Analise Matemática I. Tema I: Introdução Aula 6: Equações e inequações. Sistemas de equações.

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1 Analise Matemática I Tema I: Introdução Aula 6: Equações e inequações. Sistemas de equações. Ano académico 2017

2 Analise Matemática I Aula 06 Sistemas de duas equações lineares com dois variáveis. Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático Ano académico 2017

3 Sumário Definição de sistemas de duas equações lineares com dois variáveis. Métodos de solução Tipos de solução Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático

4 Bibliografia Autor Título Editorial Data Barnett, Ziegler y Byleen Pré-Cálculo, funciones y gráficas Mc.Graw-Hill 2000 Zuma Medeiros, Valéria Pré-Cálculo 2ª edição revista r atualizada CENGAGE Learning 2012 Demana Pré-Cálculo PEARSON Addison Wesley 2010 Stewart Pré-Cálculo CENGAGE Learning 5ta Edição

5 Aplicação dos sistemas de equações lineares São inúmeros os problemas de engenharia onde se recai na solução de um sistema de equações lineares. Como exemplos, podemos citar: O cálculo de esforços em problemas de estática; O cálculo de tensões e correntes em um circuito elétrico composto por elementos lineares; O balanço de massa em sistemas físicos lineares; A solução de equações diferenciais lineares por métodos numéricos como elementos finitos e diferenças finitas, etc.

6 Definição. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis Um sistema de duas equações lineares com dois variáveis é um conjunto de equações do tipo: Onde x e y são variáveis e a, b, c, d, h e k são constantes reais.

7 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis Uma solução de um sistema de duas equações lineares com duas variáveis é um par ordenado de números reais que satisfaz cada uma das equações.

8 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

9 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

10 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis Contudo, sabemos também que nem todos os sistemas lineares tem solução. Como por exemplo,

11 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

12 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

13 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

14 Solução. Método da substituição 1. Isolar uma variável: Escolher uma equação e isolar uma das variáveis. 2. Substituir: substitua a expressão que determinou no passo 1 na outra equação para obter uma equação com uma variável. Logo resolva-a para obter o valor dessa variável. 3. Substituir na equação da variável isolada. Substitua o valor que encontrou no passo 2 na expressão que encontrou no passo 1 para determinar a variável que falta. Calcule as soluções do sistema:

15 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis. Suporte gráfico Calcule as soluções do sistema:

16 Solução. Método do cancelamento 1. Ajustar os coeficientes: Multiplica-se uma ou mais das equações por quantidades adequadas de modo que o coeficiente de uma variável de uma equação seja o negativo de seu coeficiente na outra equação. 2. Adicionar as equações: Adicionam-se as duas equações para eliminar uma variável, logo resolve para determinar o valor da variável restante. 3. Substituir: Substitui-se o valor que determinou no passo 2 em uma das equações originais, e resolve-se para determinar o valor da variável restante.

17 Método do cancelamento. Exemplo Calcule as soluções do sistema: ***** As soluções são independentes do método

18 Método de Cramer Gabriel Cramer (31 de Julho de de janeiro de 1752) foi um matemático suizo nascido em Ginebra. O MÉTODO DE CRAMER É UTILIZADO NA PROCURA DE SOLUÇÕES A SISTEMAS DE EQUAÇÕES COM N EQUAÇÕES E N VARIÁVEIS. O método consiste em representar os coeficientes de cada variável de todas as equações em forma de matrizes e calculam-se discriminantes da seguinte forma: ***** As soluções são independentes do método

19 Método de Cramer. Exemplo PARA UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS Sistema: Representação Matricial: Solução:

20 Método de Cramer. Exemplo PARA UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS Sistema: Representação Matricial: Solução:

21 Método de Cramer. Exemplo PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS Sistema: Representação Matricial: Solução:

22 Método de Cramer. Exemplo Calcular um discriminante de 3x3: =(j.e.i + b.f.l + k.h.c) (l.e.c + k.b.i + h.f.j)

23 Método de Cramer. Exemplo PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS

24 Método de Cramer. Exemplo PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS

25 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis. Classificação De acordo com sua conjunto solução, os sistemas lineares podem ser de três tipos: Compatíveis Determinados: Quando possuem apenas uma solução. Indetermináveis: Quando possuem infinitas soluções. Incompatíveis: Quando não possuem nenhuma solução.

26 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis. Exemplo 1 Calcule as soluções do sistema: *****O sistema neste caso não tem solução e podemos dizer que é incompatível

27 Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis. Exemplo 1 Calcule as soluções do sistema:

28 Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático A x + 3y = 7 5x 2 4y = 5,3 B * x + 3y = 7 x y = 40 C x + 3y = 7 5x 2 4xy = 5,3 x 2 + 3y 2 D 5x 2 4y 2 = 7 = 5,3

29 Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático. Soluções. Exemplo 2 Aplican-se os mesmos métodos que nos sistemas de duas equações lineares com dois variáveis. Exemplo:

30 Exemplo: Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático. Soluções. Exemplo 2

31 Exemplo: Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático. Soluções. Exemplo 2

32 Solução. S.2.E.L com dois variáveis. Suporte gráfico. Exemplo 2 (7;43) (43;7)

33 Historia Os babilônios estudavam problemas que conduziam a equações, há muitos anos. Um exemplo disso foi encontrado em um bloco de barro que data cerca de 300 a. C., contendo o seguinte problema: Dois campos tem área total de 1800 jardas quadradas. Um produz grãos em 2/3 de um alqueire por jarda quadrada, enquanto o outro produz grãos em 1/2 de um alqueire por jarda quadrada. Se o lucro total é de 1100 alqueires. Qual o tamanho de cada campo?

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