Álgebra Linear

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1 Álgebra Linear - 09 Lista - Sistemas lineares ) Descreva todas as possíveis matrizes, que estão na forma escada reduzida por linha De acordo com a definição de uma matriz na forma escada reduzida por linhas as possibilidades são: [ 0 ] [, ] [, ] [ k e ], k R ) Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas: a) A = ; A = L +L L L L L L L L L L L L L Portanto, a matriz A tem posto e nulidade b) B = 4 ; B = L L L 4 L L Portanto, a matriz B tem posto e nulidade 0 c) C = 4 C = 0 4 L L L L 4 5 L L L L L L L L 0 4 L+ 4 L L L L L L L 5 0 L L L L 4 L L

2 L L Portanto, a matriz C tem posto e nulidade L L L L +L L L 4+5L L 4 ) Prove que toda matriz anti-simétrica não-nula tem posto igual a dois Uma matriz A é antissimétrica se A T = A Assim, A = De A T = A, temos a a a a a a a a a e A T = a a a a a a a a a = a a a a a a a a a = A a = a a = 0, a = a, a = a, a = a, a = a a = 0, a = a, a = a, a = a e a = a a = 0 Em vista disso, 0 a a A = a 0 a a a 0 Vamos encontrar a forma escalonada da matriz A Assumimos inicialmente que a 0, então L +a L L 0 a a a 0 a a a 0 L L 0 a a 0 a a 0 a aa a a 0 a 0 a a a a 0 a L L a L L 0 a a a 0 a aa a Portanto, para o caso em que a 0, o posto da matriz A é e nulidade é Agora consideremos o caso em que a = 0 e a 0 Assim, a a a a 0 L L a a 0 a a L L a L L a a 0 a a a a 0 0 a a L L 0 a a 0 a a a a 0 L+aL L L al L Portanto, para o caso em que a = 0 e a 0, a matriz A tem posto e nulidade Consideremos agora o caso em que a = 0, a = 0 e a 0 Logo, 0 a 0 a 0 L L 0 a 0 a 0 a L L a L L a a 0 a a a a a a a 0 Portanto, para o caso em que a = 0 e a = 0 a matriz A tem posto e nulidade é Por conseguinte, devido ao casos analisados, a matriz antissimétrica não nula tem posto e nulidade 4) Resolver os sistemas por escalonamento Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica

3 (a) (b) (c) x + 5y = 4x + y = Vamos transformar a matriz ampliada do sistema em uma matriz na forma escalonada L 4L L L 5L L L L Portanto, a solução do sistema é x = e y = Posto da Matriz dos Coeficientes = Posto da Matriz Ampliada = = Número de incógnitas Portanto, temos solução única x + y z = 0 5x y + z = 0 x y + z = Vamos transformar a matriz ampliada do sistema em uma matriz na forma escalonada L 5L L 5 0 L +L L L L L L L ( ) Logo, da linha de ( ), z = 6 0 z = Da linha de ( ), y = y = Da linha ( ), x + y z = 0 x + = 0 x = Portanto, x =, y = e z = Posto da Matriz dos Coeficientes = Posto da Matriz Ampliada = = Número de incógnitas Portanto, temos solução única x + y + z = 6 x y + z = x + y z = Vamos transformar a matriz ampliada do sistema em uma matriz na forma escalonada Assim,

4 6 6 0 L L L L L L L L L L L (I) (d) Da linha de (I), temos que 5z = 9 z = 9 5 Da linha de (I), y + z = y = z y = 9 5 = 6 5 Da linha de (I), x + y + z = 6 x = y z + 6 x = = 6 5 Portanto, x = 6 5, y = 6 5 e z = 9 5 Posto da Matriz dos Coeficientes = Posto da Matriz Ampliada = = Número de incógnitas Portanto, temos solução única x y + z t = 0 x + y + z + t = 0 x y z 5t = 0 Transformando a matriz ampliada do sistema em uma matriz na forma escalonada L L L L L L Posto da Matriz dos Coeficientes = Posto da Matriz Ampliada = < 4 = Número de incógnitas Portanto, temos um sistema compatível Indeterminado O sistema equivalente é: x y +z t = 0 4y z +4t = 0 z 4t = 0 A Nulidade = Número de incógnitas - Posto da Matriz dos coeficientes = 4 - = Temos então uma variável livre que escolhemos t R Da última equação z = 4 t, substituindo na segunda equação obtemos y = t Da primeira equação x y + z t = 0 x + t + ( 4 t) t = 0 x 5 t = 0 x = 5 t Portanto, x = 5 t, y = t e z = 4 t, t R Resposta: (x, y, z, t) = t( 5,, 4, ) Dimensão x + y + z = 4 (e) x + 5y z = x + y z = 5 Vamos transformar a matriz ampliada do sistema na forma escalonada L L L L L L L L L

5 (f) Portanto, pela última linha concluímos que o sistema é impossível Posto da Matriz dos Coeficientes = < = Posto da Matriz Ampliada x + y 4z = x y + z = x y z = x + y 5z = 0 x + y + z = Vamos transformar a matriz ampliada do sistema na forma escalonada 4 L L L 4+ 0 L L4 L L L L L L L L L L 4 L L L 5 5+L L L 5+ L L L 4 L Portanto, pela linha 4 da matriz ampliada escalonada, concluímos que o sistema é impossível Posto da Matriz dos Coeficientes = < 4 = Posto da Matriz Ampliada (g) x y + z = 0 x + 5y + 6z = 0 Vamos encontrar a sua forma escalonada L L L Da última linha obtemos que y = 0 Da primeira temos que x y + z = 0 x + z = 0 x = z Portanto, y = 0 e x = z, z R Posto da Matriz dos Coeficientes = Posto da Matriz Ampliada = < = Número de Incógnitas Portanto o sistema é compatível e indeterminado Nulidade = - = Temos uma varável livre, que escolhemos z R Resposta: (x, y, z) = z(, 0, ) Dimensão 5

6 5) Determine m de modo que o sistema linear seja indeterminado: mx + y = x + y = Calculemos a sua forma escalonada m L L m m L ml L 0 m 4 m Portanto, concluí-se pela última linha que para o sistema ser indeterminado devemos ter m = 6) Para o seguinte sistema linear: m x y = 0 x + ky = 0 Determine, se existe, o valor de m em função de k de modo que o sistema: (a) tenha solução única (trivial); m k Calculemos a forma escalonada da matriz ampliada do sistema m L L k L m L L k k m 0 m k Logo, concluí-se pela última linha que para o sistema ter solução única devemos ter m k 0 Note que se k > 0, m k 0 No entanto se k < 0, m k 0 se e, somente se, m ± k (b) seja impossível Pelo item (a) concluímos que não há valor de m para o qual o sistema seja impossível Visto que, para m = ± k, k < 0, o sistema é possível e indeterminado e nos demais casos o sistema é possível e determinado Observação: o sistema é homogêneo então sempre tem solução trivial x = y = 0, portanto nunca é impossível ) Prove que o sistema x + y + z t = a x 5y z + t = b x + y + 8z + 5t = c admite solulção se, e somente se, a + b = 9c Ache a solução geral do sistema quando a = e b = 4 6

7 a 5 b 8 5 c Calculemos a sua forma escalonada a a L L L 5 b 9 L L L b a L L 8 5 c a a b c a L +L L 0 6 c a a a b 9 9c a b 9 Portanto, concluí-se pela última linha que o sistema admite solução se e, somente se, 9c a b 9 = 0 a + b = 9c Agora vamos calcular a solução geral do sistema quando a = e b = 4 Logo, para a = e b = 4 a matriz ampliada do sistema é: Calculemos a sua forma escada reduzida por linhas L L L Portanto, da segunda linha obtemos que y = z + t e da primeira linha obtemos que x = z t, com z, t R Posto da Matriz dos Coeficientes = Posto da Matriz Ampliada = < 4 = Número de Incógnitas Sistema Compatível Indeterminado Nulidade = 4 - = Temos duas variáveis livres que escolhemos z, t R Resposta: (x, y, z, t) = z(,,, 0) + t(,, 0, ) + (, 0, 0, 0) v 0 = (, 0, 0, 0) é chamada solução particular 8) Determinar a e b para que o sistema seja possível e determinado x y = a x + y = b 5x + y = 5a + b x + y = a + b a b 5 5a + b a + b

8 Vamos calcular a forma escalonada da matriz ampliada a b b L b L L a L L L 5L L 0 0 a b 5 5a + b 5 5a + b L 4 L L 4 0 5a b a + b 0 0 a b a + b b L 4 L a L +L L 0 5a b L 4+0L L 4 b a a b a b 0 a Para o sistema ser determinado é necessário que a b = a b = 0 a + b = a b = 0 4a = 8 a = Substituindo a = em a b =, obtemos b = 4 Portanto, para o sistema ser determinado é necessário que b = 4 e a = 9) Determinar o valor de k para que o sistema x + y + kz = x + ky + 8z = tenha: (a) solulção única (b) nenhuma solução (c) mais de uma solução k k 8 Calculemos a forma escalonada da matriz ampliada k k 8 L L L k 0 k 4 8 k (a) O posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes, mas não é igual ao número de incógnitas Em vista disso, o sistema não admite solução única (b) O sistema não admite nenhuma solução se k 4 = 0 e 8 k = 0, o que ocorre em k = 4 (c) O sistema admite mais de uma solução para todo k 4 0) Resolva o sistema u + v = 8 u v = 8

9 Fazendo as mudanças de variáveis x = u e y = v, temos x + y = 8 x y = x + y = 8 x + y = Daí segue que 5y = 0 y = Substituindo y = em x y =, obtemos que x = Portanto, u = x = u = e v = y = v = ) Discuta os seguintes sistemas: x + z = 4 (a) y + z = 5 ax + z = 4 a Calculemos a forma escalonada da matriz ampliada do sistema a L al L a 4 4a Pela última linha temos que se a = o sistema é indeterminado Por outro lado, se a o sistema é determinado x + z + w = 0 x + ky + k w = (b) x + (k + )z + w = x + z + kw = k k 0 k 0 k + k Calculemos a sua forma escalonada k 0 k L L L L L L 0 k k 0 k + L 4 L L 4 k 0 0 k Pela quarta linha, temos que se k = o sistema é impossível Também, pela terceira linha, temos que se k = 0 o sistema é impossível Nestes casos o Posto da Matriz dos Coeficientes = < 4 = Posto da Matriz Ampliada Por outro lado, se k e k 0 o sistema é possível e determinado e tem como solução: x = k+ k k, y = k k+ k, z = k e w = k 9

10 ) Determine k para que o sistema admita solução 4x + y = 5x 4y = 0 x y = k k Calculemos a forma escalonada da matriz ampliada L L k 5 k + L +L L k L 5L L L L L 5 k + 6 Portanto, pela última linha, temos que se k = 6 o sistema é possível e determinado Neste caso temos: Posto da Matriz dos Coeficientes = = Posto da Matriz Ampliada Por outro lado, se k 6 o sistema é impossível Neste caso temos: Posto da Matriz dos Coeficientes = < = Posto da Matriz Ampliada ) Classifique, de acordo com o valor de k, os sistemas abaixo em possível e determinado, possível e indeterminado, ou impossível a) b) x + y kz = 0 kx + y z = k x + ky z = k kx + y = 6 x y = x + y = 0 ; 4) a) SI se k = ou k = e SPD caso contrário b) SPD se k = 0 e SI caso contrário 0