SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS

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1 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UFRN CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDÓ CERES DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS DCEA PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO Á DOCÊNCIA (PIBID) KALINE ARAÚJO DA SILVA LUANA GONÇALVES DE LIMA SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS CAICÓ/RN 2014

2 2 KALINE ARAÚJO DA SILVA LUANA GONÇALVES DE LIMA SUBPROJETO DE MATEMÁTICA-2014 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS Relatório apresentado à coordenadora Maroni Lopes do curso Matemática, referente às atividades desenvolvidas no 2º semestre pelo PIBID na turma do 8º ano do turno vespertino da Escola Estadual Zuza Januário. CAICÓ/RN 2014

3 3 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA SALA DE AULA...5 ANEXOS

4 4 INTRODUÇÃO Neste relatório anexaremos as atividades realizadas pelo Programa de Iniciação à Docência - PIBID de matemática durante o período de 15 de agosto de 2014 até 5 de dezembro de 2014 na turma do 8º ano vespertino da Escola Estadual Zuza Januário. O trabalho foi uma revisão de todo o assunto dado pela Professora Supervisora Marcilene, tendo como conteúdos apresentados: Produtos notáveis, fatoração, frações algébricas (simplificação, operações de adição, subtração, multiplicação e divisão) e sistemas de equações. Com o intuito de reforçar a aprendizagem e melhorar o rendimento escolar dos alunos.

5 5 ATIVIDADES DESENVOLVIDAS NA SALA DE AULA PRODUTOS NOTÁVEIS A expressão algébrica (a+b)² apresenta uma soma de dois termos, a+b, elevada ao quadrado por isso é denominada o quadrado da soma de dois termos. Mas podemos formar a resposta sem precisar ficar multiplicando termo a termo. Por isso, dizemos que é um produto notável. Quadrado da Soma de Dois Termos O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo: Exemplos Quadrado da Diferença de Dois Termos O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo: Exemplos Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo: Exemplos

6 6 EXERCICIOS 1- Calcule: a) (2x + 1)² b) (a + 5)² c) (a + 10)² d) (2a + 5)² e) (a + 2b)² f) (5a + 3b)² g) (2a + 9)² h) (3x + 2y)² i) (2xy + 4)² j) (x + ½)² k) (2a + 10)² l) (5x -3y)² m) (5a 3b)² n) (3a 2b)² 2- Calcule os produtos: a) (x +1)(x+1) b) (a + 5)(a - 5) c) (3b + 7)(3b 7) d) (x² + 2)(x² - 2) e) (3 ab)(3 + ab) f) (3x 2y)(3x + 2y) j) (7x + 6)(7x 6) k) (3x² - 4)(3x² + 4)

7 7 3- Resolva as expressões algébricas: a) (x + y) 2 2xy = b) (5 2z) 2 (25 +10z) = c) (3x+1) 2 + (3x-1) 2 2 = d) (2 2x) 2 + (3 2x) 2 2(x 3) = e) (x 3)(x + 3) x(x 3y) = f) (5a + 3) 2 + (5a - 3) 2 2(a + 5) = g) (2x 3) 2 + (x 5)(x + 5) (x + 4) 2 = h) (a - 1)² + a(3a + 2) =

8 8 FATORAÇÃO Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os números 2 * 2 * 3 * 3. Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto entre outros polinômios. As fatorações mais conhecidas são: fator comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto. Fator comum em evidência. Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe: No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original. Exemplos: x² + 2x x * (x + 2) x² : x = x 2x : x = 2 4x³ 2x² 2x² * (2x 1) 4x³ : 2x² = 2x 2x : 2x = 1 16x² * (2x² + 1) 16x² : 8 = 2x² 8 : 8 = 1 Fatoração por Agrupamento Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Exemplo: 2yx x 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e x e entre 6y e 3. 2yx x x * (2y 1) 6y * (2y 1) 2yx x 6y + 3 x * (2y 1) 3 * (2y 1) (x 3) * (2y 1)

9 9 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS A simplificação de frações é feita dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número, isto seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, obtendo uma fração mais simples e equivalente. Observe os exemplos: Com base nesse mesmo procedimento, simplificamos frações algébricas que apresentam fatores em comum. Veja exemplos: 24x 4 y³z 18x²y x x x x y y y z 2 2 x x z = = = 4x²z x x y y y y 3 y 3y Para serem desenvolvidas, algumas simplificações requerem, primeiramente, o uso de técnicas de produtos notáveis e fatoração. Fator comum em evidência x² + x x(x + 1) = 2x + 2 2(x + 1) = x 2 Diferença entre dois quadrados

10 10 Agrupamento e fator comum em evidência Trinômio quadrado perfeito Efetuando operações antes de simplifica Exercícios 1 - Simplifique as frações algébricas: a) 12x/15 = b) 12m/6a = c) 8x/10x² = d) 4x³/10xy = e) 4x⁴a/6x³ = f) 6a⁵/7a³x = g) 8ay/2xy³ = h) 4x²y/10xy³ = i) 8am/-4am = j) -14x³c/2x = k) 64a³n²/4an² = 2 Simplifique as frações utilizando a técnica de fator comum em evidência: a) (3a 3b)/12 = b) (2x + 4y)/2a = c) (3x 3)/(4x 4) = d) (3x 3)/( 3x + 6) = e) (5x + 10)/5x = f) (8x 8y)/(10x 10y) = g) (3a + 3b)/(6a + 6b) = h) (15x² + 5x)/5x = i) (6x 6y)/(3x 3y) = j) (18x 18)/(15x 15) = k) (x² - x)/(x 1) = l) (2x + 2y)/6 =

11 11 FRAÇÕES ALGÉBRICAS são aquelas em que aparecem incógnitas no denominador. Só podemos adicionar ou subtrair frações algébricas de mesmo denominador, caso elas possuam denominadores diferentes, precisaremos igualá-los. Denominadores iguais Para adicionarmos/subtrairmos frações de mesmo denominador, conservamos o denominador comum e adicionamos/subtrairmos os numeradores. Exemplos: Denominadores diferentes Se os denominadores forem diferentes, reduzimos ao menor denominador comum, determinando o m.m.c. e efetuamos as operações seguintes do mesmo modo quando somamos ou subtraímos frações com denominadores diferentes. Exemplo 1: M.m.c. (3, a, 4a²) = 12a²

12 12 Exemplo3: 3/(x-2) + 5/(x + 2) Temos m.m.c. = (x 2) ( x + 2) 3/(x-2)+5/(x + 2) = 3(x +2) / (x 2) ( x + 2) + 5(x - 2) / (x 2) ( x + 2) = 3x x -10 /(x 2) ( x + 2) = 8x -4/ (x 2) ( x + 2) Exemplo 2: Exercícios 1 Resolva a soma e subtração das frações algébricas de denominadores iguais: a) y 2x + 1 2x = b) 12c a + 3 5c a c) 3 x²y + 2 x²y = d) 3x y + 2x y = = e) 4x+1 2x 2x+2 2x = f) 5 x + 7 x = g) a+b a²b + 2a+b a²b =

13 13 h) m+1 x i) a 1 b 4 x = 2a 1 b = j) a+b² x y b2 a x y = k) 4 m 1 m = l) 9a b² + a b² = m) y 1 a+3 y+5 a+3 = n) 3x 1 a + 3x+2 a = o) 2x+3 3x+1 = b b p) a = 2a 2a q) x 3x = x+y x+y 2- Resolva a soma e subtração das frações algébricas de denominadores diferentes: a) 10/x 25/3x = b) 5y/3x + 3y/2x = c) 3/2x² - 8/x = d) 5/yx x/3y = e) (a + 3)/4m + 1/2m = f) (6x + 13)/2y + (x + 3) 3y = g) 4 / (x + 1) + 2 /(x 1) = h) 4/x + 5/(x -2) = i) 1/(x -3) 6/ (x² - 9)= j) (3x + 2) / (x² - 4) 4 / (x + 2) = MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES NUMÉRICAS Multiplicação A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe:

14 14 Divisão A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz: repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS Multiplicação Para multiplicar frações algébricas, multiplique os numeradores entre si e os denominadores também entre si. Exemplos: a/b. x/y = ax/by 3a /x. 7/5y = 21a /5xy 2x/5c. 4x² /3c = 8x³/15c² (x + y)/ 4b. (x y)/ m = (x² - y²) / 4bm Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos cancelálos antes de efetuar a multiplicação. Exemplos: a/3x. 2x/5 = 2a /15 (3x 2) / 5. 7a / (3x -2) = 7a / 5 Divisão

15 15 Para dividir frações algébricas, conserve a primeira fração e divida-a pelo inverso da segunda. Exemplos: 2x/a : 3m/5c = 2x/a. 5c/3m = 10cx/3am 5x²/ 3a : 7b/2x = 5x²/3a. 2x/7b = 10x³/21ab a/(x + y) : m/(x + y) = a/(x + y). (x +y)/m = a/m EXERCÍCIOS 1) Efetue as multiplicações de frações algébricas: a) 3 a / x. y/2 = b) 2x/5. 4a/x = c) 3/a.5y/y = d) 2 a/x. 5b / y = e) 7 a /m². 2 a/5m = f) m/x². 6a³/7x= g) 3x/2y. x²/4 = h) 3xy/5 a. 2x³ / a²y = i) 5x²/3y. 2x / y³ = j) 4 / (x + y). ( x + y ) / 5 = k) 1 / (x y). 1 /(x + y) = l) ( x + 1) / ( x 5). ( x 1) / ( x + 5) = m) 8m / ( m -1). m / (m + 1) = n) ( x² - 9) / 5. 10/(x 3) = 2) Calcule as divisões de frações algébricas: a) 2a/ b : x/y = b) 3x/4 : 5y/7 = c) 3x/2 : 6x²/4 = d) 2y/x : 10x/3y= f) 2a / 3x² : 5a² / 9xy = g) x/2 : 5x²/8 = h) 2x³/ y² : 4x / y⁵ = i) (x + 1) /5x : a / (x -1) = j) am/(x + y) : m/( x + y) = k) ( x² - 1) / (5x + 5) : ( 5x 5)/ (x + 1) =

16 16 SISTEMAS DE EQUAÇÕES Para encontrarmos numa equação de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, 4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas. Essa relação é chamada de sistema. Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação. Veja um exemplo: Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução. Esses dois métodos são: Substituição e Adição. Método da substituição Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como: Dado o sistema, enumeramos as equações. Escolhemos a equação 1 e isolamos o x: x + y = 20

17 17 x = 20 y Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 y. 3x + 4 y = 72 3 (20 y) + 4y = y + 4y = 72-3y + 4y = y = 12 Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação x = 20 y. x = 20 y x = x = 8 Portanto, a solução do sistema é S = (8, 12) Método da adição Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.

18 18 Dado o sistema: Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por 3. Agora, o sistema fica assim: Adicionando as duas equações: - 3x 3y = x + 4y = 72 y = 12 Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado: x + y = 20 x + 12 = 20 x = 20 12

19 19 x = 8 Portanto, a solução desse sistema é: S = (8, 12). Se resolver um sistema utilizando qualquer um dois métodos o valor da solução será sempre o mesmo. Exercícios 1- Encontre o conjunto solução dos sistemas de equações pelo método da adição: 2x 5y 13 a) 2x 7y 23 b) x 4y 9 2x 4y 6 16r 2s 10 c) 16r s 13 d) 7m 2n 6 5m 2n a b e) 5 b 3a 2- Encontre o conjunto solução dos sistemas de equações pelo método da substituição: 4x 5y 21 a) 7x 2y 17 b) 3a 5b 8 5a 3b 32 c) d) 9m 6n 12 4m 5n 10 2 p 11q 5 7 p 3q 24

20 ANEXOS 20

21 Gincana realizada por todos os PIBIDs que atuam na EEZJ 17/10/

22 Alunos do PIBID-Matemática resolvendo exercícios propostos em sala de aula 07/11/