Universidade Federal do ABC. Processos Estocásticos. Profs. Marcio Eisencraft e Murilo Loiola

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1 Universidade Federal do ABC Processos Estocásticos Profs. Marcio Eisencraft e Murilo Loiola São Paulo 2011

2 Capítulo 1 Introdução à análise e transmissão de sinais 1.1 Intodução Neste curso, trata-se dos fenômenos que não podem ser representados de forma determinística mas apenas em termos de estatísticas. Dentre estes, destaca-se o ruído que é um limitante para qualquer sistema de comunicações. Define-se um sinal aleatório ou randômico como uma forma de onda que pode ser caracterizada apenas de uma maneira probabilística. Em geral, pode ser uma forma de onda desejada ou não. Alguns exemplos: O ruído de fundo ouvido quando escutamos uma rádio. A forma de onda causadora do ruído, se observada em um osciloscópio, aparece como uma tensão flutuando de forma aleatória com o tempo. Ela é indesejável já que interfere com nossa habilidade de ouvir o programa de rádio e é chamada de ruído. Num sistema de televisão, o ruído aparece na forma de interferência de imagem, freqüentemente chamada de snow. Num sistema sonar, sons do mar gerados de forma aleatória geram ruídos que interferem com os ecos desejados. 2

3 Eisencraft e Loiola 1.2 Introdução a sinais 3 Bits em uma comunicação entre computadores parecem flutuar de forma aleatória com o tempo entre os níveis 0 e 1 gerando um sinal aleatório. A saída de tensão de um gerador eólico é aleatória por causa da variação randômica da velocidade do vento. A tensão de um detector solar varia de forma aleatória devido à imprevisibilidade das condições das nuvens e do tempo. A tensão de um analisador de vibração acoplado a um carro dirigido sobre um terreno irregular. Neste primeiro capítulo, são abordados os conhecimentos básicos necessários ao estudo dos processos aleatórios ou estocásticos. Para chegarmos lá é necessário um bom conhecimento das formas de representação dos sinais e sistemas tanto no domínio do tempo quanto da frequência. Inicia-se com algumas definições básicas, passando-se a seguir a uma rápida revisão sobre sinais e sistemas no domínio do tempo e da frequência. 1.2 Introdução a sinais Definição de sinal: função (geralmente do tempo) que carrega algum tipo de informação. Exemplos: 1. variação da temperatura da sala durante um dia (Figura 1.1). Figura 1.1: Variação da temperatura de uma sala. 2. Sinal de voz (Figura 1.2).

4 Eisencraft e Loiola 1.2 Introdução a sinais 4 Figura 1.2: Exemplo de sinal de voz. 3. Número de s que chegam a sua caixa de entrada verificada a cada meia hora.(figura 1.3). Figura 1.3: Exemplo de sinal de tempo discreto. Definição de sistemas: ente que processa um sinal de entrada x(t) e gera um sinal de saída y(t) (Figura 1.4). Este sistema é representado matematicamente como y(t) = H[x(t)].

5 Eisencraft e Loiola 1.2 Introdução a sinais 5 H Figura 1.4: Sistema com uma entrada x(t) e uma saída y(t) Medindo um sinal: energia e potência A medida de um dado ente é um número que indica a grandeza ou força deste ente. Como medir um sinal? A forma utilizada para se medir um sinal é através de sua energia ou potência. Como motivação para definição dessas grandezas, considere-se o caso de circuitos elétricos: neste caso, um sinal pode representar uma tensão ou uma corrente. Considere uma tensão v(t) aplicada a um resistor R, produzindo uma corrente i(t). A potência dissipada no resistor é dada por: p(t) = v2 (t) R ou p(t) = Ri 2 (t). (1.1) Assim, a potência instantânea p(t) é proporcional à amplitude do sinal elevada ao quadrado. Além do mais, para R = 1Ω, a potência p(t) é exatamente igual à amplitude ao quadrado do sinal. Baseando-se nisso, em comunicações, costuma-se definir a potência instantânea de um sinal g(t) como: p g (t) = g 2 (t). (1.2) Lembrando que a energia é o produto da potência pelo tempo, costuma-se definir a energia do sinal real g(t) como: E g = Também definimos a potência média de um sinal como: g 2 (t)dt. (1.3) 1 P g = lim T T T/2 T/2 g 2 (t)dt. (1.4) Para sinais periódicos, pode-se calcular a potência média tomando-se a média apenas num

6 Eisencraft e Loiola 1.2 Introdução a sinais 6 período ao invés de considerar-se todo o eixo dos tempos. Para um sinal periódico de período fundamental T, tem-se P g = 1 T T/2 T/2 g 2 (t)dt. (1.5) A raiz quadrada da potência média P g é chamada de valor eficaz ou rms (root-mean-square) do sinal g(t). Se g(t) for limitado e tiver duração finita, P g = 0 e sua energia deve ser usada como medida. Se g(t) for periódico ou tiver uma regularidade estatística, então E g = e sua potência média deve ser usada como medida. Um sinal com energia positiva e finita é chamado de sinal de energia e um sinal com potência positiva e finita é um sinal de potência. Observação: caso g(t) seja complexo, as Equações (1.3), (1.4) e (1.5) devem ser substituídas por: E g = g(t) 2 dt. (1.6) 1 T/2 P g = lim g(t) 2 dt. (1.7) T T T/2 P g = 1 T T/2 T/2 g(t) 2 dt. (1.8) respectivamente Exercícios 1. [1] Determine a medida adequada para os sinais da Figura [1] Determine a potência e o valor rms de: (a) g(t) = C cos (ω 0 t + θ) (b) g(t) = C 1 cos (ω 1 t + θ 1 ) + C 2 cos (ω 2 t + θ 2 ), ω 1 ω 2

7 Eisencraft e Loiola 1.2 Introdução a sinais 7 (a) g(t) 1 2e t/ t 1 (b) 0.5 g(t) t Figura 1.5: Sinais do Exercício 1. (c) g(t) = De jω 0t Exercícios para casa (Entrega até 14/02/2011) 3. Resolver Problema e da página 62 e 63 do [1].

8 Referências Bibliográficas [1] B. P. Lathi, Modern Digital and Analog Communication Systems, 3rd ed. New York, NY, USA: Oxford University Press, Inc.,