de Sistemas de Método da Substituição Método da Substituição Método da Substituição 18/08/2016 a) x y = 14 x + y = 6 b) 2x - y = 4 x + y = 2 x = 6 - y

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1 de Sistemas de Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das variáveis. Feito isto substituímos na outra equação, a variável isolada pela expressão obtida no segundo membro da equação obtida quando isolamos a variável. Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável. a) x y = 14 x + y = 6 x = 6 - y b) 2x - y = 4 x + y = 2 y = 2 - x Substituindo a eq.2 na eq.1 x y = y y = 14 - y y = y = 8. (-1) 2y = 8 y = - 4 x = 6 (-4) x = x = 10 S = {(10, -4)} Substituindo a eq.2 na eq.1 2x y = 4 2x (2 x ) = 4 2x 2 + x = 4 3x = x = 6 X =2 y = 2-2 y = 0 S = {(2, 0)} 1

2 c) 4x 3y = 14 x 2y = 6 x = 6 + 2y d) x + 3y = 0 2x + y = 5 x = -3y Substituindo a eq.2 na eq.1 4x 3y = 14 4(6 + 2y) 3y = y 3y = 14 5y = y = 10 y = -2 x = (-2) x = 6 + (-4) x = 6-4 x = 2 S = {(2, -2)} Substituindo a eq.1na eq.2 2x + y = 5 2.(-3y) + y = 5-6y + y = 5-5y = 5 y = 1 x = -3.(-1) x = + 3 S = {(3, -1)} e) x - y = 10 x + y = -40 Substituindo a eq.1na eq.2 x + y = y + y = -40 2y = y = -50 y = -25 x = 10 + y x = 10 + (-25) x = x = - 15 S = {(-15, -25)} Método da Comparação Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra, depois basta igualar as duas, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita. 2

3 Método da Comparação Método da Comparação a) x y = 4 x + y = -10 x = 4 + y x = y b) 2x 3y = -14 2x + 5y = 2 2x = y 2x = 2-5y Comparando a equação 1 com a equação 2 temos: 4 + y = y x = y x = -10 (-7) y + y = x = y = -14 y = -7 S = {(-3, -7)} x = -3 Comparando a equação 1 com a equação 2 temos: y = 2 5y 2x = x = y + 5y = x = -8 8y = 16 x = - 4 y = 2 S = {(- 4, 2)} c) 3x + y = 4 4x + y = 2 Método da Comparação y = 4 3x y = 2 4x Qual a massa, em gramas, da pera e da banana? Comparando a equação 1 com a equação 2 temos: 4 3x = 2 4x y = 2 4.(-2) y = x + 4x = 2-4 y = 10 x = -2 S = {(- 2, 10)} Vamos considerar: x a massa da pera e y a massa da banana. 3

4 Equação 01 Equação 02 Substituindo a equação 01 na equação 02: Marieta e Rodrigo entraram na loja de brinquedos. Vendo os preços de uma bola e de um jogo, fizeram estas afirmações: O jogo custa o dobro da bola. Qual o preço da bola e do jogo? A bola e o jogo custam R$ 18,00. x y Representa o preço da bola Representa o preço do jogo Equação 01 Equação 02 Substituindo a equação 01 na equação 02: x + 2x = 18 3x = 18 x = 6 y = 2x y = 2.6 y = 12 Em um estacionamento há carros e motos, num total de 38 veículos e 136 rodas. a) Qual o sistema de equações lineares que ilustra as condições dadas? b) Utilizando o sistema que você representou a situação, determine quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento? 4

5 a) Qual o sistema de equações lineares que ilustra as condições dadas? b) x + y = 36 4x + 2y = 136 4(36 y) + 2y = y + 2y = 136 x = 36 - y x = 36 - y x = 36-4 x y Representa a quantidade de carros Representa a quantidade de motos - 2y = y = - 8.(-1) 2y = 8 y = 4 motos x = 32 carros A diferença entre o preço de um sorvete e o preço de um doce é de R$ 4,00. Raquel tomou um sorvete e comprou dois doces, gastando ao todo R$ 13,00. Qual o preço do sorvete e de cada doce? x y Representa o preço do sorvete Representa o preço do doce x y = 4 x + 2y = 13 b) x y = 4 x + 2y = y + 2y = 13 3y = y = 9 y = 3 Cada doce custa R$ 3,00 x = 4 + y x = 4 + y x = x = 7 Cada sorvete custa R$ 7,00 5

6 Uma lapiseira custa o triplo de uma caneta. Se as duas juntas custam R$ 24,00, qual é o preço de cada uma? x y Representa o preço da lapiseira Representa o preço da caneta x = 3y x + y = 24 b) x = 3y x + y = 24 3y + y = 24 4y = 24 y = 6 y = 3 Cada caneta custa R$ 3,00 x = 3y x = 3.3 x = 9 Cada lapiseira custa R$ 9,00 Quais são os valores de a e b nos pares ordenados? a) (a + 3, b 5) = (8, 0) b) (a 3, 2b) = (2a 1, b + 1) (a + 3, b 5) = (8, 0) a + 3 = 8 a = 8-3 a = 5 b - 5 = 0 b = b = 5 (a 3, 2b) = (2a 1, b + 1) a 3 = 2a 1 2b = b = 2a a 2b b = 1 a = -2 b = 1 Dada a equação 2x y = 3 qual o par ordenado é solução desta equação? a) ( 2, 1) b) (0, 3) c) (2, 1) 2x y = 3 2.(-2) (-1) = = 3-3 = 3 Falso 2x y = = = 3-3 = 3 Falso 2x y = = = 3 3 = 3 Verd. Resp: O par ordenado que é solução é (2, 1). 6

7 Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações, a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita. Quando a simples soma não nos permite alcançar este objetivo, recorremos ao princípio multiplicativo da igualdade para multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor, de sorte que a equação equivalente resultante, nos permita obter uma equação com uma única incógnita. a) x y = -4 x + y = 6 2x = 2 x = 1 Substituindo o valor de x na equação 2 teremos: x + y = y = 6 y = 6-1 y = 5 Logo, a solução do sistema é S = {(1, 5)} b) x + y = - 1 x - y = 9 2x = 8 x = 4 Substituindo o valor de x na equação 1 teremos: x + y = y = -1 y = -1-4 y = -5 Logo, a solução do sistema é S = {(4, -5)} c) x + 2y = 5 3x - y = 1 x + 2y = 5 6x - 2y = 2 (. 2) Substituindo o valor de x na equação 1 teremos: x + 2y = y = 5 7x = 7 2y = 5-1 2y = 4 y = 2 x = 1 Logo, a solução do sistema é S = {(1, 2)} 7

8 d) 2x + 2y = 5 2x - y = -1 2x + 2y = 5-2x + y = 1 3y = 6 y = 2 (. -1) Substituindo o valor de y na equação 2 teremos: 2x - y = -1 2x 2 = -1 2x = x = 1 e) 3x + 4y = 2 2x +5y = -1 S = {(2,-1)} f) 3x + 5y = 11 2x - y = 16 S = {(7,-2)} g) x + y = 8 x - 2y = 2 S = {(6,2)} h) 2x + 3y = 1 2x +5y = -1 S = {(2,-1)} i) 3x + 4y = 2 2x + 5y = -1 S = {(2,-1)} J) 5x - 3y = 9 4x + 2y = 16 S = {(3,2)} 8