Sinais e Sistemas Mecatrónicos

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1 Sinais e Sistemas Mecatrónicos Sinais e Sistemas Sinais Contínuos no Tempo José Sá da Costa José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 1

2 Sinais Sinal É uma função associada a um fenómeno (físico, químico, económico, social, etc.) que transporta algum tipo de informação sobre este. Exemplos Esta função pode depender de uma ou várias variáveis independentes, como sejam o tempo, as coordenadas espaciais, a frequência, etc., podendo ser uma função real ou complexa. xt (): R R ou xt (): R C < t<+ Sinal de voz Temperatura do ar ao longo do dia Velocidade do vento Sucessão de valores de um índice bolsista Sinal de um semáforo Sucessão de fotografias José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 2

3 Exemplos de Sinais Sinal dependendo de uma variável real, o tempo, isto é, o domínio do sinal é uni-dimensional. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 3

4 Exemplos de Sinais Uma fotografia pode ser vista como um sinal, onde o brilho u de um ponto é uma função de duas coordenadas espaciais (x, y). Neste caso o domínio do sinal é bi-dimensional, mas o contradomínio do sinal é uni-dimensional, representado pela escala de brilho. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 4

5 Exemplos de Sinais Os sinais podem apresentar várias formas, mais suaves como vimos anteriormente, ou mais ásperos ou rugosos, como o indicado na figura. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 5

6 Exemplos de Sinais Também podem caracterizar valores constantes ao longo de determinados períodos de tempo, como é o caso da variação de preços de um produto em dias sucessivos. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 6

7 Classificação de sinais Quanto à variável independente Sinal contínuo no tempo quando a coordenada de tempo é contínua. Se simultaneamente a coordenada de amplitude é contínua, designa-se sinal analógico. Sinal discreto no tempo apenas apresenta valores em certos instantes de tempo (amostras). José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 7

8 Classificação de sinais Quanto às amplitudes Sinal amostrado (ou quantificado) apenas representa as amplitudes nos pontos de amostragem (sinal discreto no tempo), mas a amplitude é contínua. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 8

9 Classificação de sinais Quanto às amplitudes (cont.) Sinal quantizado sinal contínuo no tempo em que a amplitude pode assumir apenas uma gama finita de valores. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 9

10 Classificação de sinais Quanto às amplitudes (cont.) Sinal digital é um sinal discreto no tempo e na amplitude, resultante da codificação do sinal amostrado e quantizado. A codificação consiste em atribuir a cada valor obtido por amostragem e quantizado uma sequência de dígitos, o código. O código mais usado é o binário (0 e 1). Neste caso é necessário 4 bits (2 4 =16) para reproduzir as 9 quantizações da amplitude. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 10

11 Classificação de sinais Quadro resumo atendendo ao tempo e amplitude José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 11

12 Quanto à duração Classificação de sinais Sinal infinito é um sinal com uma duração infinita. Sinal finito é um sinal definido num domínio de suporte limitado. Também se designa janela. Os de muito curta duração são os pulsos. Sinal direito quando nulo para t < τ. Sinal esquerdo quando nulo para t > τ. Sinal causal sinal direito onde x(t) = 0 para t < 0, também designado sinal não antecipativo. Sinal anti-causal sinal esquerdo onde x(t) = 0 para t > 0, também designado sinal antecipativo. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 12

13 Classificação de sinais Quanto à reprodutibilidade Sinal determinístico sinal que pode ser reproduzido, nas mesmas condições, tantas vezes quanto se queira. Sinal aleatório sinal com uma estrutura probabilística, não reproduzível, nas mesmas condições. Formalmente, este sinal depende do tempo, sendo mais correctamente designado por processo estocástico. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 13

14 Quanto à morfologia Classificação de sinais Sinal par sinal simétrico relativamente ao eixo das ordenadas, x(t) = x( t) t Sinal ímpar sinal simétrico relativamente à origem, x(t) = x( t) t Para o caso de sinais complexos Sinal hermiteano se verifica a relação x(t) = x * ( t) t Sinal anti-hermiteano se verifica a relação x(t) = x * ( t) t Quanto ao carácter Sinal escalar sinal que se refere apenas a uma medida. Sinal vectorial sinal que se refere a várias medidas do mesmo fenómeno, obtidas com um agregado de sensores. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 14

15 Série de Fourier Representação na frequência A ferramenta básica da teoria do sinal é a expansão em série de funções ortogonais do sinal. A mais utilizada, a expansão em série de Fourier, representa uma função periódica geral x(t), de período T, em termos de uma soma infinita de funções senos e cosenos. x(t) = a k e j2π kft = a k e j(2π kft+φ k ) = A 0 + A k cos(kω 0 t) + B k sen(kω 0 t) k = k = k =1 onde a frequência angular fundamental ω 0 é dada em [rad/s]. Nota: a frequência angular ω=2πf é dada em rad/s e a frequência f = 1/T é dada em Hz. Esta última é preferível na teoria do sinal já que garante simetria entre as transformadas directa e inversa, mas a primeira é mais utilizada na teoria dos sistemas já que garante uma similaridade com a transformada de Laplace. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 15

16 Série de Fourier Os coeficientes da série de Fourier são dados por: 1 = = T 0 A0 a0 x() t dt t0 t + T 2 t + T A = a + a = x t k t dt a T = t0 ( * ) 0 ( )cos( ω0 ) 2Re{ } k k k k 2 t + T B = j a a = x t k t dt a T = t0 ( * ) 0 ( )sin( ω0 ) 2Im{ } k k k k sendo a k constantes complexas. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 16

17 Série de Fourier Para uma função periódica ser tansformável em série de Fourier é necessário que satisfaça as condições de Dirichelet, que garantem a existência e convergência da série. As condições de Dirichlet requerem que num período T : - Apenas exista um número limitado de máximos e mínimos; - O número de descontinuidades seja finito; - As descontinuidades sejam de amplitude finita, isto é, a função deve ser absolutamente integrável, o que significa que T xt () dt< 0 José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 17

18 Transformada de Fourier Transformada de Fourier A expansão em série de Fourier é essencialmente adequada para funções periódicas. A sua forma generalizada, para funções não periódicas, é conhecida por transformada de Fourier, que transforma um sinal temporal x(t) numa função da frequência ω definida pela relação integral [ ] jωt F x() t = X( ω) = x() t e dt A transformada de Fourier inversa é dada por 1 jωt xt () = X( ω) e dω 2π José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 18

19 Transformada de Fourier Relação entre as transformadas de Fourier e de Laplace Da definição de transformada de Fourier resulta que os valores da exponencial estão restritos ao eixo imaginário do plano complexo. Removendo esta restrição, fazendo s= σ + jω, onde σ é uma constante real, obtém-se a transformada de Laplace, i.e. [ ] j t xte () ω st L x() t = X ( s) = x() t e dt A transformada de Laplace inversa é dada por c+ j 1 st xt () = X() se ds 2π j c j Para passar da transformada de Laplace para a transformada de Fourier e vice-versa basta fazer s= jω José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 19

20 Energia de um Sinal Contínuo Energia de um sinal A potência instantânea de um sinal é igual ao produto deste por ele mesmo. Se integrarmos ao longo do tempo temos a energia do sinal ao longo desse período de tempo A energia total do sinal é 2 Wx ( t1, t2) = x( t) dt 2 Wx = x() t dt A potência total média do sinal é t t Px = lim x( t) dt T T T T 2 2 José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 20

21 Energia de um Sinal Contínuo Energia e potência média de um sinal T 2 W ( T ) W (0, T ) x( t) dt x = x = Px = lim x( t) dt T T T T 2 2 José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 21

22 Relação de Parseval Espectros do Sinal Se x(t) e X(ω) são um par de transformadas de Fourier, então x() t dt = X ( ω) dω 2π X ( ω) Por esse motivo se designa a função o espectro de energia ou a densidade espectral de energia do sinal xt () X ( ω) Sendo uma grandeza complexa designa-se ainda por espectro de amplitudes a e espectro de fase a X ( ω) 2 arg X ( ω) José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 22

23 Espectros do Sinal Exemplo de espectro de energia No caso duma função sinusoidal o espectro de energia são duas riscas correspondentes à sua frequência positiva e negativa (-f 0 e +f 0 ), com amplitude idêntica a metade do quadrado da amplitude da função. As frequências positivas do espectro de energia correspondem à energia da parte causal do sinal e as frequências negativas à energia da parte anti-causal do sinal. José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 23

24 Espectros do Sinal Exemplo de espectro de amplitude f() t = e at Espectro de amplitude José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 24

25 Ruído Definição Ruído é qualquer fenómeno (interferência, distorção aleatória, etc.) que perturba a percepção ou interpretação do sinal. Esta denominação provém da mesma designação que se dá a um som acústico estranho e desagradável. Relação sinal-ruído A relação sinal-ruído (signal-to-noise ratio, S/N ou SNR) é uma medida da extensão de contaminação do sinal pelo ruído, a qual é dada pela relação entre a potência do sinal (P s ) pela potência do ruído (P r ) SNR = P s P r Normalmente, a relação sinal-ruído é dada em unidades logarítmicas, o decibel [db] s(t) SNR db = 20 log 10 =10 log 10 SNR r(t) José Sá da Costa T2 - Sinais Contínuos 25