Resolvendo algebricamente um PPL
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- Talita Ávila Antunes
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1 Capítulo 6 Resolvendo algebricamente um PPL 6.1 O método algébrico para solução de um modelo linear A solução de problemas de programação linear com mais de duas variáveis, não pode ser obtida utilizando-se o algoritmo gráfico. Como cada variável é representada por um eixo do gráfico, um problema com mais de duas variáveis não pode ser representado no plano, o que torna a visualização da solução impossível ou muito complexa, como podemos observar no exemplo a seguir. Exemplo de P.P.L. com três variáveis de decisão. Modelo: Função Objetivo MÁX Z = 4 * X * X * X 3 Restrições: R1 4 * X * X 2 12 R2 X 2 3 R3 X 3 2 Restrições implícitas: R4 X 1 0 R5 X 2 0 R6 X 3 0 OBS.: - O conjunto de soluções viáveis para o modelo acima, será representado graficamente em três dimensões, como um poliedro, cujas faces são os planos limites das restrições. - A função objetivo será representada como uma família de planos paralelos ao plano Zqq apresentado na figura 6.1, que faz um ângulo de 45 o com os três eixos. - O ponto ótimo será o vértice do poliedro mais afastado da origem.
2 x3 (0,0,4) Zqq (0,0,2) PO (0,3,0) (0,4,0) x2 (4,0,0) (3,0,0) x1 Figura 6.1: Representação gráfica de um modelo a três dimensões. 6.2 Conceitos da álgebra linear utilizados pelo algoritmo SIMPLEX Um sistema de equações lineares pode ser resolvido, algebricamente, dividindo-se e multiplicando-se por constantes as equações e somando-as entre si. Estas operações alteram o sistema inicial, mas não modificam o resultado dos sistemas. Resolvendo o sistema abaixo algebricamente e acompanhando pelo gráfico temos: Sistema Inicial: R1 3 * x * x 2 = 9 R2 2 * x * x 2 = 8 X2 R1 1 R2 solução (2,1) X1 2 Figura 6.2: Solução gráfica do sistema.
3 Determinamos um novo sistema executando as seguintes operações: a) Dividindo R1 por (3) encontramos uma nova equação R1, b) Multiplicando a nova R1 por (-2) e somando com R2 do sistema inicial, encontramos a nova equação R2. O novo sistema é mais simples, mas possui a mesma solução do sistema inicial. O novo sistema: R 1 1 * x * x 2 = 3 R 2 2 * x 2 = 2 X2 R1 1 R2 solução (2,1) X1 2 Figura 6.3: Solução gráfica do novo sistema. Determinamos um novo sistema executando as seguintes operações: a) Dividindo R 2 por (2) encontramos uma nova equação R 2, b) Multiplicando a nova R 2 por (-1) e somando com R 1 do sistema anterior, encontramos a nova equação R 1. O novo sistema é mais simples, mas possui a mesma solução do sistema inicial. O novo sistema: R 1 1 * x 1 = 2 R 2 1 * x 2 = 1 X2 R1 1 R2 solução (2,1) X1 2 Figura 6.4: Solução gráfica do novo sistema.
4 Generalizando, a partir do exemplo anterior, verificamos que para resolver um sistema qualquer de equações lineares, devemos transformar o sistema da forma geral para uma forma reduzida onde cada variável apareça independente, associada à uma equação. Exemplo: Forma Geral de um sistema linear com duas equações. R 1 a 11 * x 1 + a 12 * x 2 = b 1 R 2 a 21 * x 1 + a 22 * x 2 = b 2 Forma Reduzida. R 1 x 1 = d 1 R 2 x 2 = d 2 O sistema reduzido possui a mesma solução do sistema original. Usando a notação matricial temos: Forma geral: A*X = B Forma reduzida: I* X = D Onde: A é uma matriz genérica; X é um vetor de variáveis; B e D são vetores de constantes e I é a matriz identidade com a mesma ordem da matriz A. 6.3 O algoritmo GAUSS-JORDAN Esse algoritmo busca transformar a matriz A, alterando inclusive o vetor coluna B, em matrizes equivalentes, sucessivamente, até obter a matriz identidade. Essa transformação é conhecida como diagonalização da matriz A. Portanto o algoritmo consiste em diagonalizar cada uma das colunas da matriz A, até chegar a matriz identidade. Passos do algoritmo: PASSO 1: Diagonalizar a primeira coluna da matriz A, transformando-a na coluna da matriz I. Para isso devemos escolher a primeira posição dessa coluna (denominada de elemento PIVÔ) e dividi-la, tornando-a igual a 1. PASSO 2: Continuar a diagonalização da coluna, subtraindo múltiplos do PIVÔ, das demais posições da coluna, com o objetivo de zerá-los. PASSO 3: Repetir a diagonalização para as demais colunas da matriz A, até obter a matriz I.
5 Exemplo: Resolva o exemplo anterior utilizando o algoritmo GAUSS-JORDAN. Sistema Inicial: R 1 3 * x * x 2 = 9 R 2 2 * x * x 2 = 8 Equações X 1 X 2 b Operações R1 1 o PIVÔ = R R R1 = R1/3 R2 0 2 o PIVÔ = 2 2 R2 = R1 *(-2)+R2 R R1 = R2 *(-1)+R1 R R2 = R2 /2 OBS.: a) Os PIVÔS devem ser escolhidos de modo a transformar a coluna da diagonal principal da matriz A na diagonal da matriz I, que possui todos o elementos iguais a 1. b) A solução do Sistema é lida nas duas últimas posições da coluna b, no caso x 1 = 2 e x 2 = O Método SIMPLEX É um algoritmo iterativo que procura fornecer solução para problemas de programação linear, através da pesquisa dos vértices do conjunto de soluções viáveis, em cada iteração, visando a otimização de uma função matemática denominada função objetivo. O método explora o fato de o máximo ou mínimo da função objetivo ocorrer em um dos vértices desse conjunto de soluções. X2 P ótimo Z ótimo Campo de soluções viáveis P2 Zqq Reta Z de referência X1 P(0,0) Z = 0 P1 Zqq Figura 6.5: Esquema demonstrando a atuação do Método SIMPLEX.
6 O Campo de soluções viáveis é um conjunto convexo e seus vértices são soluções básicas viáveis. 6.5 A forma de atuação do Método SIMPLEX a) O método inicia pela escolha de uma solução inicial que seja básica viável, ou seja, procura um vértice do campo de soluções viáveis, normalmente esse vértice é a origem. b) Em seguida avalia o próximo ponto extremo do campo, que cause aumento da função objetivo e calcula o valor da função neste ponto. c) Continua avaliando ponto após ponto até encontrar a solução ótima. 6.6 Solução básica Uma solução básica se apresenta sempre que desejamos solucionar sistemas indeterminados, isto é, sistemas onde o número de incógnitas (n) é maior que o número de equações (m). A solução básica é aquela na qual as variáveis independentes são igualadas a zero. Exemplo: Para o sistema X + Y + Z =15 X - Y + Z = 5 temos as seguintes soluções básicas: a) X = 0 (variável independente) Y = 5 (variável básica) Z = 10 (variável básica) b) X = 10 (variável básica) Y = 5 (variável básica) Z = 0 (variável independente) 6.7 Forma Padrão do modelo linear Nessa forma de apresentação as restrições do modelo linear são do tipo a ij * x j b i. Para transformar restrições do tipo a ij * x j b i para a forma padrão devemos multiplicar ambos os lados da inequação por (-1), essa operação altera o sinal da inequação. 6.8 Forma Canônica do modelo linear Essa forma de apresentação do modelo linear é o primeiro passo na solução de um P.P.L. utilizando o método SIMPLEX. Consiste em transformar todas as desigualdades em igualdades, através do acréscimo de novas variáveis, que representarão a folga ou o excesso de cada restrição do modelo Variável de Folga (x f )
7 Uma restrição qualquer da forma a ij * x j b i pode ser convertida em igualdade, pela adição de uma nova variável (x f ), não negativa ao lado esquerdo da desigualdade. Essa variável é numericamente igual à diferença entre os valores a direita e a esquerda da desigualdade. Exemplo: R x 2 3 logo: x 2 + x f 3 portanto: O ponto P(1, 0) tem folga = 3 O ponto P(1, 1) tem folga = 2 O ponto P(1, 2) tem folga = 1 O ponto P(1, 3) tem folga = 0 A Forma Canônica de um sistema com restrições lineares do tipo a ij * x j b i pode ser definida de modo geral, como: a 11 * x 1 + a 12 * x a 1n * x n + x f1 = b 1 a 21 * x 1 + a 22 * x a 2n * x n + x f2 = b 2... a m1 * x 1 + a m2 * x a mn * x n + x fm = b m onde: x f1, x f2 e x fm são variáveis de folga das restrições lineares R 1, R 2 e R m que são do tipo a ij * x j b i. 6.9 Algoritmo SIMPLEX O algoritmo SIMPLEX resume a forma canônica sob uma tabela denominada TABLEAU SIMPLEX INICIAL e a partir desse modelo matricial, procura a solução ótima, alterando o tableau inicial, utilizando como ferramenta básica o algoritmo GAUSS - JORDAN Passos do Algoritmo SIMPLEX Antes de iniciar o algoritmo devemos: 1) Rescrever o modelo do P.P.L. para a FORMA CANÔNICA. 2) Montar o TABLEAU INICIAL. A seguir aplicamos o algoritmo: PASSO 1: Escolher na linha do tableau, correspondente a função objetivo, o MENOR coeficiente c j, considerando apenas os coeficientes negativos. PASSO 2: Escolher o PIVÔ. Na coluna do coeficiente escolhido no passo anterior, calcular a relação: b i / a ij onde: b i 0 e a ij > 0
8 A MENOR relação indica o a ij da coluna que será o elemento PIVÔ. PASSO 3: Aplicar o algoritmo GAUSS-JORDAN. PASSO 4: Repetir os passos anteriores até que não haja coeficientes c j NEGATIVOS na linha da função objetivo. Quando todos os c j se tornarem POSITIVOS encontramos a solução ótima (Z ótimo) Exemplo aplicando o algoritmo Resolver o P.P.L. a seguir utilizando o algoritmo SIMPLEX.. Modelo: Função Objetivo: MAX Z = 1 * x * x 2 Restrições: R 1 2 * x * x 2 12 R 2 1 * x * x 2 10 R 3 1 * x 2 4 x 1 0, x 2 0 e [x 1 x 2 Ν ] Forma Padrão: R 1 2 * x * x * x 3 = 12 R 2 1 * x * x * x 4 = 10 R 3 1 * x * x 5 = 4 Z -1 * x 1-3 * x 2 + Z = 0 função objetivo. OBS.: - Passamos todos os elementos do lado direito para o lado esquerdo da - As variáveis básicas são: x 3, x 4 e x 5
9 Tableau Inicial: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Z b b i /a ij Operações R R R Z OBS.: O c j escolhido foi o (-3) porque é o MENOR; A relação b i / a ij escolhida foi 4 porque é a MENOR; logo: O PIVÔ escolhido foi a 32 = 1 Aplicando o algoritmo GAUSS-JORDAN temos: Segundo Tableau: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Z b b i /a ij Operações R R 1 = R 3 * (-1) + R 1 R R 2 = R 3 * (-1) + R 2 R R 3 = R 3 / (1 PIVÔ ) Z Z = R 3 * 3 + Z Solução Básica Viável encontrada no segundo tableau: Variáveis básicas: São aquelas que pertencem à matriz identidade, no caso: x 2 = 4, x 3 = 8, x 4 = 2 e Z = 12 Variáveis não básicas: São aquelas que não pertencem à matriz identidade, no caso: x 1 = 0 e x 5 = 0 OBS.: As variáveis não básicas devem assumir valor ZERO para que as variáveis básicas assumam os valores da coluna b do tableau. Terceiro Tableau: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Z b b i /a ij Operações R R 1 = R 2 * (-2) + R 1 R R 2 = R 2 / (2 PIVÔ ) R R 3 = R 2 * 0 + R 3 Z Z = R 2 * 1 + Z OBS.: Como não existem mais valores negativos na linha da função objetivo, podemos afirmar que encontramos a solução ótima para o P.P.L. analisado, logo: Variáveis de decisão: x 1 = 2 (variável básica no último tableau)
10 x 2 = 4 Variáveis de folga: x 3 = 4 x 4 = 0 x 5 = 0 Função objetivo: Z = 14 (variável básica no último tableau) (variável básica no último tableau) (variável não básica no último tableau) (variável não básica no último tableau) (variável básica no último tableau)
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