INTRODUÇÃO AO CÁLCULO AULA 04: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES TÓPICO 02: SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 1. SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIR

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1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO AULA 04: EQUAÇÕES, INEQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES TÓPICO 02: SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 1. SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM DUAS INCÓGNITAS 1.1 Definição: Um sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas é o um conjunto formado por duas equações do primeiro grau com duas incógnitas da forma: onde x e y são suas incógnitas, a 1 e a 2 são os coeficientes de x, b 1 e b 2 são os coeficientes de y e c 1 e c 2 são os termos independentes. A solução do sistema será única se só se. Resolver um sistema de equações do primeiro grau significa encontrar os valores das incógnitas x e y que satisfaz, simultaneamente, as duas equações. É fácil verificar, por substituição, que x = -1 e y = 2 é solução do sistema. 1ª equação : 2x + 3y = 2(-1) + 3(2) = = 4 2ª equação: x + 4y = (-1) + 4(2) = = MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA Os três principais métodos da álgebra elementar para resolução de um sistema de equações do 1º grau são os métodos de substituição, adição e comparação. Cada um destes métodos tem por objetivo eliminar uma das incógnitas do sistema, de modo a transformar o mesmo numa única equação do 1º grau com uma variável. Uma vez encontrado o valor de uma das incógnitas, o valor da outra incógnita pode ser obtido através da substituição do valor conhecido em uma das equação do sistema. DESCRIÇÃO Método de substituição: O método consiste em eliminar uma das incógnitas de uma das equações. Tira-se em uma das equações o valor da incógnita a ser eliminada e, em seguida, substitui-se o valor da incógnita eliminada na outra equação, obtendo assim uma equação do 1º grau. Dado o sistema: 2x y = 3 3x + 2y = 1 Eliminando a incógnita y e tirando seu valor, na primeira equação, em termos de x: - y = 3 2x y = x y = 2x - 3 Substituindo esse valor na segunda equação, temos: 3x + 2(2x - 3) = 1 3x + 4x 6 = 1 7x = 7 x = 1

2 Substituindo x = 1 na expressão y = 2x -3, Obtém-se y = 2(1) 3 = 2-3 = -1 Assim: x = 1 e y = -1 é a solução do sistema. Obs.: Caso o sistema seja constituído de três equações e três incógnitas o modo operante é quase idêntico. Substitui-se o valor da incógnita a ser eliminada nas duas outras equações, obtendo assim um sistema de duas equações com duas incógnitas. Exemplo: 2x + 3y + z = 1 x + 2y z = -3 x + y + z = 2 Eliminar z na primeira equação: z = 1 2x 3y Substituir o valor de z nas duas outras equações: x + 2y (1 2x 3y) = -3 x + y + (1 2x 3y) = 2 Agrupando os termos semelhantes, obtém-se um sistema com duas equações e duas incógnitas: 3x + 5y = -2 -x 2y = 1 Aplicando o método da substituição, conclui-se que x = 1 e y = - 1. Substituindo os valores de x e y na expressão de z, temos: z = 1 2(1) 3(-1) = = 2. Logo, a solução do sistema é o terno (1, -1, 2). Método de Adição: O método consiste em multiplicar as duas equações por um número real conveniente escolhido de modo que os coeficientes da incógnita a ser eliminada fiquem reduzidos a números simétricos. Em seguida, somam-se membro a membro das equações, obtendo uma equação do 1º grau com uma incógnita. Exemplo: 2x y = 3 4x 2y = 6 (multiplicando ambos os membros por 2) 3x + 2y = 1 3x + 2y = 1(multiplicando ambos os membros por 1 ) 7x = 7 x = 1 Substituindo o valor de x na primeira equação: 2(1) y = 3 2 y = 3 y = 2 3 = -1. Solução do sistema é x = 1 e y = -1 Método de Comparação: O método consiste em isolar uma mesma variável nas duas equações e comparar os resultados, obtendo assim, uma equação do 1º grau com uma incógnita que é a outra variável. Considerando o sistema formado por duas equações do primeiro grau com duas incógnitas:

3 Substituindo o valor de y em uma das equações iniciais, obtém se o valor de x correspondente. 1.3 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS Os sistemas podem ser classificados como: quando admite uma única solução. Exemplo: O sistema tem uma única solução (1, 1). quando recai numa equação impossível. Exemplo: O sistema não admite solução. quando recai numa identidade. Exemplo: O sistema tem infinitas soluções. EXERCITANDO 1 Resolva o sistema de equação: Classifique os sistemas, caso seja determinado, indeterminado e impossível. Responsável: Kiara Lima Costa Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual