Processamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Transformada Z. Transformada Z - TZ
|
|
- Alexandre Santana Correia
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Transformada Z Transformada Z 2 Transformada Z - TZ Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Transformada Z É uma generalização da Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) Útil para representação e análise de sistemas lineares invariantes no tempo (SLIT) Definição: Seja uma sequência x[n]. Sua TZ é definida por: E tem-se o par transformado: x[n] x[n]z n Z X(z) z é uma variável complexa, normalmente representada em coordenadas polares: z = re jω E se r =, z = e jω, e: Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia Elétrica - FEIS - Unesp x[n]e jωn = X(e jω ) Ou seja, (em determinados casos, como se verá adiante) a DTFT de x[n] pode ser obtida a partir da TZ calculada em z = e jω, que define uma circunferência de raio unitário (CRU) no plano z complexo. Observação: Estas notas de aula estão baseadas no livro: Discrete-Time Signal Processing, A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 989/999.
2 Transformada Z 3 Convergência da TZ Num caso mais geral, a variável z pode assumir um valor complexo qualquer: z = re jω. Sua TZ fica: x[n](re jω ) n = (x[n]r n )e jωn Ou seja, tem-se a DTFT da sequência x[n] multiplicada pela sequência exponencial r n. Pode-se notar que a DTFT dessa nova sequência pode convergir ou não, dependendo da sequência x[n], do valor de r e do intervalo de n considerado. A partir disso define-se a região de convergência da TZ. Região de Convergência (RC) Como viu-se anteriormente, para ter-se convergência absoluta da DTFT de uma sequência, esta deve obedecer a: x[n]r n < Num caso mais geral, a TZ deve convergir, logo: x[n]z n = x[n] z n < Assim, se para um determinado valor de z = z a somatória acima converge, então z faz parte da região de convergência da TZ de x[n]. O conjunto de valores de z para os quais a TZ converge é chamada de Região de Convergência (RC). Transformada Z 4 Região de Convergência da TZ Se z = re jω 0 faz parte da RC, então qualquer valor z que tenha magnitude r também fará parte da RC, definindo regiões concêntricas no plano complexo z. Se z = fizer parte da RC, então tem-se que: x[n] < ou seja, a DTFT da sequência converge. Por outro lado, se z = não fizer parte da RC, então a DTFT não converge de forma absoluta, o que não significa que a DTFT não exista. Observações: ATZéumasériadeLaurent: éumafunçãoanalíticadentrodarc,ou seja, a TZ e todas as suas derivadas são funções contínuas da variável z. Não é estritamente correto dizer que a DTFT é a TZ calculada sobre a CRU, pois isso não é válido para todas as sequências A TZ é útil quando pode ser expressa em forma fechada, como uma relação de polinômios em z: X(z) = P(z) Q(z) podendo-se relacionar com os chamados pólos e zeros de X(z).
3 Transformada Z 5 Exemplo sequência unilateral à direita (sequência causal) Solução: x[n] = a n u[n] Para convergência, é necessário que: o que é alcançado quando: a n u[n]z n = (az ) n n=0 X(z) az n <, n=0 az <, ou z > a ou seja, a RC é z > a, e a TZ é: X(z) = (az ) n = az = z, z > a z a n=0 E há um pólo em z = a e um zero em z = 0. Transformada Z 6 Exemplo 2 sequência unilateral à esquerda (sequência não-causal) Solução: x[n] = a n u[ n ] a n u[ n ]z n = = a n z n = (a z) n n= Para convergência, é necessário que: n= a z <, ou z < a ou seja, a RC é z < a, e a TZ é: a n z n X(z) = a z a z = az = z, z < a z a Nota-se que o resultado é o mesmo do caso anterior, mas com uma RC diferente. Uma determinada sequência é unicamente determinada por sua transformada z E sua região de convergência.
4 Transformada Z 7 Transformada Z 8 Exemplo 3 Soma de duas sequências x[n] = (/2) n u[n]+( /3) n u[n] Cada sequência tem uma TZ e uma RC: (/2) n u[n] ( /3) n u[n] Z (/2)z, z > /2 Z ( /3)z, z > /3 Como a TZ é uma operação linear, a TZ da soma das duas sequências é a soma das TZ. No caso, as RC devem valer para ambas as transformadas: X(z) = (/2)z + ( /3)z, z > /2 Exemplo 4 Soma de duas sequências (bilateral) x[n] = ( /3) n u[n] (/2) n u[ n ] Cada sequência tem uma TZ e uma RC: ( /3) n u[n] (/2) n u[ n ] Z ( /3)z, z > /3 Z (/2)z, z < /2 A RC é a intersecção das duas regiões, formando um anel no plano z: X(z) = (/2)z + ( /3)z, /3 < z < /2
5 Transformada Z 9 Exemplo 5 sequência de duração finita: Neste caso: x[n] = X(z) = N n=0 A RC neste caso deve ser tal que N Pólos: z = 0, de ordem N a n, n = 0..N 0, caso contrário a n z n = N (az ) n n=0 = (az ) N = z N a N az z N z a n=0 Zeros: z k = ae j(2πk/n), k =..N az n <, ou a < e z 0. Transformada Z 0 Propriedades da RC Por meio dos exemplos, pode-se tirar algumas conclusões a respeito da RC:. No caso geral, a RC é um disco no plano z, centrado na origem. 2. A DTFT de x[n] converge de forma absoluta se e somente se a CRU fizer parte da RC. 3. A RC não pode conter pólos. 4. Se x[n] é de duração finita, a RC é todo o plano z, exceto z = 0 ou z =. 5. Se x[n] é uma sequência causal, a RC é externa ao pólo de maior magnitude. 6. Se x[n] é uma sequência não-causal, a RC é interna ao pólo de menor magnitude. 7. Se x[n] é uma sequência bilateral, a RC é um anel, delimitado por pólos. 8. A RC deve ser uma região conexa.
6 Transformada Z Região de Convergência Transformada Z 2 TZ Inversa Sequência causal duração finita n não-causal duração finita n bilateral duração finita n Região de Convergência z >0 (pólos na origem) z < (pólos no inf.) 0< z < (pólos em zero einfinito). Por inspeção, usando tabelas 2. Expansão em série de potências A partir da definição da TZ: x[n]z n = +x[ 2]z 2 +x[ ]z+x[0]+x[]z +x[2]z Expansão em frações parciais Quando a TZ for escrita em termos de uma fração de polinômios em z, pode-se fazer a expansão em frações parciais: X(z) = M k=0 N k=0 b k z k a k z k = M b 0 k= N a 0 k= ( c k z ) ( d k z ) na qual c k s são os zeros e d k s são os pólos de X(z). Caso : M < N e todos os pólos de primeira ordem. causal duração infinita n r z > r (pólo de maior magnitude) com Neste caso, pode-se escrever: X(z) = N k= A k d k z... não-causal duração infinita r z < r (pólo de menor magnitude) A k = ( d k z )X(z) z =d k n bilateral duração infinita r2 r r < z < r n
7 Transformada Z 3 TZ Inversa Caso 2: M N e todos os pólos de primeira ordem. Neste caso, deve-se primeiro fazer uma divisão polinomial, de forma que: X(z) = P(z) Q(z) = M N r=0 B r z r + R(z) Q(z) e a ordem de R(z) é menor que N recaindo-se no Caso. A expansão completa fica: com X(z) = M N r=0 B r z r + N k= A k = ( d k z ) R(z) Q(z) A k d k z z =d k Transformada Z 4 TZ Inversa Caso 3: M N e um pólo em z = d i com multiplicidade s. Neste caso, pode-se escrever: na qual X(z) = M N C m = r=0 B r z r + N (s m)!( d i ) s m k=, k i A k ( d k z ) + s d s m m= dw s m[( d iw) s X(w )] C m ( d i z ) m w=d i
8 Transformada Z 5 TZ Inversa - Exemplo Determinar a sequência x[n] cuja TZ é dada por: X(z) = +2z +z z + 2 z 2 = (+z ) 2 ( 2 z )( z ), z > Como M = N = 2, deve-se fazer a divisão polinomial: X(z) = B 0 + D(z) ( 2 z )( z ) = 2+ 5z ( 2 z )( z ) Fazendo a expansão em frações parciais: em que Logo, Como: X(z) = 2+ A = 5z z A 2 z + A 2 z 2 z = 9 z=/2 = 9 A 2 = 5z = 4 z= /2 = 8 X(z) = z z, z > 2δ[n] Z 2 Transformada Z 6 TZ Inversa - Definição Seja a TZ de uma sequência x[n], e sua RC: k= x[k]z k, R x Multiplicando ambos os lados por z n e integrando por um contorno fechado C no plano z, dentro da RC e englobando-se a origem, fica-se com: C X(z)zn dz = C k= x[k]z n k dz Como a série converge dentro da RC, pode-se trocar a ordem de integração com a somatória, ficando-se com: C X(z)zn dz = k= Usando o teorema de integral de Cauchy: 2πj C zn k dz = x[k] C zn k dz, k = n 0, k n em que C é um contorno que engloba a origem. Fica-se então com: e: x[n] = 2πj C X(z)zn dz Caso a RC contenha o CRU, então pode-se escolher o caminho z = e jω, x[n] = π 2π π X(ejω )e jωn dω Fica-se com: (/2) n u[n] u[n] Z (/2)z, z > /2 Z z, z > x[n] = 2δ[n] 9(/2) n u[n]+8u[n]
9 Transformada Z 7 TZ Inversa A integral de linha é mais facilmente calculada usando o teorema de resíduos de Cauchy: x[n] = 2πj C X(z)zn dz = [Resíduos de X(z)z n calculados nos pólos no interior de C] Se X(z)z n é uma função racional de z: X(z)z n = Ψ(z) (z d 0 ) s em que X(z)z n tem s pólos em z = d 0 e Ψ(z) não tem nenhum pólo em z = d 0. O resíduo de X(z)z n em z = d 0 é dado por: Res[X(z)z n em z = d 0 ] = ds Ψ(z) (s )! dz s Em particular, se o pólo é de primeira ordem (s = ), z=d 0 Transformada Z 8 Alguns Pares de Transformadas x[n] X(z) R x δ[n] Todo z δ[n n 0 ] z n0 Todo z exceto z = 0 ou a n u[n] a n u[ n ] na n u[n] na n u[ n ] { a n, 0 n N 0, c.c. az az az ( az ) 2 az ( az ) 2 z > a z < a z > a z < a a N z N az z > 0 Res[X(z)z n em z = d 0 ] = Ψ(d 0 )
10 Transformada Z 9 Propriedades da TZ Propriedade Seqüência TZ RC Linearidade ax[n]+by[n] ax(z)+by(z) R x R y Atraso no tempo x[n n d ] z n d X(z) Rx, exceto z = 0 ou ± Escalonamento em z z n 0x[n] X(z/z 0 ) z 0 R x Transformada Z 20 Calcule a TZ da sequência x[n] = (cosω 0 n) u[n] Dicas:. Escrever cosω 0 n usando a identidade de Euler 2. Usar propriedade de escalonamento em z 3. Usar propriedade de linearidade Diferenciação em z nx[n] z dx(z) dz Teor. valor inicial x[n] = 0, n < 0 lim z X(z) = x[0] R x, exceto z = 0 ou ± Convolução no tempo x[n] y[n] X(z) Y(z) R x R y Modulação x[n] y[n] Correlação cruzada r 2 [m] = Teor. Parseval X(v)Y(z/v)dv j2π C R x R y x[n]y[n m] R 2 (z) = X(z) Y(z ) R x R y x[n]y [n] = X(v)Y (/v )v dv j2π C Resolução: x[n] = ejω 0n 2 e jω0n u[n]+ u[n] 2 u[n] z, RC: z > e jω 0n u[n] e jω 0n u[n], RC: z > e jω 0 z, RC: z > e jω 0 z X(z) = 2 e + jω 0 z 2 e jω 0 z 2 (e jω 0 +e jω 0 )z = 2( e jω 0 z )( e jω 0 z ) = z cosω 0 2z cosω 0 +z 2, RC: z >
11 Transformada Z 2 Calcule a TZ inversa de X(z) = log(+az ), com RC z > a. Calculando-se a derivada de X(z), fica-se com: dx(z) dz Reescrevendo-se da forma: z dx(z) dz = az A TZ inversa de X (z) é: = az 2 +az, z > a ( a)z = az X (z), z > a x [n] = ( a) n u[n] Usando-se agora a propriedade de atraso no tempo, juntamente com a propriedade de diferenciação em z, fica-se com: Logo: nx[n] = ax [n ] = a( ) n u[n ] x[n] = ( ) n an n u[n ] Transformada Z 22 Calcule a convolução entre as sequências: x [n] = {, 2,, 2}, para 0 n 3 x 2 [n] = u[n] u[n 3] Fazendo-se a convolução linear entre as sequências, fica-se com o resultado: amostra n Utilizando-se agora a propriedade da convolução, tem-se que a TZ é a multiplicação entre as transformadas: x 3 [n] = x [n] x 2 [n] X 3 (z) = X (z) X 2 (z) As TZ das sequências x [n] e x 2 [n] são: X (z) = +2z z 2 +2z 3, z 0 X 2 (z) = +z +z 2, z 0 Fazendo-se a multiplicação, fica-se com: X 3 (z) = +3z +2z 2 +3z 3 +z 4 +2z 5, z 0 Portanto: x 3 [n] = {, 3, 2, 3,, 2}, para 0 n 5
12 Transformada Z 23 Calcule a TZ de um trem de pulsos periódico e causal: p N [n] = δ[n kn] k=0 Transformada Z 24 Calcule a TZ do seguinte sinal periódico e causal: Solução: 0 N 2N n = z nn n=0 = x[n]z n z N, RC: z > O sinal pode ser escrito como a convolução entre um sinal de duração finita, igual a um período do sinal periódico, com o pulso p N [n] do exemplo anterior: em que: x[n] = x [n] p N [n] n x [n] = {0,, 2, 3, 2, }, para 0 n 5 e X (z) = z +2z 2 +3z 3 +2z 4 +z 5, com RC: z 0 A TZ de x[n] é igual à multiplicação entre as TZs (com N = 6 no trem de impulsos): X(z) = X (z) P N (z) = z +2z 2 +3z 3 +2z 4 +z 5 z 6 Como a RC de X (z) é z 0 e a RC de P 6 (z) é z >, a RC de X(z) é z >.
13 Transformada Z 25 Uma operação utilizada no aumento da taxa de amostragem de sinais é a inserção de zeros entre amostras do sinal. Seja x[n] um sinal que se deseja aumentar a taxa de amostragem. A partir deste sinal, o chamado interpolador com fator L introduz (L ) zeros entre amostras de x[n], produzindo o sinal y[n]: ( n x n = 0, ±L, ±2L,... L) y[n] = ou 0 caso contrário Calcule a TZ de y[n] em função de X(z). Y(z) = = = X(z L ) y[n]z n x[n]z nl Se X(z) tem RC: a < z < b, então Y(z) irá convergir para a < z L < b a /L < z < b /L Transformada Z 26 Calcule a TZ inversa de: Y(z) = a 0 z 0, RC: z > a Fazendo-se a divisão polinomial e utilizando potências negativas de z, pois a sequência é causal, chega-se facilmente a: da qual pode tirar a sequência y[n]. Y(z) = +a 0 z 0 +a 20 z a 0 a Resolvendo-se por outro método: chamando-se Nota-se que X(z) = a 0 z, RC: z > a 0 Y(z) = X(z 0 ) Pelo resultado do exercício anterior: ( n x para n = 0, ±0, ±20,... 0) y[n] = 0 caso contrário n Como x[n] = a 0n u[n] chega-se ao resultado desejado. y[n] = a n para n = 0, ±0, ±20,... 0 caso contrário
14 Transformada Z 27 Transformada z utilizando a integral de linha: calcule a TZ inversa, por meio da integral de linha. X(z) = az, z > a Usando a definição, a sequência x[n] é: x[n] = 2πj C X(z)zn dz = z n 2πj C az dz = z n 2πj C z a dz em que C é um círculo de raio maior que a. Para n 0, há apenas um pólo em z = a no interior de C, e portanto os resíduos de X(z)z n calculados em z = a são iguais a a n : x[n] = a n, para n 0 Para n < 0, há outros pólos na origem, além do pólo em z = a. Para n = : Res Res z(z a) em z = a z(z a) em z = 0 Logo, x[ ] = 0. Para n = 2: Res Res [ = z] z=a [ ] = z a z=0 z 2 (z a) em z = a = a 2 z 2 (z a) em z = 0 = = a d[(z a) ] dz = a z=0 = (z a) 2 z=0 = a 2 E x[ 2] = 0, e assim por diante, resultando que x[n] = 0 para n < 0. Portanto: x[n] = a n u[n]
Processamento Digital de Sinais - ENG420
Processamento Digital de Sinais - ENG420 Fabrício Simões IFBA 24 de setembro de 2016 Fabrício Simões (IFBA) Processamento Digital de Sinais - ENG420 24 de setembro de 2016 1 / 19 1 Transformada Z - Conceito
Leia maisAnálise de Sistemas em Tempo Discreto usando a Transformada Z
Análise de Sistemas em Tempo Discreto usando a Transformada Z Edmar José do Nascimento (Análise de Sinais e Sistemas) http://www.univasf.edu.br/ edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do São Francisco
Leia maisSinais e Sistemas Discretos
Sinais e Sistemas Discretos Luís Caldas de Oliveira Resumo 1. Sinais em Tempo Discreto 2. Sistemas em Tempo Discreto 3. Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo 4. Representações em requência 5. A Transformada
Leia maisIntrodução ao Processamento Digital de Sinais Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 2
Introdução ao Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 2. Verifique se os sinais abaixo têm ou não transformada de Fourier. Em caso positivo, calcule a transformada correspondente: a) x[n] 2δ[n+2]+3δ[n]
Leia maisTRANSFORMADA Z. A transformada Z de um sinal x(n) é definida como a série de potências: Onde z é uma variável complexa e pode ser indicada como.
TRANSFORMADA Z A transformada Z (TZ) tem o mesmo papel, para a análise de sinais e sistemas discretos LTI, que a transformada de Laplace na análise de sinais e sistemas nos sistemas contínuos do mesmo
Leia maisProcessamento Digital de Sinais
Processamento Digital de Sinais Carlos Alexandre Mello Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 1 Sinais Digitais Um sinal pode ser entendido como uma função que carrega uma informação Sinal de voz O sinal
Leia maisAnálise de Sistemas LTI através das transformadas
Análise de Sistemas LTI através das transformadas Luis Henrique Assumpção Lolis 23 de setembro de 2013 Luis Henrique Assumpção Lolis Análise de Sistemas LTI através das transformadas 1 Conteúdo 1 Resposta
Leia maisAula 15 Propriedades da TFD
Processamento Digital de Sinais Aula 5 Professor Marcio Eisencraft abril 0 Aula 5 Propriedades da TFD Bibliografia OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER. Discrete-time signal processing, 3rd. ed., Prentice-Hall, 00.
Leia maisSistemas e Sinais. Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
Propriedades das Representações de Fourier Sinais periódicos de tempo contínuo ou discreto têm uma representação por série de Fourier, dada pela soma ponderada de senoides complexas com frequências múltiplas
Leia maisSistemas e Sinais. Universidade Federal do Rio Grande do Sul Departamento de Engenharia Elétrica
O método das frações parciais usa o conhecimento de diversos pares de transformada Z básicos e as propriedades da transformada Z para obtenção da transformada Z inversa das funções de interesse Admite-se
Leia maisLicenciatura em Engenharia Biomédica. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra. Análise e Processamento de Bio-Sinais - MIEBM
Licenciatura em Engenharia Biomédica Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide Slide 1 1 Tópicos: Representações de Fourier de Sinais Compostos Introdução Transformada de Fourier de Sinais Periódicos Convolução
Leia maisProcessamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto. Sinais. Carregam alguma informação (voz, dados, imagem)
Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Sinais Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia
Leia maisAula 18 Propriedades da Transformada Z Transformada Z inversa
Processamento Digital de Sinais Aula 8 Professor Marcio Eisencraft abril 0 Aula 8 Propriedades da Transformada Z Transformada Z inversa Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, a
Leia maisFunções de Green. Prof. Rodrigo M. S. de Oliveira UFPA / PPGEE
Funções de Green Prof. Rodrigo M. S. de Oliveira UFPA / PPGEE Funções de Green Suponha que queremos resolver a equação não-homogênea no intervalo a x b, onde f (x) é uma função conhecida. As condições
Leia maisSistemas Lineares e Invariantes: Tempo Contínuo e Tempo Discreto
Universidade Federal da Paraíba Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Sistemas Lineares e Invariantes: Tempo Contínuo e Tempo Discreto Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva jmauricio@cear.ufpb.br
Leia maisEN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 3 3 quadrimestre 2012
EN607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 3 fevereiro 03 EN607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 3 3 quadrimestre 0
Leia maisApresentação do programa da disciplina. Definições básicas. Aplicações de sinais e sistemas na engenharia. Revisão sobre números complexos.
FUNDAÇÃO UNVERSDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCSCO PLANO DE UNDADE DDÁTCA- PUD Professor: Edmar José do Nascimento Disciplina: ANÁLSE DE SNAS E SSTEMAS Carga Horária: 60 hs Semestre: 2010.1 Pág. 1 de
Leia maisO processo de filtragem de sinais pode ser realizado digitalmente, na forma esquematizada pelo diagrama apresentado a seguir:
Sistemas e Sinais O processo de filtragem de sinais pode ser realizado digitalmente, na forma esquematizada pelo diagrama apresentado a seguir: 1 Sistemas e Sinais O bloco conversor A/D converte o sinal
Leia maisAnálise de Sinais e Sistemas
Universidade Federal da Paraíba Departamento de Engenharia Elétrica Análise de Sinais e Sistemas Luciana Ribeiro Veloso luciana.veloso@dee.ufcg.edu.br ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS Ementa: Sinais contínuos
Leia maisResumo. Sinais e Sistemas Transformada de Laplace. Resposta ao Sinal Exponencial
Resumo Sinais e Sistemas Transformada de aplace uís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Definição da transformada de aplace Região de convergência Propriedades da transformada de
Leia maisResumo. Sinais e Sistemas Representação de Sinais Periódicos em Séries de Fourier. Objectivo. Função Própria de um Sistema
Resumo Sinais e Sistemas Representação de Sinais Periódicos em Séries de Fourier lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos
Leia maisResumo. Sinais e Sistemas Transformada Z. Introdução. Transformada Z Bilateral
Resumo Sinis e Sistems Trnsformd Luís Clds de Oliveir lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Definição Região de convergênci Trnsformd invers Proprieddes d trnsformd Avlição geométric d DTFT Crcterição
Leia maisAnálise de Fourier. Imagens no Domínio da Freqüência
Análise de Fourier Imagens no Domínio da Freqüência Todas as imagens deste trabalho foram obtidas de R. C. Gonzalez and R. E. Woods - Digital Image Processing, Addison Wesley Pub. Co. 1993 - ISBN 0-201-60078-1
Leia maisConvolução Correlação. Profs. Theo Pavan e Adilton Carneiro TAPS
Convolução Correlação Profs. Theo Pavan e Adilton Carneiro TAPS Sistema Sistema processo em que os sinais de entrada são transformados resultando em um outro sinal de saída. x(t) Sistema de tempo contínuo
Leia maisS I N A I S & S I S T E M A S PLANEJAMENTO
S I N A I S & S I S T E M A S PLANEJAMENTO 2017.1 contatos importantes: Professor: Gustavo Castro do Amaral e-mail gustavo@opto.cetuc.puc-rio.br website www.labopto.com Monitor: David Stolnicki e-mail
Leia maisIntrodução a aquisição e processamento de sinais
TAPS Introdução a aquisição e processamento de sinais Prof. Theo Z. Pavan Departamento de Física - Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão Preto-USP Roteiro Aquisição de sinais e frequência
Leia maisIntrodução ao Processamento Digital de Sinais Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo 1
Introdução ao Soluções dos Exercícios Propostos Capítulo. Dados os sinais x c (t a seguir, encontre as amostras, a representação em somatórios de impulsos deslocados, e trace os gráficos de = x c (nt a
Leia mais1 o Teste Tipo. Sinais e Sistemas (LERC/LEE) 2008/2009. Maio de Respostas
o Teste Tipo Sinais e Sistemas (LERC/LEE) 2008/2009 Maio de 2009 Respostas i Problema. (0,9v) Considere o seguinte integral: + 0 δ(t π/4) cos(t)dt em que t eδ(t) é a função delta de Dirac. O integral vale:
Leia maisResumo. Sinais e Sistemas Transformada Z. Introdução. Transformada Z Bilateral
Resumo Sinis e Sistems Trnsformd lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Definição Região de convergênci Trnsformd invers Proprieddes d trnsformd Avlição geométric d DTFT Crcterição de SLITs usndo trnsformd.
Leia maisREPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS NO DOMÍNIO Z. n +
REPRESETAÇÃO DE SISTEMAS O DOMÍIO Z [ ] x h y h h n RC RC RC X H Y Y H X R R n h n h Z H < < + : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( Função de Sistema : FUÇÃO DE SISTEMA A PARTIR DA REPRESETAÇÃO POR
Leia maisTransformada Rápida de Fourier (FFT)
Transformada Rápida de Fourier (FFT) A FFT é um algoritmo eficiente para calcular a DFT A DFT de uma sequência x n de comprimento finito N é definida como: N 1 N 1 X k = x n e j2π N kn = x n W N kn, 0
Leia maisSinais e Sistemas p.1/33
Resumo Sinais e Sistemas Transformada de Fourier de Sinais Contínuos lco@ist.utl.pt Representação de sinais aperiódicos Transformada de Fourier de sinais periódicos Propriedades da transformada de Fourier
Leia maisRepresentação de Fourier para Sinais 1
Representação de Fourier para Sinais A representação de Fourier para sinais é realizada através da soma ponderada de funções senoidais complexas. Se este sinal for aplicado a um sistema LTI, a saída do
Leia maisProjeto de Filtros Não-Recursivos (FIR)
p.1/81 Projeto de Filtros Não-Recursivos (FIR) Eduardo Mendes emmendes@cpdee.ufmg.br Departamento de Engenharia Eletrônica Universidade Federal de Minas Gerais Av. Antônio Carlos 6627, Belo Horizonte,
Leia maisSumário. 1 Sinais e sistemas no tempo discreto 1. 2 As transformadas z e de Fourier 79
Sumário 1 Sinais e sistemas no tempo discreto 1 1.1 Introdução 1 1.2 Sinais no tempo discreto 2 1.3 Sistemas no tempo discreto 7 1.3.1 Linearidade 8 1.3.2 Invariância no tempo 8 1.3.3 Causalidade 9 1.3.4
Leia maisSinais e Sistemas. Tempo para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo. Representações em Domínio do. Profª Sandra Mara Torres Müller.
Sinais e Sistemas Representações em Domínio do Tempo para Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Profª Sandra Mara Torres Müller Aula 7 Representações em Domínio do Tempo para Sistemas Lineares e Invariantes
Leia maisParte I O teste tem uma parte de resposta múltipla (Parte I) e uma parte de resolução livre (Parte II)
Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas o teste 4 de Novembro de 0 Nome: Número: Duração da prova: horas Parte I O teste tem uma parte de resposta múltipla (Parte I) e uma parte de resolução livre
Leia maisSinais e Sistemas. Conceitos Básicos. Prof.: Fábio de Araújo Leite
Sinais e Sistemas Conceitos Básicos Prof.: Fábio de Araújo Leite Discussão do Plano do Curso As 12 normas de convivência 1. - Recomenda-se chegar à aula no horário estabelecido. 2. Evitar o uso do celular
Leia maisSinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace
Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me.
Leia maisI-6 Sistemas e Resposta em Frequência. Comunicações (6 de Dezembro de 2012)
I-6 Sistemas e Resposta em Frequência (6 de Dezembro de 2012) Sumário 1. A função especial delta-dirac 2. Sistemas 3. Resposta impulsional e resposta em frequência 4. Tipos de filtragem 5. Associação de
Leia maisAnálise e Processamento de Bio-Sinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Sinais e Sistemas. Licenciatura em Engenharia Física
Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Licenciatura em Engenharia Física Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide 1 Slide 1 Sobre Modelos para SLIT s Introdução
Leia maisCapítulo 3 Equações Diferenciais. O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, )
Capítulo 3 Equações Diferenciais O Wronskiano (de Josef Hoëné-Wronski, polonês, 1776 1853) Seja a equação diferencial, ordinária, linear e de 2ª. ordem Podemos dividir por os 2 membros e escrever a equação
Leia maisTransformada de Laplace
Transformada de aplace Nas aulas anteriores foi visto que as ferramentas matemáticas de Fourier (série e transformadas) são de extrema importância na análise de sinais e de sistemas IT. Isto deve-se ao
Leia maisAnálise e Processamento de Sinal e Imagem
I - Introdução António M. Gonçalves Pinheiro Departamento de Física Covilhã - Portugal pinheiro@ubi.pt Objectivos Estudar as características dos Sinais Temporais Contínuos e Discretos Processamento de
Leia mais1 o Exame 10 de Janeiro de 2005 Nota: Resolva os problemas do exame em folhas separadas. Justifique todas as respostas e explique os seus
i Sinais e Sisemas (LERCI) o Exame 0 de Janeiro de 005 Noa: Resolva os problemas do exame em folhas separadas. Jusifique odas as resposas e explique os seus cálculos. Problema.. Represene graficamene o
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA II
ANÁLISE MATEMÁTICA II Acetatos de Ana Matos Séries de Potências DMAT Séries de Potências As séries de potências são uma generalização da noção de polinómio. Definição: Sendo x uma variável e a, chama-se
Leia maisFFT Realização Eficiente da DFT
FFT Realização Eficiente da DFT Luís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico FFT p1/40 Resumo Algoritmos de Decimação no Tempo FFT p2/40 Resumo Algoritmos de Decimação no Tempo Algoritmos
Leia maisIntrodução ao Processamento Digital de Imagens. Aula 6 Propriedades da Transformada de Fourier
Introdução ao Processamento Digital de Imagens Aula 6 Propriedades da Transformada de Fourier Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira mvieira@sc.usp.br Uma linha de uma imagem formada por uma sequência
Leia maisCAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1. CAPÍTULO 2 Operações Fundamentais com Expressões Algébricas 12
Sumário CAPÍTULO 1 Operações Fundamentais com Números 1 1.1 Quatro operações 1 1.2 O sistema dos números reais 1 1.3 Representação gráfica de números reais 2 1.4 Propriedades da adição e multiplicação
Leia maisIntrodução a filtros digitais. Theo Pavan e Adilton Carneiro TAPS
Introdução a filtros digitais Theo Pavan e Adilton Carneiro TAPS Filtro anti-aliasing Com um sinal já digitalizado não é possível distinguir entre uma frequência alias e uma frequência que realmente esteja
Leia maisANÁLISE DE SINAIS DINÂMICOS
ANÁLISE DE SINAIS DINÂMICOS Paulo S. Varoto 7 . - Classificação de Sinais Sinais dinâmicos são geralmente classificados como deterministicos e aleatórios, como mostra a figura abaixo: Periódicos Determinísticos
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS EDO S. disponível em
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualiação: //003 ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC RESOLUÇÃO DA FICHA 3 SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS
Leia maisSUMÁRIO CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2
SUMÁRIO CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS 1 Somas e produtos 1 Propriedades algébricas básicas 3 Mais propriedades algébricas 5 Vetores e módulo 8 Desigualdade triangular 11 Complexos conjugados 14 Forma exponencial
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica ENG04037 Sistemas de Controle Digitais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Elétrica ENG04037 Sistemas de Controle Digitais Especificações de Desempenho de Sistemas de Controle Discreto Introdução
Leia maisI-6 Sistemas e Resposta em Frequência
I-6 Sistemas e Resposta em Frequência Comunicações 1 Sumário 1. A função especial delta-dirac 2. Sistemas 3. Resposta impulsional e resposta em frequência 4. Tipos de filtragem 5. Associação de sistemas
Leia maisSUMÁRIO VOLUME II 8 MODELAGEM MATEMÁTICA COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS SÉRIES INFINITAS CURVAS PARAMÉTRICAS E POLARES; SEÇÕES CÔNICAS 692
SUMÁRIO VOLUME II 8 MODELAGEM MATEMÁTICA COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 561 8.1 Modelagem com equações diferenciais 561 8.2 Separação de variáveis 568 8.3 Campos de direções; método de Euler 579 8.4 Equações
Leia maisModelos de Sistemas Amostrados
20 Modelos de Sistemas Amostrados Relógio u(kh) D/A u(t) G(s) Sistema y(t) A/D y(kh) Qual a função de transferência discreta vista pelo computador? 21 Recorde-se que, para determinar a função de transferência,
Leia maisSinais e Sistemas. Sinais e Sistemas Fundamentos. Renato Dourado Maia. Universidade Estadual de Montes Claros. Engenharia de Sistemas
Sinais e Sistemas Sinais e Sistemas Fundamentos Renato Dourado Maia Universidade Estadual de Montes Claros Engenharia de Sistemas Classificação de Sinais Sinal de Tempo Contínuo: É definido para todo tempo
Leia maisExercícios para Processamento Digital de Sinal - Folha
Exercícios para Processamento Digital de Sinal - Folha 1 Interpolação Exercício 1 Suponha que uma sinusóide de frequência angular π/4 foi aplicada na entrada de um bloco expansor que aumenta a frequência
Leia maisProcessamento Digital de Sinais
Processamento Digital de Sinais Professor: Marcelino Andrade OPPENHEIM, ALAN V., WILLSKY, ALAN S. Sinais e Sistemas, Pearson, 2010. SIMON HAYKIN; BARRY V. VEEN. Sinais e Sistemas, Bookman, 2002 OPPENHEIM,A.,
Leia maisSinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace
Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me.
Leia maisProcessamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Filtros Digitais Tipo FIR. Filtros Digitais Tipo FIR. Resposta ao impulso com duração finita
Filtros Digitais tipo FIR Filtros Digitais tipo FIR Filtros Digitais Tipo FIR Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Filtros Digitais Tipo FIR Resposta ao impulso com duração finita Função de transferência
Leia maisProcessamento Digital de Sinais. Convolução. Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti
Processamento Digital de Sinais Convolução Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti Convolução É uma operação matemática formal, assim como a soma. Soma: toma dois números e gera um terceiro. Convolução: toma
Leia maisSinais e Sistemas - Lista 1. Gabarito
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA Sinais e Sistemas - Lista 1 Gabarito 4 de outubro de 015 1. Considere o sinal x(t) mostrado na figura abaixo. O sinal é zero fora do intervalo < t
Leia maisCálculo de Resíduos AULA 12
AULA 2 META: Apresentar cálculo de resíduos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir resíduo de uma função de variáveis complexas em um ponto dado e calcular o resíduo de uma
Leia maisMétodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.
Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 20 (09/11/15) Interpolação: Introdução Características Interpolação Linear: Introdução Características Exercícios
Leia mais3 o Teste (1 a data) Sistemas e Sinais (LEIC-TP) 2008/ de Junho de Respostas
3 o Teste (1 a data) Sistemas e Sinais (LEIC-TP) 2008/2009 12 de Junho de 2009 Respostas i Problema 1. (0,75v) Considere o sinal ( n n, x(n)=cos 8 4) +π Assinale a afirmação correcta x(n) é um sinal periódico
Leia maisReconstrução de Sinais de Tempo Contínuo
Sistemas e Sinais Reconstrução de Sinais de Tempo Contínuo Teorema da Amostragem Reconstrução Ideal Reconstrução Prática Retentor de Ordem Zero Filtro Anti-Imagem Reconstrução de Sinais de Tempo Contínuo
Leia maisy y(y + 3x) em frações parciais: 1 u + 1 A(u + 1) + Bu = 1 A = 1, B = 1 du u(u + 1) u + 1 u 2 u + 1
Turma A Questão : (3,5 pontos) Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - o. Semestre 03-0//03 (a) Determine a solução y da equação
Leia maisTransformada Discreta de Fourier
Processamento Digital de Sinais Transformada Discreta de Fourier Prof. Dr. Carlos Alberto Ynoguti Jean Baptiste Joseph Fourier Nascimento: 21 de março de 1768 em Auxerre, Bourgogne, França Morte: 16 de
Leia maisProfessor Msc. Leonardo Henrique Gonsioroski
Professor Msc. Leonardo Henrique Gonsioroski Professor Leonardo Henrique Gonsioroski UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E AUTOMAÇÃO Definições Um sistema que estabeleça
Leia maisEletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho
de Carvalho - Eletrostática Energia Eletrostática (Capítulo 4 Páginas 00 a 04) Energia potencial de um grupo de cargas pontuais. Energia de uma distribuição contínua de carga. Densidade de energia no campo
Leia maisMetas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (13 de setembro a 15 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
Leia maisMetas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA DISCIPLINA: Matemática A (11º Ano) METAS CURRICULARES/CONTEÚDOS... 1º Período (15 de setembro a 16 de dezembro) Metas/ Objetivos Conceitos/ Conteúdos Aulas Previstas
Leia maisSumário. CAPÍTULO 1 Introdução 1. CAPÍTULO 2 Terminologia dos Sistemas de Controle 14
Sumário CAPÍTULO 1 Introdução 1 1.1 Sistemas de controle 1 1.2 Exemplos de sistemas de controle 2 1.3 Sistemas de controle de malha aberta e malha fechada 3 1.4 Realimentação 3 1.5 Características da realimentação
Leia maisDiferenciais em Série de Potências
Existência de Soluções de Equações Diferenciais em Série de Potências Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICEx Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/ regi 0 de julho de
Leia maisMATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática
MATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática Conteúdos I - Conjuntos:. Representação e relação de pertinência;. Tipos de conjuntos;. Subconjuntos;. Inclusão;. Operações com conjuntos;.
Leia maisP L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o
P L A N I F I C A Ç Ã 0 E n s i n o S e c u n d á r i o 206-207 DISCIPLINA / ANO: Matemática A - ºano MANUAL ADOTADO: NOVO ESPAÇO - Matemática A º ano GESTÃO DO TEMPO Nº de Nº de Nº de tempos tempos tempos
Leia maisDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS
Escolas João de Araújo Correia ORGANIZAÇÃO DO ANO LETIVO 16 17 GESTÃO CURRICULAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA A 11º ANO 1º PERÍODO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Leia maisCAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18
Sumário CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1 Sistema de Coordenadas Lineares 1 Intervalos Finitos 3 Intervalos Infinitos 3 Desigualdades 3 CAPÍTULO 2 Sistemas de
Leia maisSinais e Sistemas. Capítulo INTRODUÇÃO 1.2 SINAIS DE TEMPO DISCRETO
Capítulo 1 Sinais e Sistemas 1.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo, começamos nosso estudo do processamento digital de sinais desenvolvendo as noções de sinal e sistema de tempo discreto. Vamos nos concentrar
Leia maisRespostas do Estudo Dirigido Cap Image Transform
Respostas do Estudo Dirigido Cap. 11 - Image Transform 1. Para que serve transformar as imagens para outros Domínios? Fale sobre algumas Formas de Transformada e suas aplicações. (0.5) As transformadas
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA II 2007/2008. Cursos de EACI e EB
ANÁLISE MATEMÁTICA II 2007/2008 (com Laboratórios) Cursos de EACI e EB Acetatos de Ana Matos 1ª Parte Sucessões Séries Numéricas Fórmula de Taylor Séries de Potências Série de Taylor DMAT Ana Matos - AMII0807
Leia maisSinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace
Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me.
Leia maisResumo. Sinais e Sistemas Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo. Resposta ao Impulso. Representação de Sequências
Resumo Sinais e Sistemas Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico SLITs discretos. O somatório de convolução. SLITs contínuos. A convolução contínua. Propriedades
Leia maisI-2 Sinais: classificação, propriedades e operações
I-2 Sinais: classificação, propriedades e operações Comunicações ISEL - ADEETC - Comunicações 1 Sumário 1. Sinais contínuos e discretos 2. Sinais não periódicos e periódicos Pulso retangular e sinc A onda
Leia maisx exp( t 2 )dt f(x) =
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia Aproximação
Leia mais12 Qua 16 mar Coordenadas retangulares, representação Funções vetoriais paramétrica
Aula Data Aula Detalhes 1 Qua 3 fev Introdução Apresentação e avisos 2 Sex 5 fev Revisão Resumo dos pré-requisitos Qua 10 fev Feriado Carnaval 3 Sex 12 fev Soma de Riemann Área, soma superior e inferior
Leia maisModelagem no Domínio da Frequência. Carlos Alexandre Mello. Carlos Alexandre Mello 1
Modelagem no Domínio da Frequência Carlos Alexandre Mello 1 Transformada de Laplace O que são Transformadas? Quais as mais comuns: Laplace Fourier Cosseno Wavelet... 2 Transformada de Laplace A transf.
Leia maisVariável Complexa
Variável Complexa 2015.2 Aula1 Utilizamos o símbolo C para denotar o plano real R 2 equipado com as seguintes operações: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) adição z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2,, x 1 y 2
Leia maisA Transformada de Fourier
A Transformada de Fourier Disciplina: Tópicos em Computação (Processamento Digital de Imagens) 1 / 30 A Função Impulso Fundamental no estudo dos sistemas lineares e da transformada de Fourier; Um impulso
Leia maisMódulo IV: Processos Aleatórios Estacionários, Cicloestaionaridade e Análise de Continuidade de Processos Aleatórios
Módulo IV: Processos Aleatórios Estacionários, Cicloestaionaridade e Análise de Continuidade de Processos Aleatórios Wamberto J. L. Queiroz Universidade Federal de Campina Grande-UFCG Departamento de Engenharia
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Ciência da ComputaçãoUFRJ. Cálculo Numérico. S. C. Coutinho. Provas e gabaritos
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Ciência da ComputaçãoUFRJ Cálculo Numérico S. C. Coutinho Provas e gabaritos Lembre-se: Nas provas não são aceitas respostas sem justicativa. Você
Leia maisCap. 4- Interpolação Numérica Definições. Censos de BH. Qual o número de habitantes na cidade de Belo Horizonte em 1975?
Cap. 4- Interpolação Numérica 4.1. Definições Censos de BH População em BH (Habitantes,5,,, 1,5, 1,, 5, 194 196 198 Ano Ano 195 196 197 198 1991 1996 1 No. habitantes 5.74 68.98 1.5. 1.78.855..161.91.71.8.56.75.444
Leia maisCálculo das Probabilidades I
Cálculo das Probabilidades I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Geradora de Momentos 10/13 1 / 19 Calculamos algumas características da
Leia maisA reta numérica. Praciano-Pereira, T
A reta numérica Praciano-Pereira, T Sobral Matemática 3 de fevereiro de 205 Textos da Sobral Matemática Editor Tarcisio Praciano-Pereira, tarcisio@member.ams.org - reta numérica Se diz duma reta na qual
Leia maisFunções analíticas LISTA DE EXERCÍCIOS
LISTA DE EXERCÍCIOS Funções analíticas. Suponha que f : Ω C é C-diferenciável. Denote por r (Ω) o conjunto { z; z Ω}. Mostre que g : r (Ω) C dada por g (z) := f ( z) é ainda C-diferenciável. Recíproca?
Leia maisTécnicas de Desenho de Filtros Digitais
Técnicas de Desenho de Filtros Digitais Luís Caldas de Oliveira lco@istutlpt Instituto Superior Técnico Técnicas de Desenho de Filtros Digitais p1/38 Resumo Desenho de filtros discretos com base em filtros
Leia maisAnálise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier
Análise de Sinais no Tempo Contínuo: A Série de Fourier Edmar José do Nascimento (Análise de Sinais e Sistemas) http://www.univasf.edu.br/ edmar.nascimento Universidade Federal do Vale do São Francisco
Leia mais