Análise de Sinais e Sistemas

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1 Universidade Federal da Paraíba Departamento de Engenharia Elétrica Análise de Sinais e Sistemas Luciana Ribeiro Veloso luciana.veloso@dee.ufcg.edu.br

2 ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS Ementa: Sinais contínuos e discretos no tempo. Operações com sinais. Tipos e propriedades de sinais. Sistemas contínuos e discretos no tempo. Sistemas lineares invariantes no tempo. Sistemas representados por equações diferenciais e de diferença. Série e transformada de Fourier. Análise de Fourier para sinais e sistemas contínuos e discretos no tempo. Amostragem de sinais contínuos no tempo. Convolução contínua e discreta. Resposta de sistemas lineares. Aplicações de sistemas lineares. Transformada de Laplace. Transformada Z.

3 ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS Bibliografia: Sinais e sistemas A. V. Oppenhein.; A. S. Willsky and S. Hamid Pearson Prentice Hall, 2010 Sinais e Sistemas Lineares. B.P.Lathi, Bookman, 2ª. Edição, 2008.

4 ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS Unidades de ensino: 1. Introdução aos sinais e sistemas 2. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LIT) 3. Análise de Fourier para sinais e sistemas no tempo contínuo. 4. A Transformada de Laplace para sinais e sistemas no tempo contínuo 5. Análise de Fourier para sinais e sistemas no tempo discreto. 6. A Transformada Z para sinais e sistemas no tempo discreto

5 ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS Critério de avaliação A avaliação constará de três provas escritas, com duração de 2:00h. As unidades da avaliação escrita são: A primeira avaliação constará das unidades 1 e 2 (18/11/2014) A segunda avaliação constará das unidades 3 e 4 (18/12/2014) A terceira avaliação constará da unidade 5 e 6. Avaliação final constará de todo o assunto dado.

6 METODOLOGIA E TÉCNICAS DE ENSINO Aulas expositivas. Exercícios em sala de aula Professora Alunos (muito importante) 6

7 Questões??? 7

8 O QUE É UM SINAL? Imagem em PB representa a intensidade de luz em função de duas coordenadas espaciais Sinal de voz ou música representa a pressão do ar em função do tempo Vídeo é um sequência de imagens em função de 3 variáveis ( duas espaciais e o tempo)

9 O QUE É UM SINAL? Padrões de variações que representam uma informação. Grandezas físicas que variam no tempo, espaço, ou em função de qualquer outra variável independente. São representados matematicamente como função de uma ou mais variáveis independentes. 9

10 SINAIS Na Engenharia Elétrica os sinais são grandezas elétricas (tensão ou corrente) que variam em função da variável independente tempo. x ( t ) sin( t 0 )

11 TIPOS BÁSICOS DE SINAIS Sinal Contínuo x(t) Sinal na qual se pode medir seu valor em qualquer valor da variável t. Em outra linguagem: o sinal contínuo é aquele na qual sua variável independente é contínua, i.e., t. Ex: Média anual do perfil de vento vertical. t representa qualquer quantidade física, ex.: tempo em segundos

12 TIPOS BÁSICOS DE SINAIS Sinal Discreto x[n] Sinal na qual se pode medir seu valor apenas em alguns valores da variável n. Em outra linguagem: o sinal discreto é aquele na qual sua variável independente é discreta Ex: índice semanal Dow Jones da bolsa de Nova York n é um valor inteiro, representa instantes discretos de tempo

13 TIPOS BÁSICOS DE SINAIS Sinal de tempo discreto É importante observar que x[n] é definido apenas para valores inteiros de n. Não sendo correto pensar que x[n] é zero para valores não inteiros de n (por exemplo n = 1,5). x[n] não é definido para valores não inteiros de n. 13

14 TIPOS BÁSICOS DE SINAIS Sinal Analógico Sinal cujos possíveis valores assumidos são um subconjunto de (se real) ou de C (se complexo), i.e., x(t) ou x(t) C. Ex: temperatura ambiente medida de hora em hora Sinal Digital Sinal cujos possíveis valores assumidos são contáveis, ou pertencente a um conjunto finitos valores. Ex: uma sequencia de bits.

15 TIPOS BÁSICOS DE SINAIS SINAL CONTÍNUO definido para qualquer valor da variável independente SINAL DISCRETO definido somente para valores inteiros da variável independente. SINAL ANALÓGICO assume quaisquer valores dentro de uma faixa contínua de valores. SINAL DIGITAL assume um número finito de valores.

16 TIPOS BÁSICOS DE SINAIS a) c) d) a) Forma de onda analógica de tempo contínuo b) Forma de onda digital de tempo contínuo c) Forma de onda analógica de tempo discreto d) Forma de onda digital de tempo discreto

17 TAMANHO DO SINAL Como um sinal que existe em um certo intervalo de tempo com amplitude variante pode ser medido por um número que irá indicar o tamanho ou a força? Tamanho? Duração? 17

18 ENERGIA DE UM SINAL Para um sinal complexo x(t) E x = Para um sinal discreto x(t) 2 dt E x = x[n] 2 n= A energia do sinal deve ser finita para que seja uma medida significativa do tamanho do sinal 18

19 ENERGIA DO SINAL Uma condição necessária para que a energia seja finita, para o caso do sinal de tempo contínuo, é que a amplitude do sinal 0 quando t 0 19

20 POTÊNCIA DO SINAL Potência do sinal (energia média, rms raiz média quadrática) 1 P x = lim T T 1 P x = lim N N T/2 T/2 N/2 n= N/2 x(t) 2 dt x[n] 2 A média de um entidade ao longo de um grande intervalo de tempo aproximando do infinito existe se a entidade for periódica ou possuir regularidade estatística 20

21 SINAL DE ENERGIA, SINAL DE POTÊNCIA Sinal de energia Possui energia finita Sinal de potência Sinal com potência não nula e finita Ex.: Sinal de energia ou de potência? Nem de energia, nem de potência 21

22 O QUE É UM SISTEMA? Sistema é um dispositivo que produz um sinal de saída em resposta a um sinal aplicado em sua entrada por meio de um conjunto fixo de regras ou operações. Ex.: o circuito elétrico, responde a tensão e corrente aplicada Sinal de entrada x(t) ou x[n] Tipos de Sistemas: Sistemas de tempo contínuo Sistemas de tempo discreto Matematicamente Sistema uma operação T[.] y[n]=t[x[n]] Sinal de saída y(t) ou y[n]

23 EXEMPLOS DE SISTEMAS Microfones convertem pressão do ar em corrente elétrica e auto falantes convertem corrente elétrica em pressão do ar. Filtros seletivos em frequência permitem a passagem de algumas componentes em frequência e rejeitam as outras.

24 PARA QUE ESTUDAR SINAIS E SISTEMAS? Somos apresentados a um sistema e estamos interessados em saber com ele responde a uma dada entrada Como projetar um sistema de forma que ele processe o sinal de uma maneira particular Projetar um sistema para extrair informações específicas

25 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS Sinais são nada mais que funções e, como tal, podem ser manipulados : Soma e multiplicação de sinais Multiplicação e divisão por um escalar Escalonamento temporal; Reflexão temporal Deslocamento temporal;

26 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS Matemática Português t instante de tempo qualquer ou instante atual * t 2 t +2 dois segundos antes do instante atual dois segundos depois do instante atual -t Instante de tempo reverso t (t) s(t) s() s(t)=5 x(t) y(t) para todo instante de tempo calculado em um instante de tempo qualquer sinal s calculado em um instante qualquer de tempo o valor do meu sinal s calculado em um instante... ou o sinal s em... sinal s vale 5 ou sinal s para todo instante de tempo é 5 ou sinal é calculado como 5 entrada de um sistema em um instante qualquer de tempo ou valor do sinal de entrada em um instante de tempo qualquer. saída de um sistema em um instante qualquer de tempo valor do sinal de saída em um instante de tempo qualquer.

27 SOMA E MULTIPLICAÇÃO DE SINAIS As operações de soma e multiplicação consistem em adicionar ou multiplicar, os sinais envolvidos somando ou multiplicando os respectivos valores dos sinais, para cada valor da variável independente. 27

28 SOMA E MULTIPLICAÇÃO DE SINAIS Exemplo: x(t) = 2t e y(t) = 3t, Adição: g(t) = x(t) + y(t) = 2t + 3t = 5t Multiplicação: z t = x t y t = 2t 3t = 6t 2 28

29 SOMA E MULTIPLICAÇÃO DE SINAIS Exemplo: x(n) = 2n + 1 e y(n) = n Adição: g n = x n + y n = 2n n = 3n + 1 Multiplicação: z(n) = x(n) y(n) = (2n + 1) (n) = 2n 2 + n 29

30 SOMA E MULTIPLICAÇÃO DE SINAIS 30

31 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO POR UM ESCALAR Caso contínuo z t = 6t 2 v t = 1 12 z t = 1 2 t2 Caso Discreto z(n) = 2n 2 + n v n = 1 5 z n = 1 5 2n2 + n = 2 5 n n 31

32 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO POR ESCALAR 32

33 ESCALONAMENTO TEMPORAL Dado um sinal qualquer, x(t), a operação de escalonamento temporal está associada a compressão ou expansão de tal sinal, sendo representada por x(at), sendo a>0. a < 1 expansão do sinal a > 1 compactação do sinal

34 ESCALONAMENTO TEMPORAL Sinal expandido Sinal comprimido

35 ESCALONAMENTO TEMPORAL Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(2t). x(t) y(t)=x(2t) t

36 ESCALONAMENTO TEMPORAL Vejamos, agora, o que acontece com um sistema do tipo: y(t)=x(t/2). x(t) y(t)=x(t/2) t

37 ESCALONAMENTO TEMPORAL Em resumo, a operação do escalonamento pode ser colocada como:

38 ESCALONAMENTO TEMPORAL Para um sinal temporal, tal propriedade tem sua importância associada à velocidade com a qual o sinal se repete. Por exemplo, se considerar x(t) como a reprodução de uma fita cassete, x(2t) irá reproduzir o mesmo sinal na metade ou no dobro do tempo? Na metade

39 REFLEXÃO TEMPORAL Dado um sinal qualquer, x(t), a operação de reflexão temporal está associada ao reflexo do sinal com relação ao eixo da ordenada, gerando x(-t). x(-t) reflexão do sinal x(t).

40 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS Reflexão temporal

41 DESLOCAMENTO TEMPORAL Dado um sinal qualquer, x(t), a operação de deslocamento temporal está associada a adiantar ou atrasar tal sinal, sendo representada por x(t-a). a>0 deslocamento à direita, ou atraso do sinal. a<0 deslocamento à esquerda, ou adiantamento do sinal Sob o ponto de vista físico, observa-se que x(t) e x(t-a) possuem as mesmas características, entretanto os dois apresentam-se em instantes de tempo diferentes, um com relação ao outro.

42 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS Deslocamento temporal Sinal adiantado Sinal atrasado

43 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS: DESLOCAMENTO TEMPORAL Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(t-2). x(t) y(t)=x(t-2) t

44 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS: DESLOCAMENTO TEMPORAL Vejamos, agora, o que acontece com um sistema do tipo: y(t)=x(t+2). x(t) y(t)=x(t+2) t

45 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS: DESLOCAMENTO TEMPORAL Em resumo, a operação do deslocamento pode ser colocada como: Adiantado Atrasado

46 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS Ex: Dado o sinal abaixo, efetue as seguintes operações: x(t+1), x(-t+1), x(3t/2) e x(3t/2+1)

47 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS Ex: Dado o sinal abaixo, efetue as seguintes operações: x(t+1), x(-t+1), x(3t/2) e x(3t/2+1)

48 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS Ex: Dado o sinal abaixo, efetue as seguintes operações: x(t+1), x(-t+1), x(3t/2) e x(3t/2+1)

49 OPERAÇÕES SOBRE SINAIS Ex: Dado o sinal abaixo, efetue as seguintes operações: x(-t-2), x(-2t), x(-t+2), x(t/3-2), x(-2t +3), x(2(t +1)), x(-2(t+1)).