Método da substituição

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1 Prof. Neto Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis ESTUDE A PARTE TEÓRICA E RESOLVA OS EXERCÍCIOS DO FINAL DA FOLHA NO CADERNO. Introdução Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a duas variáveis. Nesse caso, diz-se que as equações formam um sistema de equações do 1º grau a duas variáveis, que indicamos escrevendo as equações abrigadas por uma chave. Veja os eemplos: a) 9 b) O par ordenado que verifica ao mesmo tempo as duas equações é chamado solução do sistema. Indicamos pela letra S, de solução. Por eemplo, o par (7,) é solução do sistema 10 Pois verifica as duas equações. Ou melhor: () Resolução de sistemas de equações do 1 grau ( ) Os processos ou métodos mais comuns são: o método da substituição, método da adição, método da comparação, além do método gráfico. Método da substituição Para aprender a trabalhar com esse método, você deve acompanhar os passos indicados nos eemplos a seguir: 7 1º eemplo: Resolver o sistema 1 1º passo: Isola-se uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar na 1ª equação: 7 7 º passo: Substitui-se a epressão encontrada no passo 1 na outra equação. Obtemos então uma equação do 1º com apenas uma incógnita 1 º passo: Resolvemos a equação obtida no º passo: (7 )

2 obtendo, assim, o valor de. º passo: (Para encontrarmos o valor de ) Substitui-se o valor encontrado no º passo em qualquer uma das equação iniciais. 7 () 7 7 º passo: Por último, escrevemos a solução do sistema: S = {(,)}. º eemplo: Resolva o sistema Passo1: Passo : ( ) 1 Passo: Passo :.( ) 6 A solução do sistema é: S {( 6, )} Método da Adição Adicionando ou subtraindo membro a membro duas igualdades, obtemos uma nova igualdade. O método consiste em somar as duas equações, mas isso deve ser feito sempre de modo a eliminar uma das variáveis na nova equação obtida. Ou seja, é preciso chegar a uma só equação, com uma só incógnita. Para que isso ocorra, é necessário eistam termos opostos nas duas equações (em relação a uma mesma letra...). Eemplo 1: Considere o sistema 1 6 Observe que a equação 1 tem o termo -, e a equação tem o termo + (oposto de -).

3 Esse fato nos permite obter uma só equação sem a incógnita, somando as duas equações membro a membro. 1 Como 0, o desaparece. 6 Aí, fica tudo mais fácil! Agora, é só substituir o valor de em uma das equações do sistema: 1.() A única solução do sistema é o par (,0) Eemplo : Vamos resolver o sistema 16 Aqui, seria inútil somar imediatamente as equações. Como não observamos termos opostos (que somados resulta 0), nenhuma letra desaparece. Mas, podemos obter termos opostos. Veja que o MMC entre e (coeficientes de nas duas equações) é 10. Daí, multiplicamos a 1ª equação por e a ª equação por -: 16 () ( ) Você viu bem?!!! Com isso, conseguimos termos opostos neste último sistema. E como = 0, vem: Agora, levamos = - na ª equação para encontrar o valor de :

4 ( ) A solução é o par (-,). Eemplo : Resolva pelo método da adição o sistema 0 Vamos tornar opostos (ou simétricos) os coeficientes em. Para isso, basta multiplicar a primeira equação por -1 (não meer na ª):.( 1) 0.(1) 0 7 De = 7, tiramos = 9. Calculando : Substituímos = 9 na 1ª equação: (9) Nota importante: Podemos aplicar o método da adição de outra forma, neste caso procurando zerar a incógnita. Veja: Multiplicamos a 1ª equação por e a ª por 1... e então.( ) (1) De 9 18, encontramos duas vezes seguidas 18 9 (Viu?!! Dá o mesmo resultado!). Portanto, pode-se usar o processo da dição Eemplo : Resolver o sistema pelo processo da adição 6ab1 7a 16b 1 Temos que o MMC(6,7) =. Então, multiplicamos a 1ª equação por 7 e a ª por 6, temos:

5 6a b 1.(7) a b 10 7a 16b 1.(6) a 96b 78 ab10 a 96b 78 61b b 61 Substituindo b = na ª equação, vem: 7a16b 1 7a 16.() 1 7a 8 1 7a 1 8 7a a 7 a Eercícios RESOLVA NO CADERNO 1) Aplicando o método da substituição, resolva os seguintes sistemas : 6 a) b) c) 9 7 ) Aplicando o método da substituição, resolva os seguintes sistemas: 1 a) b) c) 1 ) Aplicando o método da ADIÇÃO, resolva os seguintes sistemas: 10 a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j)

6 6 ) Aplicando o método mais conveniente para o caso, resolva os seguintes sistemas: a) 9 b) 7 8 c) 0 d) e) 1 9 f)

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