A evolução do caderno. matemática. 8 o ano ENSINO FUNDAMENTAL

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1 A evolução do caderno matemática 8 o ano ENSINO FUNDAMENTAL 3 a edição são paulo 013

2 Coleção Caderno do Futuro Matemática IBEP, 013 Diretor superintendente Jorge Yunes Gerente editorial Célia de Assis Editor Mizue Jyo Assistente editorial Edson Rodrigues Revisão Berenice Baeder Coordenadora de arte Karina Monteiro Assistente de arte Marilia Vilela Nane Carvalho Carla Almeida Freire Coordenadora de iconografia Maria do Céu Pires Passuello Assistente de iconografia Adriana Neves Wilson de Castilho Produção gráfica José Antônio Ferraz Assistente de produção gráfica Eliane M. M. Ferreira Projeto gráfico Departamento de Arte Ibep Capa Departamento de Arte Ibep Editoração eletrônica N-Publicações CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ S58m 3. ed Silva, Jorge Daniel Matemática, 8º ano / Jorge Daniel da Silva, Valter dos Santos Fernandes, Orlando Donisete Mabelini ed. - São Paulo : IBEP, 013. il. ; 8 cm (Caderno do futuro) ISBN (aluno) (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) - Estudo e ensino. I. Fernandes, Valter dos Santos. II. Mabelini, Orlando Donisete. III. Título. IV. Série CDD: 37.7 CDU: : a edição São Paulo 013 Todos os direitos reservados. Av. Alexandre Mackenzie, 619 Jaguaré São Paulo SP Brasil Tel.: (11) editoras@ibep-nacional.com.br

3 sumário Noções básicas de astronomia capítulo 1 conjuntos Numéricos Noções básicas de astronomia capítulo 7 Fatoração 1. Números racionais...4. Números irracionais...4 Noções básicas de astronomia capítulo operações em r 1. Propriedades da adição e da multiplicação em R...7. Propriedades da potenciação...9 Noções básicas de astronomia capítulo 3 Valor Numérico e termo algébrico 1. Valor numérico de uma expressão algébrica...1. Termo algébrico...14 Noções básicas de astronomia capítulo 4 polinômios 1. Monômio, binômio, trinômio e polinômio Grau de um monômio Grau de um polinômio...17 Noções básicas de astronomia capítulo 5 operações com polinômios 1. Adição e subtração de polinômios...1. Multiplicação de monômios Multiplicação de monômio por polinômio Multiplicação de polinômio por polinômio Divisão de monômios Divisão de polinômio por monômio Divisão de polinômio por polinômio Potenciação de monômios Raiz quadrada de monômios...31 Noções básicas de astronomia capítulo 6 produtos NotáVeis 1. O quadrado da soma de dois termos (a + b)² O quadrado da diferença de dois termos (a b)² O produto da soma pela diferença de dois termos Fator comum em evidência Fatoração por agrupamento Diferença de dois quadrados Trinômio quadrado perfeito...40 Noções básicas de astronomia capítulo 8 mdc e mmc de polinômios 1. Máximo divisor comum (mdc) Mínimo múltiplo comum (mmc)...45 Noções básicas de astronomia capítulo 9 Frações algébricas 1. Simplificação de frações algébricas Adição e subtração de frações algébricas Multiplicação de frações algébricas Divisão de frações algébricas Potenciação de frações algébricas Expressões com frações algébricas...55 Noções básicas de astronomia capítulo 10 equações FracioNárias e literais 1. Equações fracionárias Conjunto verdade Equações literais...60 Noções básicas de astronomia capítulo 11 geometria 1. Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal Polígonos Triângulo Congruência de triângulos Pontos notáveis de um triângulo Condição de existência de um triângulo Quadriláteros Classificação dos quadriláteros Soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos Polígono regular Ângulo externo de um polígono regular Semelhança de polígonos...96

4 capítulo 1 conjuntos Numéricos 1. Números racionais Já estudamos os seguintes conjuntos numéricos. N: conjunto dos números naturais N {0, 1,, 3,...} Z: conjunto dos números inteiros Z {..., -3, -, -1, 0, 1,, 3,...} Q: conjunto dos números racionais Q a b a Z e b Z* Números racionais são aqueles que podem ser representados como o quociente de dois números inteiros, com divisor diferente de zero. Exemplos: a) 6 ou 3 b) 1 5 ou,4 c) 4 3 ou 1, Números irracionais Vamos agora apresentar um novo conjunto, o dos números irracionais. Números irracionais não podem ser representados como quociente de dois números inteiros, e sua representação decimal é infinita e não periódica. O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I. Exemplos de números irracionais: 1, , π 3, O conjunto formado pela união de todos esses conjuntos: N, Z, Q e I, é chamado conjunto dos números reais, representado pela letra R. O conjunto dos números reais é comumente representado por meio do diagrama de Venn Euler, como mostra a figura. N Z Q R I 4

5 1. Associe os símbolos da coluna da esquerda com seu respectivo conjunto, g) As raízes exatas são números racionais. na coluna da direita. a) Q c números naturais b) Z a números racionais relativos h) Os números racionais podem ser escritos em forma de fração. c) N b números inteiros relativos d) R d números reais. Complete as lacunas escrevendo racionais ou irracionais. a) Os números de representação decimal são racionais. i) Os números irracionais não podem ser escritos em forma de fração. 3. Escreva Q para os racionais e I para os irracionais: a),5 Q b) 0, Q b) Os números de representação decimal infinita e periódica são racionais. c) 3, Q c) Os números de representação decimal infinita e não periódica são irracionais. d) 0,8 Q e), I d) Os números naturais são racionais. f) 7 Q e) Os números inteiros são racionais. g) 1, I f) As raízes não exatas são números h) 5, Q irracionais. 5

6 i) I 5. Escreva verdadeiro ( V ) ou falso ( F ). a),5 é um número racional. V j) 3 I b),5 é um número irracional. F k) 9 Q c),5 é um número real. V l) 16 Q 4. Assinale com X somente os números que não são racionais. a) 5 X d) é um número racional. F e) 3 é um número irracional. V b) 6 X f) 3 é um número real. V 6. Escreva convenientemente no diagrama c) 16 os números: d) 0,8 3, 7, 3 5,, 1 4, 7, 0, 1, 8, 9, 9, 1 e) 9 f), X N Z 1 4 Q g) 1, h) 0 i) 7 X 6

7 Capítulo operações em r 1. propriedades da adição e da multiplicação em r 1. Assinale as alternativas em que foi aplicada a propriedade comutativa. Adição Sendo a, b e c números reais. Comutativa: a + b b + a Elemento neutro: a + 0 a 0 + a Associativa: (a + b) + c a + (b + c) Elemento inverso aditivo: a + ( a) 0 a) ( + 5) (5 + 3) b) c) d) e) x x Multiplicação Sendo a, b e c números reais. Comutativa: a b b a Elemento neutro: a 1 a 1 a Associativa: (a b) c a (b c) Elemento inverso multiplicativo: a 1 1 (a 0) a Distributiva da multiplicação em relação à adição: a (b + c) a b + a c. Assinale as alternativas em que foi aplicada a propriedade do elemento neutro. a) b) x c) d) a + x x + a x e) + 0 x 7

8 3. Assinale as alternativas em que foi h) 8 + ( 8) 0 elemento inverso aditivo aplicada a propriedade associativa. a) i) elemento inverso multiplicativo b) c) 4 + ( + 3) (4 + ) + 3 x d) e) ( 3) 5 (3 5) x 4. Escreva o nome da propriedade aplicada. a) elemento neutro b) comutativa c) 5 + ( 5) 0 elemento inverso aditivo d) elemento inverso multiplicativo 5. Aplique a propriedade distributiva e efetue quando possível. a) 4 (3 + 5) b) (a + b) a + b a + b c) 8 (m + x) 8 m + 8 x 8m + 8x d) 5 ( + 14) e) a (b + c) a b + a c ab + ac f) x (3 + b) x 3 + x b 3x + bx g) 8 ( + a) a a e) comutativa h) m (x + y) m x + m y mx + my f) 5 5 comutativa g) elemento neutro i) a (x + y) a x + a y ax + ay j) 3 (4 + a) a 1 + 3a 8

9 . propriedades da potenciação e) m m Sejam a e b números reais e m e n números racionais: a) a m a n a m+n b) a m : a n a m n (a 0) c) (a b) m a m b m d) a m 1 a m (a 0) m 1 m 1 f) m 5 m m 5 m 3 g) a 5 a 5 e) a 0 1 (a 0) f) (a m ) n a m n g) m a n a m n (a 0) 6. As letras apresentadas nesta atividade representam números reais. Desenvolva as operações com o auxílio das propriedades da potenciação. a) a a 7 a + 7 a 9 b) m 3 m a 5 5 a 0 1 h) (3 ) i) (a ) 6 a 6 a 1 j) k) m m ( ) c) y 5 y 5 l) x 7 x 3 y y 10 x 7 + ( 3) x 7 3 x 4 d) m) (m a) m a m a 9

10 n) (3 a) a a 3 7. Escreva na forma de potência, com expoente fracionário. o) x 5 x x 5 x 3 3 a) a a Exemplo: 3 3 p) a 3 1 a 3 q) 4 b) x 7 7 x 5 c) r) ( 5) 7 7 d) s) a 5 a 1 e) a a a 5 ( ) a 5 + a 7 1 f) 3 3 t) ( 3) g) x x u) h) m 3 3 m 1 i)

11 1 j) 5 5 g) k) h) Agora, faça o processo inverso da atividade anterior: escreva na forma de radical. 1 i) Exemplo: m m 3 7 a) a4 a j) a a 3 3 b) x7 x k) x7 x 7 1 x 7 1 c) a a 1 a 1 d) b b 1 b 1 e) m3 m 3 1 m 3 f)

12 Capítulo 3 valor numérico e termo algébrico 1. valor numérico de uma expressão algébrica b) 3x + a, para x 5 e a V. N. 17 É o número que se obtém (resultado) quando substituímos as letras de uma expressão algébrica por determinados números e efetuamos as operações indicadas. c) 5a + b + c, para a, b 1 e c V. N. 19 Exemplo: A temperatura de uma estufa, em graus Celsius, é regulada em função do tempo t (horas) pela expressão t 4t Quando t 6 h, qual é a temperatura atingida pela estufa? t 6 4t O valor numérico da expressão que fornece a temperatura da estufa quando t 6 h é o número 4. Resposta: 4 C. d) 3x y, para x 5 e y V. N. 11 e) 4a + b c, para a 1, b 3 e c V. N. 5 f) a b + 3c, para a 1, b 4 e c V. N As letras apresentadas nesta atividade representam números reais. Calcule o valor numérico (V.N.) das expressões a seguir. a) x + 7, para x V. N. 1 g) 7a b, para a 1 e b V. N. 3 h) ab + c, para a, b 1 e c V. N. 5 1

13 i) xy + 3x, para x 3 e y V. N V. N. 15 j) abc + a, para a 5, b e c V. N. 40 k) a 3 + 5b, para a e b V. N. 133 l) b 4ac, para a 5, b 3 e c o) b 4ac, para b 5, a 1 e c 6 ( 5) 4 ( 1) V. N. 49 p) ab + c, para a 3, b 3 e c ( 3) V. N. 7 q) m + 3x y, para m 3, x e y 7 ( 3) ( 3) V. N V. N. 31 m) m 3 3m, para m r) abc a + b, para a 1, b e c ( 1) 3 ( 1) V. N. V. N. 6 n) a + b c, para a 3, b 5 e c s) x y + x x y, para x 3, e y 7 ( 3) + ( 5) ( ) ( 3) 7 + ( 3) ( 3)

14 termo algébrico V. N. 6 t) x 4y, para x 3 e y 5 ( 3) 4 ( 5) V. N. 9 Termo algébrico é composto por uma parte numérica (coeficiente) e por uma parte literal. Exemplo: no termo algébrico 5x y, o coeficiente é 5 e a parte literal é x y.. Complete. a) 3 x coeficiente: 3 ; parte literal: x u) a 4mx, para a 1, m e x 3 ( 1) 4 ( ) b) y coeficiente: 1 ; parte literal: y V. N. 5 v) ab + c a, para a 3, b 1 4 e c c) 7yz coeficiente: 7 ; parte literal: yz d) 5 x3 y coeficiente: 5 ; parte literal: x 3 y e) 6ab coeficiente: 6 ; parte literal: ab f) 8y coeficiente: 8 ; parte literal: y V. N g) 7x 8 coeficiente: 7 8 ; parte literal: x 14

15 h) x 7 coeficiente: 1 7 ; parte literal: x 3. Escreva nos parênteses a quantidade de termos algébricos de cada expressão. a) x + 3y b) 6xy 1 c) a + 3b + x 3 d) a b e) xya 1 f) x 6x g) m + 7 h) y + 3xy + y 3 15

16 Capítulo 4 polinômios 1. monômio, binômio, trinômio e polinômio Monômio Chamamos monômio a expressão algébrica formada por apenas um termo algébrico. Exemplos: x 4xy x² 43y³ Binômio Chamamos binômio a expressão algébrica formada por dois termos algébricos. Exemplos: x + 5n 4xy³ 1 z 7y³ x³y + x² Trinômio Chamamos trinômio a expressão algébrica formada por três termos algébricos. Exemplos: 4y + z x 4xy 3z³ + 4 x² + x y³ z Polinômio Chamamos polinômio a expressão algébrica formada por dois ou mais termos algébricos. Exemplos: x + y y³ z² 3x + 4 zy² + z + x³+1 + k Exemplo: Em um estacionamento há motos (x) e carros (y). Vamos escrever o polinômio que representa: a) o número de veículos que estão no estacionamento: x + y b) o número de rodas dos veículos que estão no estacionamento: x + 4y 1. Classifique as expressões algébricas em monômio, binômio ou trinômio. a) x + y binômio b) ab monômio c) m + x + 4 trinômio d) a + b binômio e) x + 3 binômio f) x + 10x 6 trinômio g) m 3 binômio h) x + 4y binômio i) y + 6xy + x trinômio 16 j) a 5 binômio

17 k) x + 4xy binômio c) 7y grau 1 l) 3 + x binômio d) 9x y grau 3 m) x + 4x 3 y + x trinômio e) 3xyz grau 3 n) a b binômio f) 8x yzb 5 grau 9 o) x + 3x binômio g) u grau 1. Grau de um monômio h) 3m 5 grau i) 7xy grau Grau de um monômio é a soma dos expoentes de todas as variáveis (letras) que formam a parte literal do monômio. Exemplo: O monômio 9x³y tem grau 4, pois o expoente do x é 3 e o do y é 1. ( ). 3. Grau de um polinômio j) 10x grau 1 k) 6x grau l) 18 grau 0 3. Dê o grau dos polinômios. a) 5x 3y grau Grau de um polinômio é o grau do termo algébrico de maior grau do polinômio. Exemplo: O polinômio x² + 5x 4x³ tem grau 3, pois o termo algébrico de maior expoente é 4x³, e seu expoente é 3. b) 7a 3 + a grau 3 c) x yz 3 + 7x 3 y 5 4z grau 8 d) 3a + 7a b 5a 3 grau 3 e) 6xy 3 + 5x y 4 + 3xy grau 6. Escreva o grau dos monômios. a) 3 a b 5 grau 7 b) 8x grau 1 Monômios semelhantes são aqueles que apresentam suas partes literais iguais. 17

18 4. Ligue os monômios apresentados na coluna da esquerda com monômios semelhantes, apresentados na coluna da direita. 4xy 5y x y 7ab ab 3 5x y 5ab 10ab 3 8y 3xy k) 9, 6, 3 x l) 8, 1 5, 7 x m) x, 4x, 8 6. Desenvolva as operações de modo a reduzir as expressões a termos semelhantes. Exemplo: 4y + 6y 10y 5. Assinale com X os itens que apresentam somente monômios semelhantes. a) 3x, x, 5x x 7 b) xy, 3xy, 6xy x a) y + 6y 8y b) 5b 7b b c) y + 3y + 5y y 7y c) 7x 3 y, 8xy 3 d) 5x 6x + 10x 9x d) 8xy, 3x, xy e) b + 6b 5b 8b 6b e) 5ab, ab, 9ab x f) 7x 3 10x 3 8x 3 + x 3 9x 3 f) 3a, 3ab, a g) 3a 4a 5a 6a g) 7x y, x y, 13x y x h) a a + 3a 3a 0 h) am, a m i) 6x + 10x 7x 9x 0 i) ab c, acb, cb a x j) 3a + 10a 1a a j) 3ab, ba, 7ab x k) x + y + 3x 4x + y 18

19 l) a + 3b 5a + b 3a + 5b m) 3x + 7x + 8y 10x + 8y n) a + b + 3a + 5b 4a + 6b o) 6x + 6x + 10x 16x + 6x p) 3xy + 10x + 3xy 6xy + 10x q) a + ab + 3a 4a + ab r) 6x 3 + 3x + 8x 3 14x 3 + 3x s) a + a + 5a 6a + a 7. Assinale a alternativa correta. 1) O valor numérico de b 4ac, para a 1, b 3 e c é: a) 1 c) 0 b) 17 d) ) Sendo x e y 3, o valor numérico de 5x + y é: a) 10 c) 13 b) 5 d) t) x + 3x + x 5x u) 3x x x 5x x v) 6x + 4x 8 10x 8 w) x 3 + y x x 3 x + y x + 3x 3 x 3 + y + y x) 5a b + 3 a + b 5a + 3 a b + b 10a + 3a b 13a b 3) Para a 1 e b 0, o valor numérico de 4a + 5b é: a) 9 c) 1 b) 5 d) ) O valor numérico de 5x + 3y, para x e y 5, é: a) 5 c) 5 b) 5 d) 15 5 ( ) ) O coeficiente de 3x y 3 é: a) c) 5 b) 3 d) n. r. a. 19

20 6) O coeficiente de x 5 é: a) 1 5 c) b) 5 d) n. r. a. 7) A expressão algébrica a + b é um: a) monômio c) trinômio b) binômio d) n. r. a. 8) A expressão algébrica 3x y 5 é um: a) monômio c) trinômio b) binômio d) n. r. a. 9) A expressão algébrica x + 5x + 6 é um: a) monômio c) trinômio b) binômio d) n. r. a. 10) O monômio 5x 3 yz é de grau: a) 5 c) 7 b) 6 d) n. r. a. 11) O polinômio 3xy + 4z x + 5x é de grau: a) c) 1 b) 3 d) 4 1) A expressão 3x + 5y x + y é equivalente a: a) 3x + 7y c) 3x + y b) x + 4y d) x + 7y 3x x + 5y + y x + 7y 0

21 CAPÍTULO 5 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 1. Adição e subtração de polinômios Uma fábrica de roupas (F) vende seus produtos em cinco pontos de venda: P 1, P, P 3, P 4 e P 5. Esses pontos estão separados entre si por distâncias (em km), medidas em linha reta, indicadas na figura. F x + 8 P 1 x 3 P x P 3 x + 4 P x 5 P 4 1. Efetue: a) b) c) d) + 5x + 3x 1 8x x + 3 7x + 4 5x x 7x x 5x 8 x 1x + + 1x + 3x 5 x + 7x x + 10x + 4 Podemos escrever o polinômio que expressa a distância desde a fábrica F até o ponto de venda P 5, passando por todos os pontos intermediários da seguinte maneira: x x 3 + x + x x 5x + 7 e) f) + 8x + 1 x x x 8x 8x + 10x 11x + x g) + 4x 5x x 15 7x 5X 4 h) + y 3y 9 y + y 1 3y y 10 1

22 . Efetue eliminando os parênteses. Exemplo: (5x ) + ( x ) 5x x 3x 3. Efetue: a) (3x + 9x 5) + (x 8x 3) 3x + 9x 5 + x 8x 3 a) (4x) + (7x) 4x + 7x 11x 3x + x + 9x 8x 5 3 5x + x 8 b) (5x) + ( 8x) 5x 8x 3x b) (7x 3 + 1x 4x + 3) + ( 5x + 7x 4) 7x 3 + 1x 4x + 3 5x + 7x 4 7x 3 + 1x 5x 4x + 7x c) (10y) + (3y) 10y + 3y 13y 7x 3 + 7x + 3x 1 d) (8a) + ( 10a) 8a 10a a c) (x + 11x + ) + ( x 3 8x 5) x + 11x + x 3 8x 5 x 3 + x + 11x 8x + 5 e) ( x ) + (15x ) x + 15x 13x x 3 + x + 3x 3 f) ( 3x ) + ( 4x ) 3x 4x 7x d) (3x 11x) + ( 7x + 1x + 9) 3x 11x 7x + 1x + 9 3x 7x 11x + 1x + 9 g) (1y) + ( y) 1y y 11y 4x + x + 9 h) (5a 3 ) + ( 10a 3 ) 5a 3 10a 3 5a 3

23 e) ( 5x 3 + 7x 1) (5x + 9x 7) Ao eliminar os parênteses precedidos pelo sinal, devemos trocar todos os sinais de dentro desses parênteses por seus opostos. 5x 3 + 7x 1 5x 9x + 7 5x 3 5x + 7x 9x x 3 5x x Efetue eliminando os parênteses. a) (5x x + 3) (3x 7x + 5) 5x x + 3 3x + 7x 5 5x 3x x + 7x x + 5x f) (8a + 3a 6) ( a 3 9a 6) 8a + 3a 6 + a 3 + 9a + 6 a 3 + 8a + 3a + 9a a 3 + 8a + 1a b) (1x + 9x 10) (10x + x 7) 1x + 9x 10 10x x + 7 1x 10x + 9x x x + 7x 3 c) ( 3x x + 3) (4x + x + 1) g) ( 1y + 16y 10) (5y 1y + 0) 1y + 16y 10 5y + 1y 0 1y 5y + 16y + 1y y + 8y 30 3x x + 3 4x x 1 3x 4x x x x 3x + d) (7x 15x) ( 3x + 3x 9) 7x 15x + 3x 3x + 9 7x + 3x 15x 3x x 18x + 9 3

24 . Multiplicação de monômios c) a 3 a a 5 Para multiplicar monômios, multiplicamos os coeficientes pelos coeficientes e a parte literal pela parte literal. Exemplo: Vamos escrever o monômio que expressa a área dessa figura em cm². x Área base altura 3x x Área (3 ) (x x) (multiplicamos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal) Área 6x A área da figura é 6x² cm². 3x d) 3y 5y 3 15y 5 e) 4x y 8xy f) ab 5a 10a 3 b g) 3abc b 3 c 3ab 4 c 3 h) 5a 3 ( 4a c) 0a 5 c i) 8x y 3 x 3 y 16x 5 y 5 j) 8m 3 n 5m 5 5. Determine a área deste retângulo. x 5x Área 5x x 10x 6. Efetue as multiplicações. a) 3x 6x b) 5x 4x 0x 4 40m 8 n k) 3 x3 y 5x z 10 3 x5 yz l) 3 ( 8xy) 4xy m) 6x 4x 3 y 4x 5 y n) 5x 4 y x 3 y 10x 7 y 3 o) ( x 5 ) ( 5x) 10x 6

25 p) ( 4x 3 ) ( x) 8x 4 q) 5x x 3 y 6x 5 60x 9 y r) 3x 4 6x 18x 5 s) 1a 3 b 3ac bc 7a 4 b 3 c 3 3. Multiplicação de monômio por polinômio 3. Efetue as multiplicações. Multiplicamos o monômio por todos os termos do polinômio, ou seja, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. Exemplo: e) 3x 3 (x + 7x 8) 6x 5 + 1x 4 4x 3 f) 7y 4 (3y 6 y 3 + y) 1y 10 14y 7 + 7y 5 g) m (3m 5m + 7) 6m 3 10m + 14m h) 4x (5x 3) 0x 3 1x i) 6x (5x + 7x ) 30x 4x 3 j) 5x 7 (x 5 3x) 10x 1 15x 8 5x. (x + 3x 4) 10x x 0x k) 3a 3 (a 4 a + 1) 3a 7 + 6a 4 3a 3 7. Efetue as multiplicações. a) 3x (x x + 3) 3x 3 6x + 9x b) (a + 3a 4) a + 6a 8 c) 5a (a 3 ) 5a 5 10a d) 4xy (3x y) l) 5a b 3 (4a 3 b ) 0a 5 b 3 10a b 5 m) x y (x 3xy + y ) x 4 y 3x 3 y 3 + x y 3 n) a (x 3 3a) ax 3 3a 1x 3 y 4xy 5

26 4. Multiplicação de polinômio por polinômio d) (x ) (x + 3) x + 3x x 6 x + x 6 Aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação. Multiplicamos cada termo de um polinômio por todos os termos do outro. Exemplo: (x 3)(3x + 4x 5) 6x 3 + 8x 10x 9x 1x + 15 Reduzindo a expressão aos termos semelhantes: 6x 3 x x e) (3x + 5) (x 4) 6x 1x + 10x 0 6x x 0 f) (x + x) (x 5) x 3 5x + x 5x x 3 3x 5x 8. Efetue as multiplicações de polinômios. a) (x 1) (3x + 4x) 6x 3 + 8x 3x 4x g) (x + ) (x 3x + 1) x 3 3x + x + x 6x + x 3 x 5x + 6x 3 + 5x 4x h) (5x 3) (x + 4x 3) b) (x + 1) (3x ) 3x x + 3x 3x + x 10x 3 + 0x 15x 6x 1x x x 7x + 9 i) (8x + 5) (x + 9x + 5) 8x 3 + 7x + 40x + 5x + 45x + 5 c) (a 1) (a + 1) a + a a 1 a 1 8x x + 85x + 5 j) (3x 10x + 5) (4x + 3) 1x 3 + 9x 40x 30x + 0x x 3 31x 10x

27 Disposição prática 5. Divisão de monômios A multiplicação de polinômios também pode ser efetuada com esta disposição prática: 3x + 4x 5 x 3 6x 3 + 8x 10x 9x 1x x 3 x x + 15 Dividimos coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. Exemplo: 18x 4 6x 18x4 6x x x4 x 6x 4 (escrevemos essa divisão como uma fração) (separamos os coeficientes e as partes literais em duas frações) (resolvemos as frações com base nas propriedades da divisão em R) 9. Efetue as multiplicações de polinômios. 10. Efetue as divisões de monômios. a) 3x x + 4x 6x 3 + 1x a) 10x 5 x 3 5x b) 5y 7 5y 4 5y 3 b) 3x3 + x 4x x + 3 3x 5 + x 4 4x 3 + 9x 3 + 3x 1x 3x 5 + x 4 + 5x 3 + 3x 1x c) 1a 5 4a 3 3a d) 0x 3 10x x e) 1x 3 y 7xy 3x y c) x 4 x + 8 x + x 5 x 3 + 8x f) 18a 4 b 6b 3a 4 g) 100xy 5 0y 3 5xy + x 4 4x + 16 x 5 + x 4 x 3 4x + 8x + 16 h) 4x y 3 ( xy) xy d) 7x + x + 1 7x 3 + x + 7x + 7x 3 + x + 7x + i) 11a 3 a 3 11 j) 15m 5 ( 3m ) 5m 3 7

28 6. Divisão de polinômio por monômio d) (6m 3 + 9m ) ( 3m) m 3m Dividimos todos os termos do polinômio pelo monômio. Exemplo: (9x x 3 ) (3x ) 9x5 + 15x 3 3x (escrevemos essa divisão como uma fração) e) ( 14x x 8x) (x) 7x + 5x 4 9x5 3x 15x3 3x 3x 3 + 5x 11. Efetue as divisões. a) (15x 4 + 0x 3 ) (5x ) 3x + 4x f) (30x y + 0x 3 y 3 ) (5xy) 6xy + 4x y b) (18y 5 1y 4 ) (6y ) 3y 3 y g) (1a a b) (4a) 3a + 4ab c) (8a 4 4a ) (4a ) a 1 h) (9m 4 n 15m 3 ) ( 3m ) 3m n + 5m 8

29 i) (4a 3 b 4 a 4 b 3 ) ( a b ) ab + a b 7. Divisão de polinômio por polinômio Observe a disposição prática para efetuar esta divisão de polinômios. (10x 3 + 1) (5x 4) j) (11a 3 x + 7a 4 x 5a x ) (ax) 11a + 7a 3 5ax k) ( 8x 4 + 1x 3 7x ) ( 7x ) 4x 3x + 1 l) (18x y 5 + 4x 3 y 4 6x y) (6x y ) 3y 3 + 4xy 1 dividendo divisor 10x 3x + 1 5x 4 10x + 8x x 3 15x + 1 quociente +15x 1 0 resto Portanto, (10x 3x + 1) (5x 4) x 3. a) Divide-se 10x por 5x, obtendo-se x. b) Multiplica-se x por 5x 4, e o produto 10x 8x, com sinal trocado, foi adicionado algebricamente ao dividendo, obtendo-se 15x + 1. c) Divide-se 15x por 5x, obtendo-se 3. d) Multiplica-se 3 por 5x 4, e esse produto obtido, com sinal trocado, foi adicionado algebricamente a 15x + 1, obtendo-se resto zero. Importante: O grau do resto é sempre menor que o grau do divisor, pois nem sempre o resto é zero. 1. Agora é a sua vez. Efetue. a) x 7x + 10 x x + x x 5 5x x

30 b) x x 15 x 3 g) x 9x + 0 x 5 x + 6x x + 5 5x 15 5x x + 5x x 4 4x x 0 0 c) 1x + 7x 8 x 3 h) 6x + x 40 3x + 8 1x 15x 3x 8x 8 + 8x +10 6x 16x x 5 15x x i) 5x + 11x 3 5x 1 d) e) 3x 3 8x + 13x 8 x 1 3x 3 + 3x 3x 5x + 8 5x + 13x 8 + 5x 5x 8x 8 8x x 3 x + 3x 4x 6x + 9 1x x x 3x x 4x 16x + 4x j) 5x x x x 3 10x 5 6x 3 5x 9x + 5 3x + 6x 3 4x x 3x 1 9x 9x x + 6x 3x x Potenciação de monômios f) 6x 3 5x + 5x + 7 3x 5x + 1 6x x x x 5 15x + 3x x 5x + 5 x + 1 Elevamos o coeficiente e a parte literal à potência. Exemplos: (5x) 5 x 5x ( 3a b 3 ) ( 3) a 4 b 6 9a 4 b Agora, calcule as potências. a) (7x) 49x 30

31 b) (3x ) 9x 4 9. Raiz quadrada de monômios c) (a) 3 8a 3 Vamos determinar a raiz quadrada do monômio 9x 10. 9x 10 9 x 10 (separamos em duas raízes: o coeficiente e a parte literal) d) (8y 5 ) 64y 10 3 x 10 3x 5 (multiplicamos o coeficiente pela parte literal) e) (10xy 3 ) 100x y Determine a raiz quadrada destes monômios. f) ( 5a 3 ) 5a 6 a) 5a 4 5a g) ( x 5 ) 3 8x 15 b) 4x x h) (3x y 3 ) 3 7x 6 y 9 c) 16m 4m d) 5x 6 5x 3 i) ( 9mn ) 81m n 4 e) 36x 4 y 6x y j) (7x y 3 z) 49x 4 y 6 z f) 81a b 8 9ab 4 k) ( xy 5 ) 4x y 10 g) 9x y 3xy l) ( 3a 5 b) 3 7a 15 b 3 h) 64a b 4 c 8 8ab c 4 31

32 15. Desenvolva as expressões e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto. 1) (8x 3 ) + ( 3x 3 ) a) 5x 6 c) 5x 3 b) 11x 3 d) 11x 6 8x 3 3x 3 5x 3 6) 7x y 3 (x 3 xy) a) 14x 5 y 3 7x y 3 c) 14x 5 y 3 7x 3 y 4 b) 14x 5 y 3 xy d) 14x 5 y 6 x 3 y 4 7) (4x 3) (x + 5) a) 8x + 14x 15 c) 8x 14x + 8 b) 8x + 6x + 15 d) 8x 8x x + 0x 6x 15 8x + 14x 15 ) (x + 7x + 5) + ( 3x 5x + ) a) x + x + 7 c) x + 1x + 7 b) 3x + x + 7 d) 3x + 1x + 7 x + 7x + 5 3x 5x + x + x + 7 8) (x + x) ( x + 3) a) x 3 + 3x + 3x c) x + x + 3 b) x 3 x + 3 d) x 3 + x + 3x x 3 + 3x x + 3x x 3 + x + 3x 3) (7x 5x ) ( x + 3x 4) a) 5x 8x + c) 5x x + b) 9x x 6 d) 9x 8x + 7x 5x + x 3x + 4 9x 8x + 4) (x + 8x) (3x 5) + (x 7x + 7) a) x 10x + 13 c) 5x + 14 b) 3x x + 1 d) 4x + 9x x + 8x 3x x 7x + 7 3x x + 1 5) ( x 3 y ) ( 5xy 3 ) a) 10x 3 y 5 c) 7x y 3 b) 10x 4 y 5 d) 10x y 9) (3x 5 y z) (4xy ) a) 8x 5 yz c) 8x 4 z b) 8x 4 yz d) 8x 5 yz 10) (45m 4 n 9mn) (9mn) a) 5m 4 n 9 c) 5m 3 n b) 5m 3 n 1 d) 5m 3 n 9mn 11) (x 9x + 14) (x ) a) x + 5 c) x 14 b) x + d) x 7 x 9x + 14 x x + x x 7 7x x

33 1) (x 6x + 9) (x 3) a) x 3 c) 3x 3 b) x + 3 d) x 3 x 6x + 9 x 3 x + 3x x 3 3x x ) ( 3a b) 3 a) 7a 6 b 3 c) 7a b 3 b) 9a 6 b 3 d) 9a 8 b ( 3) 3 a 6 b 3 7a 6 b 3 16) 100x y 4 a) 50xy c) 10y b) 10xy d) 10x y 4 13) (6x 3 9x 33x + 18) (x 7x + 3) a) 3x + 6x c) 3x + 1 b) 3x + 6 d) 3x 6x 6x 3 9x 33x + 19 x 7x + 3 6x 3 + 1x 9x 3x + 6 1x 4x x + 4x ) 9 4 a8 b a) 3 4 a4 c) 3 a4 b b) 9 a4 b d) 3 a4 14) ( 9x 3 y ) a) 18x 6 y 4 c) 81x 6 y 4 b) 81x 6 y 4 d) 18x 6 y 4 ( 9) x 6 y 4 81x 6 y 4 33

34 CAPÍTULO 6 PRODUTOS NOTÁVEIS 1. O quadrado da soma de dois termos (a + b) 1. Complete. a) (x + y) (x) + x y + y Para determinar o quadrado da soma de dois termos (a + b)², considere um quadrado de lado a + b. 4x + 4xy + y a b b) (a + 3) b b a + a a + 6a + 9 a a c) (a + 4b) a A área desse quadrado é dada pelo produto da medida de seus lados. b a + a 4b + (4b) a + 8ab + 16b Área (a + b) (a + b) a b b ab b b d) (x + 3y) (x) + x 3y + (3y) 4x + 1xy + 9y a a ab a a Somando as áreas parciais dos quadriláteros que formam o quadrado, obtemos a seguinte expressão: Área a + (ab) + b Logo, podemos concluir que: (a + b) a + ab + b b. Desenvolva os produtos notáveis. a) (x + y) x + xy + y b) (a + 5) a + 10a

35 c) (1 + m) 1 + m + m. O quadrado da diferença de dois termos (a b) d) (x + ) x + 4x + 4 O quadrado da diferença de dois termos resulta na seguinte expressão: (a b)² a² ab + b² e) (3x + 1) 9x + 6x Desenvolva os produtos notáveis. a) (x 3) x 6x + 9 f) (y + 3) 4y + 1y + 9 b) (a 4) a 8a + 16 g) (a + 3b) a + 6ab + 9b c) (5 y) 5 10y + y d) (m 6) m 1m + 36 h) (4x + 3y) 16x + 4xy + 9y e) (x 3) 4x 1x + 9 i) (a + 7) a a + 49 f) (a 4b) a 8ab + 16b j) (4 + x ) x + x 4 g) (5x 3) 5x 30x + 9 h) (3a b) 9a 1ab + 4b 35

36 i) (x y ) x 4 x y + y 4 h) (a + 3b ) (a 3b ) 4a 9b 4 j) (a 10) a 4 0a i) (5m 7n) (5m + 7n) 5m 49n 3. O produto da soma pela diferença de dois termos (a + b) (a b) a b j) (1 8a ) (1 + 8a ) 1 64a 4 5. Desenvolva os produtos notáveis. a) (x + 6) x + 1x + 36 quadrado do 1 o termo quadrado do o termo 4. Desenvolva os produtos da soma b) (x 9) x 18x + 81 pela diferença. a) (x + 3) (x 3) x 9 c) (x + 5) (x 5) x 5 b) (a + 1) (a 1) a 1 d) (a 5) 4a 0a + 5 c) (5 + y) (5 y) 5 y e) (7y + 1) 49y + 14y + 1 d) (m ) (m + ) m 4 e) (x + 3) (x 3) 4x 9 f) (b + a) (b a) b a f) (x 10y) (x + 10y) x 100y g) (3m n) 9m 6mn + n g) (x + 1) (x 1) x

37 6. Assinale a alternativa correta. 1) (x + 6) é igual a: a) x + 36 b) x 36 c) x + 1x + 36 d) x + 6x ) (3y + x) (3y x) é igual a: a) 9y 4x b) 3y x c) 9y + 4x d) 9y x (3y) (x) 9y 4x x + x x + 1x ) (9m 7a) (9m + 7a) é igual a: ) (x 8) é igual a: a) x + 8x +16 b) x 64 c) x 16 d) x 16x + 64 a) 18m 14a b) 81m 49a c) 18m + 14a d) 81m + 49a (9m) (7a) 81m 49a x x x 16x ) (m 4) é igual a: 3) (x 1) (x + 1) é igual a: a) x 1 b) 4x 1 c) 4x a) 4m 16m + 16 b) 4m 8m + 16 c) 4m + 16 d) 4m 16 d) x + 1 (x) 1 4x 1 37

38 Capítulo 7 Fatoração 1. Fator comum em evidência g) a b + a a ( ab + 1 ) h) ab + 4ac a ( b + c ) Exemplo 1 4x + 6y 8z O fator comum é, que se determina pelo m.d.c. de 4, 6 e 8. 4x + 6y 8z (x + 3y 4z) Atenção: Divide-se cada termo pelo fator em evidência. Exemplo A figura representa um retângulo de base b e altura h. i) 8x + 1x 4x ( x + 3 ) j) 3y 6y 3 x + 9y 3y ( y y x + 3 ). Fatore. a) x + y (x + y) b) 5x + 7x x (5x + 7) h c) 8m 4m m (4m ) b O perímetro desse retângulo pode ser indicado de duas maneiras: b + h ou (b + h) d) 9ax 5ay a (9x 5y) polinômio forma fatorada do polinômio e) x 3 4x + 10x x (x x + 5) f) a 5 a 4 + a a (a 3 a + 1) 1. Complete as igualdades de modo que o fator comum esteja evidenciado. g) 6x + 3x 1 3 (x + x 4) a) ab + ac a (b + c ) b) 5x + 5y 5 (x + y) h) 4xy + 8xz + 1x 4x (y + z + 3) c) mx + my mz m (x + y z ) d) 3a (a + 1) i) 10am 15bm + 0cm 5m (a 3b + 4c) e) x 4 + x 3 + x x ( x + x + 1) f) x + 4y + 6z ( x + y + 3z ) j) x 3 y x 4 y 5 + x y 3 x y (x x y 3 + y) 38

39 . Fatoração por agrupamento 3. Diferença de dois quadrados Fatores comuns a e b Fator comum (x + y) ax + ay + bx + by a (x + y) + b (x + y) (x + y) (a + b) x 16 x x 16 4 x 16 (x + 4) (x 4) 4. Fatore. a) x y (x + y) (x y) 3. Fatore as expressões. a) am + na + bm + bn a (m + n) + b (m + n) (m + m) (a + b) b) a 36 (a + 6) (a 6) c) m 1 (m + 1) (m 1) b) xy yz + wx wz y (x z) + w (x z) (x z) (y + w) d) 4x 9 (x + 3) (x 3) c) ax + bx + ay + by x (a + b) + y (a + b) (a + b) (x + y) e) 100 y (10 + y) (10 y) f) 5x 4 (5x + ) (5x ) d) 5ab + ac + 5bd + cd a (5b + c) + d (5b + c) (5b + c) (a + d) g) 9a 16b (3a + 4b) (3a 4b) e) 7x + 7y + ax + ay 7 (x + y) + a (x + y) (x + y) (7 + a) (x + y) (7 + a) h) a 4 5 (a + 5) (a 5) i) 81x 4 4 (9x + ) (9x ) j) x y 1 (xy + 1) (xy 1) 39

40 4. trinômio quadrado perfeito Um trinômio é a expressão matemática composta por três termos. Um trinômio é quadrado perfeito quando há dois termos quadrados perfeitos (raiz quadrada exata), e o terceiro termo igual a duas vezes o produto das raízes quadradas dos outros dois, podendo ser positivo ou negativo. Exemplo: a + ab + b a e b são quadrados perfeitos. a a b b a b ab (termo do meio) Logo: a + ab + b é um trinômio quadrado perfeito. c) 9x + 1x + 4 9x 3x 4 3x 1x 9x + 1x + 4 (3x + ) É um trinômio quadrado perfeito. d) 5x + 0x + 1 5x 5x 1 1 5x 1 10x 0x Não é um trinômio quadrado perfeito. e) x + 14x + 36 x x 36 6 x 6 1x 14x Não é um trinômio quadrado perfeito. 5. Verifique se são trinômios quadrados perfeitos. a) x + 6x + 9 x x 9 3 x 3 6x x + 6x + 9 (x + 3) É um trinômio quadrado perfeito. b) x 10x + 5 x x 5 5 x 5 10x x 10x + 5 (x 5) É um trinômio quadrado perfeito. f) a 4ab + 4b a a 4b b a b 4ab a 4ab + 4b (a b) É um trinômio quadrado perfeito. g) 16x + 1x x 4x 0? (não é raiz quadrada exata) Não é um trinômio quadrado perfeito. h) x + 8x 4 x x 4? (não é número real) Não é um trinômio quadrado perfeito. 40

41 Fatoração de um trinômio quadrado perfeito Fatore os trinômios quadrados perfeitos: a) x + 10x + 5 d) a 0a a a a 10 0a a 0a (a 10) x x 5 5 x 5 10x (termo do meio) x 10x + 5 (x 5) b) 4x 1x + 9 e) 1 + x + x 1 1 x x 1 x x 1 + x + x (1 + x) 4x x 9 3 x 3 1x (termo do meio) 4x 1x + 9 (x 3) 6. Fatore os trinômios quadrados perfeitos. a) 4x + 1x x x 9 3 x 3 1x 4x + 1x + 9 (x + 3) b) x 14x + 49 x x 49 7 x 7 14x x 14x + 49 (x 7) c) y + y + 1 y y 1 1 y 1 y y + y + 1 (y + 1) f) m 1m + 36 m m 36 6 m 6 1m m 1m + 36 (m 6) g) 9x + 1x + 4 9x 3x 4 3x 1x 9x + 1x + 4 (3x + ) h) 4m 0m + 5 4m m 5 5 m 5 0m 4m 0m + 5 (m 5) i) x 18x + 81 x x 81 9 x 9 18x x 18x + 81 (x 9) 41

42 j) 16y 8y y 4y 1 1 4y 1 8y 16y 8y + 1 (4y 1) e) 9x 100 (3x + 10) (3x 10) f) x 5x x (x 5) k) 9x + 36xy + 36y 9x 3x 36y 6y 3x 6y 36xy 9x + 36xy + 36y (3x + 6y) g) a 9b (a + 3b) (a 3b) l) 5a + 60ab + 36b 5a 5a 36b 6b 5a 6b 60ab 5a + 60ab + 36b (5a + 6b) h) x 8x + 16 x x 16 4 x 4 8x x 8x + 16 (x 4) 7. Fatore as expressões. a) 3a + 6b 3 (a + b) i) a + a + 1 a a 1 1 a 1 a a + a + 1 (a + 1) b) x y + xz x (xy + z) j) y 16y + 64 (y 8) y y 64 8 y 8 16y c) 15m 5m 5m (3 m) d) x 36 (x + 6) (x 6) k) 9x + 4x + 16 (3x + 4) 9x 3x x 4 4x 4

43 l) 5 b 5 b (5 + b) (5 b) m) ay + by + a + b y (a + b) + (a + b) (a + b) (y + ) n) 3y xy + x 3 (y + 1) + x (y + 1) (y + 1) (3 + x) o) x 3 + x + x x (x + x + 1) p) 4x + 0xy + 5y 4x x 5y 5y x 5y 0xy 4x + 0xy + 5y (x + 5y) 43

44 Capítulo 8 mdc e mmc de polinômios 1. máximo divisor comum (mdc) 1. Calcule o mdc dos polinômios seguintes. a) 6x e 1 6x 3 x 44 Para determinar o mdc de dois ou mais polinômios, primeiro escrevemos cada polinômio como um produto de fatores primos. Depois, observamos quais são os fatores comuns. O mdc é o produto desses fatores, escritos com o menor expoente. Exemplos: Vamos determinar o mdc destes polinômios: 1) 4x y 5 6x 3 y 3 a 10x y 4 b 4x y 5 x y 3 y 6x 3 y 3 a 3 x x y 3 a 10x y 4 b 5 x y y 3 b Polinômios escritos como um produto de fatores primos Logo, o mdc desses polinômios é x y 3, que corresponde ao produto dos fatores comuns tomados com os menores expoentes. ) x y e x + xy + y Escrevendo esses polinômios como produto de fatores primos: x y (x + y) (x y) x + xy + y (x + y) (x + y) (x + y) Assim, o mdc desses polinômios é (x + y). Atenção! Se o mdc de dois ou mais polinômios é 1, então esses polinômios são primos entre si. 1 3 mdc (6x, 1) 3 6 b) 3x 8 y 3 e 9xy 3x 8 y 3 3x x 7 y a y 9xy 3 3xy mdc (3x 8 y 3, 9xy ) 3xy c) 4x 7 e x 8 4x 7 x 7 x 8 x 7 x mdc (4x 7, x 8 ) x 7 d) 3a + 3b e a + ab + b 3a + 3b 3(a + b) a + ab + b (a + b) (a + b) mdc (3a + 3b, a + ab + b ) a + b e) 3x 6 e x 4 3x 6 3x 3 3(x ) x 4 x (x + ) (x ) mdc (3x 6, x 4) x f) a b e a + b a b (a + b)(a b) a + b (a + b) mdc (a b, a + b) a + b

45 g) 9x e 3x 3 y 9x 3 3x 3x 3 y 3x x y mdc (9x, 3x 3 y ) 3x h) 5 a e 5 10a + a 5 a 5 a (5 + a)(5 a) 5 10a + a (5 a) (5 a)(5 a) mdc (5 a, 5 10a +a ) 5 a. mínimo múltiplo comum (mmc) Para determinar o mmc de dois ou mais polinômios, primeiro escrevemos cada polinômio como um produto de fatores primos. Em seguida, tomamos de cada fator (comum e não comum) a maior potência e efetuamos o produto entre esses fatores.. Determine o mmc dos seguintes polinômios. a) 4 e 1a 4 1a 3 a 3 a mmc (4, 1a) 3 a 1a b) 6x e 9x 6x 3 x 9x 3 3 x 3 x mmc (6x e 9x) 3 x 18x c) 5x e 10x 5x 5x 10x 5 x mmc (5x, 10x) 5 x 10x d) x 3 e x mmc (x 3, x ) x 3 e) 5x e 7y mmc (5x, 7y) 7y 5x 35xy Exemplos: a) 8x y 3 e 6x 3 y z mmc 4x 3 y 3 z Veja: (coeficiente do mmc) b) x 16 e x + 8 mmc (x 4)(x + 4) Veja: x 16 (x +4)(x 4) x + 8 (x + 4) Fator comum: x + 4 Fatores não comuns: e (x 4) mmc (x 4)(x + 4) f) 3xy e xy mmc (3xy, xy ) 3xy g) 4a b e a 3 4a b a b a 3 a 3 mmc (4a b, a 3 ) a 3 b 4a 3 b 45

46 h) 3x y 4 e 9x 3 y 3x y 4 3x y 4 9x 3 y 3 x 3 y mmc (3x y 4, 9x 3 y ) 3 x 3 y 4 9x 3 y 4 i) 6x y e 4xz 4 6x y 3 x y 4xz 4 3 3xz 4 mmc (6x y, 4xz 4 ) 3 3x z 4 4x z 4 j) 5x, 10xy e x 3 z 5x 5x 10xy 5xy x 3 z x 3 z mmc 5x 3 y z mmc (5x, 10xy, x 3 z) 10x 3 y z k) x e x + 3 mmc (x, x + 3) x(x + 3) mmc (x, x + 3) x + 6x n) x a e x + a x a (x + a)(x a) x + a (x + a) mmc (x a, x + a) (x + a)(x a) o) m n e m n m n (m n) m n (m + n)(m n) mmc (m n, m n ) (m + n)(m n) p) x 36 e x + 6 x 36 x 6 (x + 6)(x 6) x + 6 (x + 6) mmc (x 36, x + 6) (x + 6)(x 6) q) x 4 e 3x + 6 x 4 x (x + )(x ) 3x + 6 3(x + ) mmc (x 4, 3x + 6) (x + )(x ) 3 r) x 1 e x x + 1 x 1 x 1 (x + 1)(x 1) l) 3x e 3x + 9 3x 3 x 3x (x + 3) mmc (3x, 3x + 9) 3(x + 3) x mmc (3x, 3x + 9) 3x(x + 3) m) x + 8 e x + 1 x x + 1 (x 1) (x 1)(x 1) mmc (x 1, x x + 1) (x 1) (x + 1) s) x 8x + 16 e x 8 x 8x + 16 (x 4) x 8 (x 4) mmc (x 8x + 16, x 8) (x 4) mmc (x + 8, x + 1) (x + 8) (x + 1) 46

47 Capítulo 9 Frações algébricas 1. simplificação de frações algébricas Qual é a forma mais simples de se ab escrever a fração a a? ab a a 1. Simplifique as frações algébricas, supondo denominador diferente de zero. a) 6a b 4a ab a (a 1) b a 1 colocando o fator comum em evidência técnica do cancelamento b) 7a 4 b 3 ab 7 a a 3 b b ab c) 4a + 8b 4 4 (a + b) 4 d) x 49 x + 7 (x + 7) (x 7) x + 7 a + b x 7 7a 3 b 3 a a b a 3ab e) 5x + 10 x 4 b) 9x 3 3x 5 (x + ) (x + ) (x ) 5 x 3 3 x x x 3 x. Simplifique. a) 16x 5 8x 3 3x f) a b a b (a + b) (a b) a b a + b 8 x 3 x 8 x 3 x 47

48 g) 5a x 15ay 5 a a x 3 5 a y ax 3y l) 15xy mn 5 5x 3 ymn x y y m n n n n n 5 5 x x x y m n n n 3yn 5x h) 0am 8mn 5 a m m m n 5am n Simplifique as frações supondo os denominadores diferentes de zero: a) x 5 x + 5 (x + 5) (x 5) (x + 5) x 5 b) a + ab + b 3a + 3b (a + b) 3 (a + b) i) 4a 5 bc 16ab c (a + b) (a + b) 3 (a + b) a + b 3 3 a a b c a b b c c 3a bc 3. Simplifique as frações algébricas. a) x 4 x + 3 (x + ) (x ) (x + ) x j) 18a 5 b 3 c 1a 3 b 4 c 3 3 a a a a a b b b c c 3 a a a b b b b c b) x 9 x 3 (x + 3) (x 3) (x 3) x + 3 3a c b c) x + 6 x 36 (x + 6) (x + 6) (x 6) 1 x 6 k) x 3 y z 7ax z 3 x x x y y z 7 a x x z z z xy 7az d) x 4 a (x ) a x a 48

49 e) 5y x 5 (y + ) 10x y + x l) x + 5x x + 5 x (x + 5) (x + 5) x f) a b 5a 5b (a b) 5 (a b) 5 m) x 3x x 6 x (x 3) (x 3) x g) a ab a b a (a b) (a + b) (a b) a a + b n) x + 4x x 16 x (x + 4) (x + 4) (x 4) x x 4 h) a 5 a + 5 (a + 5) (a 5) (a + 5) a 5 o) 5x 5 x x (x 1) (x 1) 5 x 1 i) m + m + 1 m + 1 (m + 1) m + 1 p) 4x + 8 x + 4x (x + ) (x + ) 4 x + (m + 1) (m + 1) m + 1 m + 1 j) x + x + y 3x + 3y (x + y) 3 (x + y) x + y 3 q) a + 6a + 9 a 9 (a + 3) (a + 3) ( a 3) a + 3 a 3 k) 9 a 9 + 3a (3 + a) (3 a) 3 (3 + a) 3 a 3 r) x + 6y x + 6xy + 9y (x + 3y) (x + 3y) x + 3y 49

50 s) 3a 6b a b 3 (a b) a b 3 4. Escreva a fração algébrica que representa o perímetro das figuras. a) 5x t) m n (m + n) (m n) m + n m mn + n (m n) m n x x 5x x + 5x + x + 5x 14x. adição e subtração de frações algébricas Com denominadores iguais Adicionamos algebricamente os numeradores e conservamos o denominador comum. Se possível, simplificamos a fração obtida. b) 5x 7x 7x 5x + 7x + 5x + 7x 4x 1x 5x Exemplo: Escreva a fração algébrica que representa o perímetro deste trapézio em metros. As letras representam números reais. c) 5x 13x 5x x x b b 3x b 7x 3x 4x b 5x + 13x + 5x + 3x + 7x 33x x b + x b + 3x b + 4x b 10x b 50

51 c) 3x 5 13x 5 h) 5a b a a b a + 1 a b a + 1 7a b a + 1 5x 5 i) 3y + + y 3 5 x 3 x 3 x 4y x 3 7x 5 3x 5 3x x 5 + 5x 5 + 3x 5 + 7x 5 31x 5 Com denominadores diferentes Basta reduzir as frações algébricas ao mesmo denominador, com o auxílio do mmc. Exemplo: 5. Efetue as operações. a) x a + 5x a 6x a 3x a 8x 3 + 4x 5 40x + 1x 15 5x 15 b) 9b c + 5b c 14b c 6. Efetue as operações. a) 5 3x + 7 4x x 41 1x c) 3xy a + 8xy a 11xy a b) y 5a y a y 10y 5a 9y 5a d) 7mn y 3mn y 4mn y c) 4 3x + a y 8y + 3ax 6xy e) x + 3x + x + 5 3x 3x + 7 x d) a y + 3 xy ax + 6 xy f) 4a + 3 7b a 7b a + 3 7b e) 7 x + 3 x 1 x g) 1xy ab 3xy ab + 4xy ab 13xy ab 14x + 6 x x 13x + 6 x 51

52 f) 5 3x 1 6x + 3 4x 0x + 9x 1x 9x 1x g) 3m b + m 3b + m b 9m + 4m + 6m 6b h) x y 3x y + 5x y 19m 6b 3. Multiplicação de frações algébricas Na multiplicação de frações algébricas multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si e, quando possível, simplificamos a fração final. Exemplo: Escreva a fração algébrica que representa a área do seguinte retângulo. xy 6x + 5xy y 7xy 6x y a 7 i) a x 3a 5x + x 5ax 3ax x ax x 3b 5 a 7 3b 5 a 3b 7 5 6a b Escreva as frações algébricas que representam as áreas dos seguintes retângulos. a) x 5 b) 5x 3 ax 3 5y 7 5

53 8. Efetue as multiplicações. a) 3 x 5y 15y x b) 4x 3y 5x 1x y 10x 6xy 5 4. Divisão de frações algébricas Na divisão de frações algébricas, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda. Se possível, simplificamos o resultado. Exemplo: c) ab a 3 a b 6 a b 3 5x 3y 1y 5 5x 3y 5 1y 5x 36y 3 d) 7 a y a 14y 7y a a 9. Efetue as divisões. a) x 4 5x y x 4 y 5x xy 0 e) m a a5 m ma5 a m a3 m b) x 3 5y y x 3 7 5y 14x 15y f) 5x 7 x3 y 5x 5 14y c) 5 a a 5 a a 10 a g) a x + 4 x + 8 a a 3 d) 3m 5 5m 3a 3m 5 3a 5m 9a 5 h) 3y 4x y 3 x + 3y 9y 4x + 8x e) 8a 4x x 3b 8a 4x 3b x 4ab 6ab 4x x i) a 3 6a 5x ab3 4 1a4 b 3 60x a4 b 3 5x f) x y 7a 4xy3 a b x y 7a a b 4xy 3 x ya b 8axy 3 abx 14y g) m n x m x y m n x x y m mnxy 53

54 h) x a 3 x x a x 3 x 4x 3a d) 1 x 3 1 x 6 i) x + 3 4y x + 3 e) a 3 3 8a 9 b b 6 x + 3 x + 3 4y x 6x + 9 8y f) a 5 b a x 10 b 5 x 5 5. potenciação de frações algébricas g) m n m a 4 4 n 4a 8 Na potenciação de frações algébricas, elevamos o numerador e o denominador ao expoente que a fração está elevada. Atenção: na potência de uma potência, multiplicamos os expoentes. Exemplos: 3x 4x 3 x 3 7x3 8 16x6 x 4 h) x 3 y x 3a b 6 y 3 7a 6 b 3 i) y 1 3 (y 1) y y y y Calcule: a) 5 y 5 y b) 4a 16a 4 b 3 b 6 c) a 3 b c a 7 6 b 4 c 49 j) x + 5 (x + 5) x (x ) x + x x x + x + 10x + 5 x 4x

55 k) m n 9 (m n) m m n + n 9 81 m mn + n 81 d) 1 a 3 a + 5 a 3 a e) 5 x 3 x + 4 3x x 5 6x l) a x (a x) x + 1 (x + 1) a 4 x (x) + x a 4 x 4x 4x + 1 f) x + 4x x (x + ) (x + ) 4x x expressões com frações algébricas g) 1 6a + 3 a 1 + 9a 6a Exemplo: 7 x x 4 14 (x + ) 4 1 x 4 h) a + 3 a 3 (3 a) + (3 + a) (3 + a) (3 a) 9 3a a 9 a 15 a 9 a 11. Efetue. a) y 5 + 8y 5 + 3y 5 13y 5 i) 3 x + 1 x 3 (x ) (x + ) (x + ) (x ) b) 4a b a b 3a b 3x 6 x x 4 x 8 x 4 c) 3a + 5a 3 9a + 10a 6 19a 6 j) 3a + 5 6a 4 a 4a + 5 4a 6a 5 0a 6a 55

56 k) 6 x + y 5 3 x c) 7a b 1a 16b 60 + xy 15 10x 45 + xy 10x l) y x x y d) a a 4 a + 6 5a 0 6y 3x + xy 6xy m) x e) 3 m m 1 5 m 30m 1m (x + ) + 1 (x + ) 6 (x+ ) 8x x 6x + 1 7x + 6 6x + 1 f) x y 5y 4 x 0xy 4xy 5 n) 5 x x 4 10 (x + 1) 4 10 x 1 4 g) x 3 5 x 6x (x 3) 5 x 6 5 (x 3) (x 3) o) 3 5 x x (x 3) x 10 h) a + b a b 3 y 3 (a + b) y (a + b) (a b) 3 y (a b) 3 ay by 1. Calcule: a) 5x 4 3 y 15x 4y i) x 8 4x 10 x x 10x 3x 5x 16 b) 3a 5b 15b 45ab 9b a 5ba a j) 5 a 3 10 a 5 a 3 a 10 5a 10a 3 1 a 56

57 k) x+7 3 x + 4 x x +14 x + 4 3x + 1 l) mn 3 ab 3 m 3 n a 3 b mn3 a3 b ab 3 m 3 n n a b m m) x 4 3 x ay 1 a 3 y 6 n) 3mn 9m 5x n 4 5x 4 o) y 5 (y 5) 3a (3a) y y a y 10y + 5 9a 57

58 CAPÍTULO 10 EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS E LITERAIS 1. Equações fracionárias 1. Determine o domínio das seguintes equações, sendo R o conjunto universo. Equações fracionárias são aquelas em que a incógnita aparece no denominador da fração. Chamamos de U (conjunto universo) o conjunto de todos os valores que a incógnita pode assumir. Chamamos de S (conjunto-solução) o conjunto dos valores de U que satisfazem a inequação. Domínio Lembre-se de que o denominador de uma fração é sempre diferente de zero. Assim, retirando os valores que tornam a equação impossível, obtemos o conjunto denominado domínio da equação (D). a) x x 0 D R { 0 } b) 3 x x 0 x 0 x 0 D R { 0 } c) 3 x x 0 x D R { } 58 Exemplo: Sabendo que o perímetro deste retângulo é igual a 4 cm, calcule o valor de x. 1 x x x D R {0} x 4 5x x 0x 0x 16x 10 4x 10 x 10 4 x,5 cm d) 10 x + 1 5x 3 5 x 0 e 5x 0 x 0 D R { 0 } e) 9 x x + 4 x 5 0 x 5 e x x 4 D R { 5, 4 } f) 11 x x 1 4 x 6 0 x 6 x 6 x 3 e 3x 0 x 0 D R { 3,0 } g) 5 x x x x 4 x 4 x x x 9 D R {, 9 }

59 . Conjunto verdade c) x 4 6x D R { 0 } Chamamos de conjunto verdade (V) a solução da equação apresentada. Exemplo: x 1 D R { 0 } m.m.c. 4x 3x + 4 4x 4x 4x Cancelando os denominadores: 3x x 3x 4 x 4 x 4 x 4 Portanto, V { 4 }. x + 1 6x 4 6x x x 8 x 4 V { 4 } d) 4 x 5 x (x + 4) (x ) (x + 4) 5 (x ) (x ) (x + 4) 5x 10 4x x 4x x 6 V { 6 } D R {, 4 }. Dado o domínio das equações, determine seu conjunto verdade. a) x D R { 0 } x + 6 4x x x 3x 6 x V { } e) x x 1x x 6x 0 6x 1 x 0 x 8 x 8 V { 8 } f) x x 1 D R { 10 } D R { 3, 1 } b) 3 x + 7 x D R { 0 } x x x 10 x x 5 V { 5 } Regra prática: multiplique em cruz (x 1) 1 (x + 3) x x + 3 x 5 V { 5 } 59

60 g) 3x x x 1 (x + 1) 1x x x 1 x 1 10 V 1 10 D R 1 h) 1 x x 5 0 D R { 4,5 } x 5 (x + 4) (x 5) + (x + 4) (x + 4) (x 5) 0 (x + 4) (x 5) x 5 + x x 1 x 1 V 1 i) 5 x 3 + x x 9 5 (x + 3) + (x 3) (x 3) (x + 3) 5x x x x 7 x 1 V { 1 } 16 (x 3) (x + 3) D R { 3, 3 } 3. Equações literais Equações literais são caracterizadas pela existência de uma ou mais letras além da incógnita. Exemplo: 1) Apresente o conjunto verdade (V) das seguintes equações: a) x + 3a 8a x 8a 3a x 5a x 5a b) 5x + mx 7b x (5 + m) 7b x 7b 5 + m V 5a Para não anular o denominador, devemos ter 5 + m 0, ou seja, m 5: x 7b 5 + m ; m 5 3. Apresente o conjunto verdade (V) das equações. a) x + 3b 5b j) 5 x x 1 x 4 D R {, } x 5b 3b x b V { b } 5 (x ) + 3 (x + ) 1 (x + ) (x ) (x + ) (x ) 5x x x 16 x Como D, então: V b) 8a + 3x 11a 3x 11a 8a 3x 3a x 3a 3 x a V { a } 60

61 c) mx + b 10b mx 10b b mx 8b x 3b m V 8b m ; m 0 g) 3 (m + x) (x 3m) 3m + 3x x 6m 3x x 6m 3m x 9m V { 9 m } d) 5m + bx m bx m 5m bx 3m x 3m b V 3m b ; b 0 e) 3m + 3x 6m x 3x + x 6m 3m 5x 3m x 3m 5 V 3m 5 f) ax + m mx + 5a ax mx 5a m x (a m) 5a m x 5a m a m ; a m 0 V 5a m a m ; a m h) 3a + x 3mx + 9b x 3mx 9b 3a x ( 3m) 9b 3a x 9b 3a 3m ; 3m 0 V 3b 3a 3m ; m 3 i) x m x n 3 ; m 0 e n 0 nx + mx 3mn mn mn nx + mx 3mn x (n + m) 3mn x 3mn n + m ; n + m 0 V 3mn n + m ; m n 61

62 j) 5a x x 3 ; x 3; e x 3 5a (x 3) 7 (x + 3) 5ax 15a 7x + 1 5ax 7x a x (5a 7) a x 1+ 15a 5a 7 ; 5a 7 0 V a 5a 7 ; a 7 5 k) a x + b x 3 ; x ; e x 3 a (x 3) b (x + ) ax 3a bx + b ax bx b + 3a x (a b) b + 3a x b + 3a a b ; a b 0 V b + 3a a b ; a b l) x a + b x c (x a) + (b x) c 6 6 3x 3a + b x c x c + 3a b V {c + 3a b} 6

63 Capítulo 11 geometria 1. Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal r//s (reta r paralela à reta s) t (reta transversal) Ângulos alternos internos Dois ângulos alternos internos, formados por duas retas paralelas e uma transversal, são congruentes. c e d^ f^ c^ e^ Ângulos alternos externos Dois ângulos alternos externos, formados por duas retas paralelas e uma transversal, são congruentes. a^ g^ b^ h^ 63

64 1. Determine a medida dos ângulos assinalados, sem o auxílio do transferidor. a) c) x 150 x 30 b) d) y 30 y 150 Ângulos correspondentes Dois ângulos correspondentes, formados por duas retas paralelas e uma transversal, são congruentes. a^ e^ d^ h^ ^ b f^ c^ g^ Ângulos colaterais internos Dois ângulos colaterais internos, formados por duas retas paralelas e uma transversal, são suplementares, ou seja, sua soma vale 180. Ângulos colaterais externos Dois ângulos colaterais externos, formados por duas retas paralelas e uma transversal, são suplementares, ou seja, o valor de sua soma é de 180. d^ + e^ 180 c^ + f^ 180 a^ + h^ 180 b^ + g^

65 . Determine a medida dos ângulos d) assinalados, sem o auxílio do transferidor (r // s). a) y y y 100 x Determine a medida dos ângulos assinalados (r // s). a) b) y 10 a a a 70 c) b) x x x 110 x x x 60 65

66 4. Determine os valores das incógnitas, e) sabendo que r // s. a) a 80 b 80 a 130 b 130 x x x 70 f) b) a 150 b b 30 x + 50 x + 80 x x 30 a b g) c) a a 60 b 10 3x 40 + x x 00 x 50 a b d) h) a a a 80 x x 50 a a 110 b 70 66

67 5. Sendo r // s, calcule o valor de x: a) 6. Calcule x nas figuras abaixo, sendo r // s. a) 3x + 0 x + 50 x 50 0 x 30 x 60 b) b) x 30 4x x x 3x 10 x 10 c) c) x 160 3x + x x 160 x 40 d) d) 5x + 3x x 176 x x

68 7. Encontre o valor de x nas figuras abaixo, a) sendo r // s. Exemplo: Na figura, as retas r e s são paralelas. Quanto mede o ângulo x? b) x x 160 Observe que foi traçada pelo vértice de ^x uma reta t paralela às retas r e s; o ângulo ^x fica decomposto nos ângulos ^a e ^b: c) x x 50 O ângulo a é congruente ao ângulo de 60, pois são correspondentes. O ângulo b mede 40 pois é suplementar de 140. Como x a + b, então: x x 100. x x Determine o valor de x. Dica: trace retas paralelas a r e s, passando pelo vértice do ângulo x. a) d) 68 x x 5 a 30 b b 0 Logo: x a + b x 50

69 b) d) b 30 a a 0 Logo: x a + b x 50 b 45 a a 60 Logo: x a + b x Determine o valor de x. c) Dica: trace retas paralelas a r e s, passando pelos vértices dos ângulos x e de 90. a) a 45 b b 60 Logo: x a + b x 105 Logo: x x 60 69

70 b). polígonos Os polígonos são nomeados de acordo com a quantidade de lados. Logo: x x 110 Número de lados Nome 3 triângulo 4 quadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9 eneágono 10 decágono 11 undecágono 1 dodecágono 15 pentadecágono 0 icoságono Número de diagonais de um polígono Para determinar o número de diagonais de um polígono usamos a seguinte fórmula: d n (n 3) d número de diagonais n número de lados Exemplo: vamos calcular o número de diagonais do hexágono. hexágono 6 lados (n 6) Em d n (n 3), substituindo n por 6 temos: d 6 (6 3) d O hexágono possui nove diagonais. 70

71 10. Calcule o número de diagonais de um: g) icoságono a) quadrilátero n 4 d 4 (4 3) d 4 1 n 0 d 0 (0 3) d 170 h) pentágono b) decágono n 10 d 10 (10 3) d n 5 d 5 (5 3) d c) dodecágono n 1 d 1 (1 3) d triângulo Soma das medidas dos ângulos internos d) heptágono n 7 d 7 (7 3) d 14 e) eneágono A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180. a + b + c 180 n 9 d 9 (9 3) d 7 f) triângulo; n 3 d 3 (3 3) O triângulo não apresenta diagonais. Exemplo: Vamos calcular o valor de x no triângulo. x x x 60 x 60 x 30 71

72 11. Calcule o valor de x em cada caso. e) a) 3x x x 40 x x x 60 f) b) x x x 60 x 30 x x x 100 g) c) x x x 70 h) x + x + x 180 3x 180 x 60 d) x + 3x + 4x 180 9x 180 x 0 x x x 40 i) x + x x x 70 x 35 7