Aula 06 Representação de sistemas LIT: A soma de convolução

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1 Aula 06 Representação de sistemas LIT: A soma de convolução Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, 2a edição, Pearson, ISBN Páginas HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, ISBN Páginas Sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT) Os sistemas mais utilizados em quase todas as áreas da Engenharia são os sistemas lineares invariantes no tempo (abreviadamente, LIT ou LTI em inglês). O principal motivo para esta preferência é que este tipo de sistema fica totalmente caracterizado pela sua resposta ao impulso, ou seja, pela saída do sistema quando colocamos em sua entrada o sinal impulso unitário δ. Em outras palavras, caso conheça-se a resposta de um sistema LIT a uma entrada impulso, sabe-se calcular sua resposta para qualquer entrada. Veja, por exemplo, o exercício a seguir (Exercício 5 da Aula 5). Exercício 1. Um sistema linear e invariante no tempo tem a seguinte resposta à entrada x δ = (resposta ao impulso): Faça um esboço da saída deste sistema quando a entrada é: 1

2 (a) x = 3δ (b) x = δ [ n 2] (c) x = 2δ + 0,5δ [ n 1] Resumindo, como qualquer sinal x pode ser descrito como uma soma ponderada de impulsos, sendo o sistema LIT e conhecendo-se a resposta a um impulso, poderemos determinar a saída devida a qualquer entrada x. Se a entrada de um sistema linear for expressa como uma superposição ponderada de impulsos deslocados no tempo, a saída será uma superposição ponderada da resposta do sistema a cada impulso deslocado no tempo. Se o sistema for também invariante no tempo, a resposta do sistema a um impulso deslocado no tempo será uma versão deslocada no tempo da resposta do sistema a um impulso. Por isso, a saída de um sistema LIT é dada por uma superposição ponderada de respostas ao impulso deslocadas no tempo. Essa superposição é chamada de soma de convolução. Na aula de hoje analisa-se este fato e suas consequências em detalhes A soma de convolução Considere um sinal qualquer x. Sabe-se que x δ = x[ 0] δ Ou seja, a multiplicação de um sinal x por um impulso δ resulta num impulso de intensidade x[ ] δ 0. A figura seguinte ilustra este produto. Generalizando esta expressão pode-se dizer que x δ [ n k] = x[ k] δ [ n k] 2

3 Ou seja, a multiplicação de um sinal por um impulso deslocado no tempo resulta em um impulso deslocado no tempo com amplitude dada pelo valor no instante em que o impulso ocorre. Esta propriedade nos permite expressar x como a seguinte soma de impulsos deslocados no tempo: x = + x[ 2] δ [ n + 2] + x[ 1] δ [ n + 1] + x[ 0] δ + x[ 1] δ [ n 1] + x[ 2] δ [ n 2] + De forma mais concisa, pode-se escrever: k = [ k] δ [ n k] x = x (1) Exercícios 2. Escreva o sinal x da figura anterior como uma soma ponderada de impulsos. 3. Esboce o seguinte sinal s = 5 [ n + 2] + 2δ [ n + 1] + 1,5δ + δ [ n 1] δ. 3

4 Analisa-se agora a saída de um sistema LIT a uma entrada x descrita pela Eq. (1) acima. x[n] H [n] Chama-se de H o operador que representa a operação realizada por este sistema e de h a resposta deste sistema a um impulso, ou seja, h = H[ x[ n ] = H[ δ [ n ] Sendo assim, para uma entrada qualquer x pode-se escrever usando as Eqs. (1) e (2): (2) H[ x[ n ] = H x[ k] [ n k] = δ k = Levando-se em conta que o sistema é linear, pode-se aplicar a superposição e a homogeneidade para aplicar o operador a cada uma das parcelas da somatória. Obtemos assim: = H[ x[ k] δ [ n k ] = x[ k] H[ δ [ n k ] k = k = Utilizando agora o fato de que o sistema é invariante no tempo, temos que a resposta a um impulso atrasado de k amostras é a saída ao impulso atrasada de k amostras, ou seja, H[ δ [ n k ] = h[ n k] = x[ k] h[ n k] k =. Assim, conclui-se que:. (3) Desta forma vê-se realmente que a resposta de um sistema LIT qualquer é dada por uma soma ponderada da resposta ao impulso deslocada no tempo. Ou seja, ela é totalmente descrita pela entrada e pela resposta ao impulso. 4

5 A somatória da Eq. (3) é chamada de soma de convolução e representada pelo símbolo, ou seja, x n h n = k= x k h n k A Figura 1 a seguir do (HAYKIN; VAN VEEN, 2000) ilustra o processo de convolução. A Figura 1(a) descreve a resposta ao impulso de um sistema LIT arbitrário. Na Figura 1(b) a entrada é representada como uma soma de impulsos ponderados e deslocados no tempo x[ k] [ n k] sistema associada a cada pulso p k é v k p k = x[ k] h[ n k] = δ. A saída do Ou seja, v k é obtida deslocando-se, no tempo, a resposta ao impulso de k unidades e multiplicando-se por x [ k]. A saída em resposta à entrada x é obtida somando-se todas as sequências v k : = v k k = Assim, somamos para cada valor de n os valores ao longo do eixo k indicados no lado direito da Figura 1(b). 5

6 Figura 1 A soma de convolução (HAYKIN; VAN VEEN, 2000). 6

7 Exercício 4. (HAYKIN; VAN VEEN, 2000; p. 88) Suponha que um sistema H LIT tenha a resposta ao impulso: h 1, = 2 0, n = ± 1 n = 0 caso contrário Determine a resposta deste sistema em resposta à entrada x 2, 3, = 2, 0, n = 0 n = 1 n = 2 caso contrário No exercício acima, encontra-se todos os v k e depois soma-se para todos os valores de k para determinar-se. Esta abordagem é eficaz quando a entrada tem curta duração, de forma que somente um pequeno número de sinais v k precisa ser determinado. Quando a entrada tem uma duração longa, um número muito grande, possivelmente infinito de sinais v k precisa ser avaliado antes que possa ser encontrado. Uma abordagem mais interessante é olharmos novamente para a equação = x[ k] h[ n k] k= e imaginarmos que n está fixo. Desta forma, para calcular a saída num certo instante n 0 faz-se [ n ] = x[ k] h[ n0 k] = x[ k] h[ ( k n0 ] 0 ) (4) k = k = o que consiste em somar todos os elementos do sinal [ k] = x[ k] h[ ( k )], ou w n n 0 0 seja, do produto do sinal de entrada pela resposta ao impulso do sistema invertida no tempo e deslocada de n 0 unidades. 7

8 Os exercícios seguintes devem ilustrar este enfoque. Exercícios 5. Encontre a resposta nos instantes = 1 n e = 2 n para o sistema e para a entrada do Exercício 4 usando a abordagem discutida acima. 6. (HAYKIN; VAN VEEN, 2000; p. 91) Um sistema LIT tem resposta ao impulso: h 3 = 4 u Determine a saída do sistema nos instantes = 5 n quando a entrada for u x =. RESP: [ 5 ] = 0, [ 5 ] = 3, 288, [ 10 ] = 3, 831 n n, n = 5 e = Escreva uma fórmula para w n [ k] para o Exercício anterior e encontre RESP: w para todo n k n, 0 k n [ k] =, n, caso contrário = 4 0, n+ 1, n 0 caso contrário Este último exercício sugere que, em geral, pode-se determinar para todo n sem avaliar-se a Eq. (4) para um número infinito de deslocamentos distintos no tempo n. Isto é realizado identificando-se os intervalos de n nos quais w n [ k] tem a mesma forma funcional. Depois, precisa-se somente avaliar a Eq. (4) usando o w n [ k] associado com cada intervalo. Muitas vezes é útil traçar graficamente tanto x [ k] como h[ n k] quando se determina [ k] w n e identificar os intervalos apropriados de deslocamento no tempo. Resumindo: 1. Trace graficamente x [ k] e [ n k] h como uma função da variável independente k. Para determinar h[ n k], primeiramente reflita [ k] para obter h[ k] e depois desloque [ k] h de n no tempo. h em torno de k = 0 8

9 2. Inicie com o deslocamento de tempo n grande e negativo. 3. Escreva a forma funcional para w n [ k]. 4. Aumente o deslocamento no tempo n até que a forma funcional para w n [ k] se modifique. O valor de n no qual ocorre a modificação define o fim do intervalo corrente e o início de um novo intervalo. 5. Admitindo que n esteja no novo intervalo, repita os passos 3 e 4 até que todos os intervalos de deslocamento no tempo n e as formas funcionais para w n [ k] sejam identificados. Isto usualmente implica em aumentar n até um número positivo muito grande. 6. Para cada intervalo de deslocamento no tempo n, some todos os valores de w n [ k] correspondente para obter neste intervalo. Exercícios 8. (HAYKIN; VAN VEEN, 2000; p. 93) Um sistema LIT tem a resposta ao impulso dada por: u[ 10] h = u n Determine a saída deste sistema quando a entrada for o pulso retangular definido como x = u[ n 2] u[ n 7] RESP: 0, n 1, = 5, 16 n, 0, n < 2 2 n 6 6 < n n 16 n > 16 9

10 9. (HAYKIN; VAN VEEN, 2000; p. 95) Admitamos que a entrada x para n um sistema H do tipo LIT seja dada por x = { u u[ n 10] } α e que a res- n posta ao impulso do sistema seja dada por h β u = em que 0 < β < 1. Encontre a saída deste sistema. RESP: 0, n < 0 n+ 1 α 1- n β = β, α 1- β 10 α 1- n β β, α 1 - β 0 n 9 n > (HAYKIN; VAN VEEN, 2000; p. 96) Admitamos que a entrada de um sis- n tema LIT com resposta ao impulso h = { u[ n 2] u[ n 13] } x = 2{ u[ n + 2] u[ n 12] }. Encontre a saída. α seja RESP: 0, n < 0 n + 2 -n-1 2α ( 1 - α ), α α ( 1 - α ) =, α 12 n-24 2α ( 1 - α ), α 0, n 24 0 n n n (HAYKIN; VAN VEEN, 2000; p. 97) Suponha que a entrada x e a resposta ao impulso h de um sistema H do tipo LIT sejam dadas por: Encontre a saída deste sistema,. x h = u + 2u[ n 3] u[ n 6] = u[ n + 1] u[ n 10] RESP: 0, n - 2, n - 4, = 0, n 9 n , n < 1-1 n < 1. 2 n < 4 4 n < 9 9 n < n 15 n 15 10

11 12. (HAYKIN; VAN VEEN, 2000; p. 97) Considere um sistema LIT com resposta ao impulso: h 1, = 4 0, 0 n 3 caso contrário Encontre uma expressão que relacione diretamente uma entrada arbitrária x à saída deste sistema,. 1 4 RESP: = ( x + x[ n 1] + x[ n 2] + x[ n 3] + x[ n 4] ). L3 - Convolução usando o Matlab L3.1 Estabilidade de um Sistema LIT Na aula passada, viu-se que uma forma numérica de determinar a estabilidade de um sistema é verificar se n= h < em que h é a resposta deste sistema a um impulso δ. Mostra-se agora uma forma mais fácil de verificar se um dado sistema LIT é estável ou não. Dada uma equação de diferenças [ ] + [ 1] + + [ ] = [ ] + [ 1] + + [ ] a n a n a n N b x n b x n b x n M 1 2 N M + 1 N N 1 monta-se o polinômio p ( z) = a1 z + a2 z + + an + 1 com os coeficientes a i da equação. Este polinômio p ( z) é conhecido como polinômio característico da equação de diferenças. Demonstra-se que O sistema LIT representado pela equação de diferenças (1) é estável se e somente se todas as raízes do polinômio p ( z) tiverem módulo menor do que 1. Exemplo: 11

12 Vamos verificar se o sistema definido pela equação de diferença + 0,9 [ n 2] = 0,3x + 0,6x[ n 1] + 0,3x[ n 2] é estável usando o Matlab. RESOLUÇÃO: Determinamos o vetor pa=[1,0, 0.9] referente à. Calculamos os valores absolutos das raízes do polinômio pa. Utilizaremos a função roots do MATLAB.» pa=[1,0,0.9] pa = » r=roots(pa) r = i i» magr=abs(r) magr = O Sistema LIT + 0,9 [ n 2] = 0,3x + 0,6x[ n 1] + 0,3x[ n 2] é estável. L.3.2 Convolução no Domínio do Tempo Estamos aprendendo nas aulas que dado um sistema linear e invariante no tempo (LIT) podemos calcular sua saída devido a qualquer entrada usando o processo de convolução. Seja um sistema LIT com resposta ao impulso h em cuja entrada é aplicado o sinal x. Sua resposta será: = x h = h[ k] x[ n k] k = 12

13 Assim, para calcularmos as saídas nos instantes n = 0, 1, 2,, fazemos: [ 0] = h[ k] x[ k] k= [ 1] = h[ k] x[ 1 k] k = [ 2] = h[ k] x[ 2 k] k = Ou seja, para calcular [ n 0 ], multiplicamos h [ k] por x[ n k] as amostras do sinal resultante. Exemplo: Seja um sistema LIT com = { 0,5; 0,3; 0,2} n ao qual é aplicada a entrada x mostrada a seguir: h, e somamos todas Para calcular [ 0], precisamos dos gráficos de h [ k] e [ k] x invertido. A seguir vemos os dois gráficos. h [k] x que é o gráfico de 13

14 x[ k] e h [k] = k = [ 0 ] h[ k] x[ k] = 1 14

15 x[ 1 k] e = k = [ 1 ] h[ k] x[ 1 k] = 2, 1 h [k] 15

16 x[ 2 k] e e assim por diante. = k = [ 2 ] h[ k] x[ 2 k] = 2, 8 16

17 Utilizaremos a função conv1, que você deve implementar no MATLAB para resolver a convolução. function [,n] = conv1(x,nx,h,nh) % function [,n] = conv1(x,nx,h,nh) %[,n]= resultado da convolução entre os sinais x e h %[x,nx]= primeiro sinal (excitação), com seu intervalo %[h,nh]= segundo sinal, resposta do sistema LIT ao impulso, com seu intervalo nb=nx(1)+nh(1); ne=nx(length(x))+nh(length(h)); n=[nb:ne]; =conv(x,h); Exemplo: O sistema LIT mostrado acima pode ser resolvido como segue: % programa convol_1 x=[2,3,3,2,1,1.5,1.5] nx=[0:6] h=[0.5,0.3,0.2] nh=[0:2] [,n]=conv1(x,nx,h,nh) stem(n,) Exercícios 17

18 1. Calcular a resposta de um sistema LIT com resposta ao impulso h e entrada x mostrados na figura a seguir. RESPOSTA: % programa convol_2 %calcular a convolução =x*h %x[n]=[3,11,7,0,-1,4,2]excitação % : %h[n]=[2,3,0,-5,2,1]resposta do LIT ao impulso % : x=[3,11,7,0,-1,4,2] nx=[-3:3] h=[2,3,0,-5,2,1] nh=[-1:4] [,n]=conv1(x,nx,h,nh) stem(n,) 2. Complete o seguinte programa e obtenha a convolução = x h 18

19 % programa convol_3 %calcular a convolução =x*h %x[n]=[1,2,0,-2,3,1]excitação % : %h[n]=[0,0,2,1,1]resposta do LIT ao impulso % : Comandos utilizados e resolução manuscrita: 3. Complete o seguinte programa e obtenha a convolução = x h % programa convol_4 %calcular a convolução =x*h %x[n]=[1,-1,1,-1,3,1] excitação % : %h[n]=[3,2,1,1]resposta do LIT ao impulso % : Comandos utilizados e resolução manuscrita: 19

20 4. Um sistema linear e invariante no tempo é descrito pela equação de diferenças: n 0,5 n 1 + 0,8 n 2 = x n + 5x n 1 + x n 3 (a) Verifique a estabilidade deste sistema. (b) Escreva uma sequência de comandos Matlab que gere um gráfico da resposta ao degrau deste sistema para n. 20

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