MATEMÁTICA. Equações de sistemas de 1º e 2º Graus. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1

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1 MATEMÁTICA Equações de sistemas de 1º e 2º Graus Professor : Dêner Rocha Monster Concursos 1

2 Sistemas Sistemas do 1º grau Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a duas variáveis. Nesse caso, diz-se que as equações formam um sistema de equações do 1º grau a duas variáveis, que indicamos escrevendo as equações abrigadas por uma chave. Veja os exemplos: a) x y5 2x y9 b) 3x y10 x y 18 O par ordenado que verifica ao mesmo tempo as duas equações é chamado solução do sistema. Indicamos pela letra S, de solução. Por exemplo, o par (7,3) é solução do sistema x y10 x 3y 2 Pois verifica as duas equações. Ou melhor: (3) 2 Resolução de sistemas de equações do 1 grau ( 2 x 2) Os processos ou métodos mais comuns são: o método da substituição, método da adição, método da comparação, além do método gráfico. Método da substituição Para aprender a trabalhar com esse método, você deve acompanhar os passos indicados nos exemplos a seguir: 1º exemplo: Resolver o sistema x y 7 x y 1 1º passo: Isola-se uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x na 1ª equação: Monster Concursos 2

3 x y 7 x 7 y 2º passo: Substitui-se a expressão encontrada no passo 1 na outra equação. Obtemos então uma equação do 1º com apenas uma incógnita xy1 (7 y) y1 7 y y1 7 2y 1 3º passo: Resolvemos a equação obtida no 2º passo: obtendo, assim, o valor de y. 7 2y 1 2y 1 7 2y 6 6 y 2 y 3 4º passo: (Para encontrarmos o valor de x) Substitui-se o valor encontrado no 3º passo em qualquer uma das equação iniciais. x y7 x (3) 7 x 73 x 4 5º passo: Por último, escrevemos a solução do sistema: S = {(4,3)}. 2º exemplo: Resolva o sistema x 2y 2x5y 3 Passo1: x 2y Passo 2: 2x 5y 3 2(2 y) 5y 3 4y 5y 3 1y 3 Passo3: y 3 y 3 Passo 4 : x 2y x 2.( 3) x 6 A solução do sistema é: S {( 6, 3)} Monster Concursos 3

4 Exercícios de Aprendizagem Aplicando o método da substituição, resolva os seguintes sistemas 2x2: x y 5 3x 2y 6 x y 4 a) b) c) x 3y 9 x 3y 2 2x y 7 Método da comparação Este método consiste, basicamente, em isolar a mesma variável nas duas equações. 1º exemplo: Resolver o sistema x y 1 a) x 3y 3 1 passo) Isolando x na 1ª equação: x y 1 x 1 y 1 2º passo: Isolando x na 2ª equação: x 3y 3 x 3 3y 2 3º passo) Comparando 1 e 2, vem: x x 1 y 3 3y y 3y 3 1 2y 4 4 y 2 y 2 4º passo) Como x = 1+y, temos: x = 1+(2) x = 3 Conjunto-Solução: S = {(3,4)} 2º exemplo: Resolver o sistema x 5y x 3y 16 1º passo: x = 5y 1 2º passo: Isola-se x na 2ª equação x3y 16 x16 3y 2 3º passo: Comparando 1 e 2, vem 5y = 16 3y Monster Concursos 4

5 5y + 3y =16 8y = 16 y = 2 4º passo: Como x = 5y, temos: x = 5.(2) x = 10 A solução é S = {(10,2)} Exercícios de Aprendizagem 2) Aplicando o método da comparação, resolva os seguintes sistemas: x y 1 x 3y 2x y 3 a) b) c) x 2y 3 x 2y 3 x y 1 Método da Adição Adicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades, obtemos uma nova igualdade. O método consiste em somar as duas equações, mas isso deve ser feito sempre de modo a eliminar uma das variáveis na nova equação obtida. Ou seja, é preciso chegar a uma só equação, com uma só incógnita. Para que isso ocorra, é necessário existam termos opostos nas duas equações (em relação a uma mesma letra...). 5x3y 15 Exemplo 1: Considere o sistema 2x3y 6 Observe que a equação 1 tem o termo -3y, e a equação 2 tem o termo +3y (oposto de -3y). Esse fato nos permite obter uma só equação sem a incógnita y, somando as duas equações membro a membro. 5x 3y 15 Como 3y 3y 0, o y desaparece. 2x 3 y 6 Aí, fica tudo mais fácil! 7x x 21 x 3 Agora, é só substituir o valor de x em uma das equações do sistema: 5x3y15 5.(3) 3y y 15 3y y 0 y 0 Monster Concursos 5

6 A única solução do sistema é o par (3,0) Exemplo 2: Vamos resolver o sistema 2x5y 16 3x2y 2 Aqui, seria inútil somar imediatamente as equações. Como não observamos termos opostos (que somados resulta 0), nenhuma letra desaparece. Mas, podemos obter termos opostos. Veja que o MMC entre 5 e 2 (coeficientes de x nas duas equações) é 10. Daí, multiplicamos a 1ª equação por 2 e a 2ª equação por -5: 2x 5y 16 (2) 3x 2y 2 ( 5) 4x10y 32 15x 10y 10 Você viu bem?!!! Com isso, conseguimos termos opostos neste último sistema. E como +10y 10y = 0, vem: 4x10y32 15x 10y 10 11x x x 11 x 2 Agora, levamos x = -2 na 2ª equação para encontrar o valor de y: 3x2y 2 3( 2) 2y 2 6 2y 2 2y 2 6 2y 8 y 4 A solução é o par (-2,4). Exemplo 3: Resolva pelo método da adição o sistema 3x y3 3x4y30 Vamos tornar opostos (ou simétricos) os coeficientes em x. Para isso, basta multiplicar a primeira equação por -1 (não mexer na 2ª): 3x y 3.( 1) 3x y 3 3x 4y 30.(1) 3x 4y 30 3y 27 Monster Concursos 6

7 De 3y = 27, tiramos y = 9. Calculando x: Substituímos y = 9 na 1ª equação: 3x y3 3 x (9) 3 3x 39 3x 6 6 x 3 x 2 Nota importante: Podemos aplicar o método da adição de outra forma, neste caso procurando zerar a incógnita y. Veja: Multiplicamos a 1ª equação por 4 e a 2ª por 1... e então 3x y 3.( 4) 12x 4y 12 3x 4y 30.(1) 3x 4y 30 9x De 9x 18, encontramos x 2 (Viu?!! Dá o mesmo resultado!). Portanto, pode-se usar o 9 processo da dição duas vezes seguidas Exemplo 4: Resolver o sistema pelo processo da adição 6a5b15 7a 16b 13 Temos que o MMC(6,7) = 42. Então, multiplicamos a 1ª equação por 7 e a 2ª por 6, temos: 6a 5b 15.(7) 42a 35b 105 7a 16b 13.(6) 42a 96b 78 42a35b105 42a 96b 78 61b b 3 61 Substituindo b = 3 na 2ª equação, vem: Monster Concursos 7

8 7a16b 13 7a 16.(3) 13 7a a a a 7 a 5 Sistemas do 2º Grau É importante lembrar, que os sistemas de equações, sejam elas de 1º ou de 2º graus, nos ajudam na resolução de problemas diversos, sendo uma ferramenta matemática indispensável. Veja exemplos de problemas envolvendo sistemas: Resolvendo sistemas de equações Resolver um sistema de equações de 2º grau é encontrar uma ou mais soluções que satisfaçam a todas as equações dadas. Resolva o sistema de equações a seguir: Monster Concursos 8

9 Considere o sistema de equações e determine os valores de x e de y que são soluções desse sistema. A solução é x = 4, y = 3 ou x = 1, y = 12. Monster Concursos 9

10 Atividades de Fixação 1) Resolva os seguintes sistemas de equações do 2º grau: x y 1 x 3y 2x y 3 a) b) c) x 2y 3 x 2y 3 x y m n 13 d) 2 2 m n 5 e) f) 2) - João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo perguntoulhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui? 3) - Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e carros. Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de motos e de carros estacionados na rua de André? 4) - (Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi: a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 5) - (Vunesp) Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto e se perde não marca nenhum ponto. Admita que, nesse campeonato, o time A tenha participado de 16 jogos e perdido apenas dois jogos. Se o time A, nesses jogos, obteve 24 pontos, então a diferença entre o número de jogos que o time A venceu e o número de jogos que empatou, nessa ordem, é: a) 8. b) 4. c) 0. d) 4. e) 8 6) - (VUNESP-04) Maria tem em sua bolsa R$15,60 em moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é: Monster Concursos 10

11 A) 68. B) 75. C) 78. D) 81. E) 84. 7) - (UNIFESP-04) Numa determinada livraria, a soma dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é R$10,00. O preço do estojo é R$5,00 mais barato que o preço de três lápis. A soma dos preços de aquisição de um estojo e de um lápis é: a) R$3,00. b) R$6,00. c) R$12,00. d) R$4,00. e) R$7,00. 8) - Em uma praça há 18 crianças andando de bicicleta ou de skate. No total, há 50 rodas girando pela praça. Quantas crianças andam de bicicleta e quantas andam de skate? 9) - A soma de dois números é 37. A diferença entre eles é 9. Quais são esses números? #AQUIÉMONSTER Monster Concursos 11