Eletromagnetismo II 1 o Semestre de 2007 Noturno - Prof. Alvaro Vannucci

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1 Eletromagnetismo II o Semestre de 7 Noturno - Prof. Alvaro Vannucci 3 a aula 6/mar/7 Na aula passada vimos: Circuito LC com tensão alternada. ( t) cost (t) e i t (uma grandeza complexa) De forma que I I e i t ; sendo que a parte real é: I ( t) I cos( t θ ) cos( t θ ). Então: + i L C e + L C ; Sendo que L θ arc tg C. eatâncias indutiva e capacitiva. Sabemos que a potência dissipada por um resistor: P I se corrente varia no tempo: ( ) I( t) I cos t, Então a potência média: P I I cos t P I ; I I,77 I / corrente icaz I V Sendo I então podemos fazer, igualmente, V. Vamos agora calcular a potência em relação a uma impedância : Neste caso, a potência instantânea: [ ][ ] P( t) I e ( t) e I ( t) [ ][ ] P( t) e ( t) e I( t) Mas: ( t) I( t) ; ( e iθ e (t) e i t ) i( t θ ) i( t θ ) I I( t) e e

2 Então: P cos ( t).cos( t θ ) I cos ( t ).( cos( t ) cos( θ ) sin ( t ) sin ( θ )) + ( cos ( ) cos( ) cos( ) sin ( ) sin ( )) I t θ + t t θ I t + t t / cos ( ) cos( θ ) ( cos( ) sin ( )) sin ( θ ) Fator de potência P I cos( θ ) (Em termos da tensão e corrente icazes: P I cos( θ ) P I cos ( θ ) ) Ou seja, quando cos θ P é máximo P é mínimo (Não podemos ter < pois P seria negativo e o circuito passaria a absorver energia, ao invés de dissipar!) Legal! Então é só alguém dar um jeito para conseguir que se anule, lembrando que { θ acrtg ( L / C) / }, e eu não tenho mais que pagar conta de luz, certo? Não! o porque kw-hora medida de energia consumida, e não de potência. o porque se, θ π/, e tg π/ tg ( L / C) /, Ou seja, e não haverá nenhum trabalho útil sendo realizado! Mas, então por que se preocupar com o fator de potência? Na verdade, são as companhias elétricas que exigem ~, pois senão vai haver desperdício de energia. Exemplo: Supor um motor monofásico com potência média 5CV (CV736W), tensão V (icaz, na tomada) e Fator de Potência FP 9% (,9) está trabalhando em plena carga (rendimento %). a) determine a corrente icaz que circula pela rede de alimentação devido a este motor. b) faça o mesmo considerando FP 5%. a) Como vimos, P I (5 CV )(736 W / CV ) 4W ; 4 I I 54,5A,9 4 b) Da mesma forma: I I 98,5A,5

3 Ou seja, o motor funcionando na mesma potência consome uma corrente menor no º caso (no o caso, 9A de corrente é perdida!). Indústrias com fator de potência menor que 9% são multadas! essonância Como visto na aula passada, o módulo da impedância de um circuito LC é dado por: + ( / ) ; com θ ( ) L C acrtg L / C / ângulo de fase Observe que e θ dependem de freqüência da variação de tensão (produzida pela fonte) e da corrente induzida no circuito. Pergunta: Para dados valores de, L e C, qual freqüência de oscilação da fonte vai minimizar o valor de? Para descobrir isto, faço (ver apêndice), ou então, simplesmente eu noto que +, eu obtenho min quandol / C / LC sendo ( L / C) Neste caso: L LC + LC C impedância puramente resistiva A este valor de / LC chamamos de Freqüência natural de oscilação, para a qual é mínimo. Como I, sendo min corrente I resultante (no circuito) é maximizada. Na figura ao lado é mostrado o gráfico da corrente no circuito, em função de, para diferentes valores de. O funcionamento de sistemas de recepção de ondas eletromagnéticas (EM) tal como telone celular, aparelhos de rádio, de TV, etc., baseia-se neste princípio. Ou seja, para que um determinado sinal EM - com freqüência - seja captado, é preciso ajuste os valores de LC do circuito para que o do circuito seja igual a. Por outro lado, para se ter um sinal limpo (sem

4 ruídos ou interferências), é interessante que a curva de ressonância seja a mais pronunciada possível. Uma forma de avaliar a performance de um circuito é calcular o Fator de Qualidade do circuito que indica justamente o quanto a curva de ressonância é pronunciada. Para fazermos isto, vamos supor duas freqüências e, próximas de, de forma que estes valores correspondam a uma potência dissipada no circuito que é a metade daquela dissipada no circuito com freqüência ; ou seja: P P, ( ) P( ) sendo que P I e, como já vimos, I. Vou reescrever P lembrando que + i L C (circuito LC) L C Im θ Fasor e e + C L Então (substituído I ): P Assim, P, pois quando ( ) LC + De forma que, sendo ( ) L C quadrada) L () C (tirando a raiz Para situações nas quais as curvas são relativamente pronunciadas, não são muito diferentes de podemos escrever que: +. Substituindo na equação anterior ():

5 L + L. C + Expandindo e, dividindo tudo por L: + + ; ( LC ) + + L L LC. L Q Ou seja, L Q Fator de Qualidade Indica a variação percentual entre (pico) e (largura a meia-altura) O Transformador Potência dissipada em uma carga resistiva: P I Pα I (C.C.) (C.A.) Em tratando-se de uma distribuição de energia elétrica (tanto na estação geradora quanto no ambiente de recepção), é conveniente lidar com valores relativamente baixos de tensão (imagine, por exemplo, uma torradeira elétrica funcionando a kv!). Por outro lado, na transmissão de energia de um ponto para outro há potência dissipada pela Linha de Transmissão: sendo P I I deve ser a mais baixa possível de forma a se evitar perdas; e como P I conclui-se que o ideal seria trabalhar com tensões elevadas e correntes baixas! Daí a função do transformador de corrente alternada. símbolo:

6 Basicamente, um transformador corresponde a dois enrolamentos (primário e secundário) na forma mostrada abaixo: Núcleo de ferro doce para direcionar campo magnético ~ I N I N Primário Secundário dφ dφ, esp Funcionamento: circuito primário gera fluxo φ : N. dt dt Admitindo-se que não ocorra perda de fluxo o mesmo fluxo magnético criado no primeiro enrolamento atravessa a região do segundo enrolamento: dφ, esp N dt N Comparando: N (Tomando valores icazes, não preciso me preocupar com diferenças de fase nos circuitos) N N Observe que, quando N > N > N < N < Transformador Levantador de Tensão Transformador Abaixador de Tensão

7 APÊNDICE Potência dissipada: it it Pdissipada e( I ( t)) e( ( t)) e e e( e z ) it it e e e i ( e θ ) e i( t θ ) it e e e e cos t θ cos t Valor médio: [ + ] ( ) ( ) ( ) ( ) Pd cost sint sinθ cost cos t + sinθ sint cost + sinθ sin t I Pd I (integrando de um t inicial até um período T completo subseqüente) t+ T t+ T sin ( t ) sin ( t ) dt cos( t ) t T T t [ cos ( t + T ) cos ( t) ] T agora, como cos ( t + T ) cos ( t) a integral se anula!