x + y + z = 6 x + y 2z = 4 4 / 11

14 Para sistemas onde o número de equações é igual ao número de variáveis, podemos melhorar a Forma Escalonada para exibir a solução de uma forma mais direta: através da DIAGONALIZAÇÃO da Matriz dos Coeficientes. Vamos considerar, novamente, o sistema x y + z = 0 S x + y + z = 6 x + y 2z = 4 Já vimos que sua forma escalonada é: [E b ] = / 11

15 Vamos anular os coeficientes que estão também ACIMA de cada pivot / 11

16 Vamos anular os coeficientes que estão também ACIMA de cada pivot L 1 + L 2 5 / 11

17 Vamos anular os coeficientes que estão também ACIMA de cada pivot L 1 + L L 1 + L 3 L L 3 5 / 11

18 Vamos anular os coeficientes que estão também ACIMA de cada pivot L 1 + L L 1 + L 3 L L / 11

19 Assim, essa é uma outra Forma Escalonada para o sistema original S / 11

20 Assim, essa é uma outra Forma Escalonada para o sistema original S Sistema Equivalente: 4x = 2 S 2y = 5 2z = 6 6 / 11

21 Assim, essa é uma outra Forma Escalonada para o sistema original S Sistema Equivalente: 4x = 2 S 2y = 5 2z = 6 Substituição: 4x = 2 = x = 1 2 2y = 5 = x = 5 2 2z = 6 = z = 3 6 / 11

22 Poderíamos facilitar ainda mais a determinação da solução se em cada posição de pivot (na Forma Escalonada) tivéssemos / 11

23 Poderíamos facilitar ainda mais a determinação da solução se em cada posição de pivot (na Forma Escalonada) tivéssemos L L L 3 7 / 11

24 Poderíamos facilitar ainda mais a determinação da solução se em cada posição de pivot (na Forma Escalonada) tivéssemos L L L 3 x = 1 2 y = 5 2 z = 3 7 / 11

25 O processo de TRIANGULARIZAÇÃO da matriz aumentada do sistema [A b], é a ELIMINAÇÃO GAUSSIANA. 8 / 11

26 O processo de TRIANGULARIZAÇÃO da matriz aumentada do sistema [A b], é a ELIMINAÇÃO GAUSSIANA. Ela nos dá uma Forma Escalonada do Sitema [E b ]. 8 / 11

27 O processo de TRIANGULARIZAÇÃO da matriz aumentada do sistema [A b], é a ELIMINAÇÃO GAUSSIANA. Ela nos dá uma Forma Escalonada do Sitema [E b ]. O processo de DIAGONALIZAÇÃO da matriz aumentada do sistema, é o MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. 8 / 11

28 O processo de TRIANGULARIZAÇÃO da matriz aumentada do sistema [A b], é a ELIMINAÇÃO GAUSSIANA. Ela nos dá uma Forma Escalonada do Sitema [E b ]. O processo de DIAGONALIZAÇÃO da matriz aumentada do sistema, é o MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. Ela nos dá a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema [E A s]. 8 / 11

29 O processo de TRIANGULARIZAÇÃO da matriz aumentada do sistema [A b], é a ELIMINAÇÃO GAUSSIANA. Ela nos dá uma Forma Escalonada do Sitema [E b ]. O processo de DIAGONALIZAÇÃO da matriz aumentada do sistema, é o MÉTODO DE GAUSS-JORDAN. Ela nos dá a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema [E A s]. Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termos independentes já é a própria solução do sistema! 8 / 11

30 Eliminação Gaussiana - Triangularização da Matriz dos Coeficientes / 11

31 Eliminação Gaussiana - Triangularização da Matriz dos Coeficientes Método de - Diagonalização da Matriz dos Coeficientes ξ ξ ξ n ξ 1, ξ 2,..., ξ n : Solução do Sistema! 9 / 11

32 Resolva o seguinte problema usando o Método de : 10 / 11

33 Resolva o seguinte problema usando o Método de : Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre e um fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da medíocre e um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa, dois da medíocre e três da ruim, foram vendidos por 26 dou. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo associado a boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim? 10 / 11

34 Resolva o seguinte problema usando o Método de : Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre e um fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da medíocre e um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa, dois da medíocre e três da ruim, foram vendidos por 26 dou. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo associado a boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim? Resposta / 11

35 Resolva o seguinte problema usando o Método de : Três fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medíocre e um fardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, três da medíocre e um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa, dois da medíocre e três da ruim, foram vendidos por 26 dou. Qual o preço recebido pela venda de cada fardo associado a boa colheita, a colheita medíocre e a colheita ruim? Resposta... Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medíocre: 4,25 dou; Colheita ruim: 2,75 dou. 10 / 11

36 Resolva o seguinte problema usando o Método de : 11 / 11

37 Resolva o seguinte problema usando o Método de : Uma loja vende kits de presentes para o dia das crianças conforme a tabela a seguir: Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $) , , , ,00 Qual o valor de cada item separadamente? 11 / 11

38 Resolva o seguinte problema usando o Método de : Uma loja vende kits de presentes para o dia das crianças conforme a tabela a seguir: Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $) , , , ,00 Qual o valor de cada item separadamente? Resposta / 11

39 Resolva o seguinte problema usando o Método de : Uma loja vende kits de presentes para o dia das crianças conforme a tabela a seguir: Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $) , , , ,00 Qual o valor de cada item separadamente? Resposta... Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 e Fantasia: R$ 30, / 11