Potência em Corrente Alternada

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1 Potência em Corrente Alternada Evandro Bastos dos Santos 22 de Maio de 2017 (Esse material pode ser ministrado em duas aulas) 1 Introdução A discussão sobre potência que vimos nas aulas anteriores é apenas sobre a potência média fornecida a um circuito de CA. Aqui, veremos um conceito mais abrangente em termos da potência total, a potência reativa e a potência aparente. Vimos até aqui que potência tem a definição de Se estamos em um circuito de CA, temos que P = V I. (1) Então teríamos que a potência é simplesmente V = V m sin(ωt + φ) (2) I = I m sin(ωt) (3) P = V m I m sin(ωt + φ) sin(ωt) (4) P = V I cos φ(1 2 cos ωt) + V I sin φ(sin 2ωt). (5) Em que V e I são os valores eficazes (rms). Rescrevendo a equação 5. P = V I cos φ V I cos φ cos 2ωt + V I sin φ sin 2ωt. (6) O primeiro termo é a potência média V I cos φ, que é independente do tempo. Os dois termos seguintes tem picos de V I cos φ e V I sin φ, e variam com frequência que é o dobro da frequência natural. Vamos analisar cada um dos elementos em separado. 2 Circuitos Resistivos Nos circuitos puramente resistivos, V e I estão em fase, ou seja, φ = 0. Assim temos que 1

2 P = V I cos 0 V I cos 0 cos 2ωt + V I sin 0 sin 2ωt (7) P = V I V I cos 2ωt (8) em que VI é a potência média ou CC. Na figura 1, T 1 é o período da tensão e da corrente, T 2 é o período da curva de potência. Observe que para cada ciclo de potência ocorre dois ciclos de V ou I, ou seja T 1 = 2T 2, ou f 2 = 2f 1. Figura 1: Potência em função do tempo, para uma carga puramente resistiva. Note ainda que a curva de potência não se torna negativa, isso significa que toda a potência fornecida a um resistor é dissipada em forma de calor. Isso advém do fato que podemos escrever que as formas E a energia dissipada no resistor é portanto P = I 2 R (9) P = V 2 R. (10) em que t é o intervalo de tempo considerado. W = P t (11) W = V I t (12) 3 Potência Aparente Considere a situação da figura 2, em que é fornecida a potência à uma carga qualquer. Já vimos que a potência média é dada simplesmente por P = V I. Figura 2: Potência fornecida a uma carga. 2

3 Porém vimos que o fator cos φ tem influência considerável sobre o valor da potência dissipada. Embora o produto VI nem sempre seja igual a potência fornecida, é um parâmetro útil na análise de circuitos de CA. Chamamos esse produto de potência aparente (S), em que S = V I. (13) A unidade de potência aparente é o VA (volt-ampère). Se a carga tem impedância Z, podemos escrever A potência fornecida à carga Z na figura 2 é S = I 2 Z (14) S = V 2 Z. (15) portanto, P = V I cos φ, (16) O termo P = S cos φ. (17) F P = cos φ = P S (18) é conhecido por fator de potência. E corresponde a razão entre a potência média (P) e a potência aparente (S). Se o circuito for puramente resistivo, a potência aparente e a potência média são iguais, portanto o fator de potência é F P = 1, para circuitos puramente resistivos. É utilizado o VA e não o Watt (W), pois em um circuito com, por exemplo, 10KVA quando submetido a uma tensão de 200V, terá uma corrente máxima de 50A. Se o valor do fator de potência for F P = 1, então podemos dizer que a potência em VA é a mesma em W. Ou seja, quando a impedância do sistema for tal que φ = 0. Na figura 3, a carga tem potência aparente de 10KVA, logo uma especificação de corrente de 50A, a uma tensão de 200V. Figura 3: Demonstração do motivo para especificar uma carga em VA e não em W. 3

4 A figura mostra uma corrente de 70A, que claramente é maior que a máximo de 50A. Porém, é relativamente baixa, pois a carga é altamente reativa (X L R). A leitura do wattímetro, indica apenas a potência dissipada e não a corrente drenada pela carga. Se a carga fosse puramente reativa (R=0), a leitura do wattímetro seria nula. 4 Circuitos Indutivos e Potência Reativa Nos circuitos puramente indutivos a diferença de fase phi é tal que φ = 90 o. Matematicamente temos que P L = V I cos 90 V I cos 90 cos 2ωt + V I sin 90 sin 2ωt (19) P L = V I sin 2ωt. (20) Ou seja, a potência é uma senóide de pico VI, que oscila com o dobro da frequência natural. Figura 4: Gráfico para a potência em um circuito puramente indutivo. Verificando o gráfico da potência P L, na figura 4, verificamos que T 1 é o periodo da tensão e da corrente e T 2 é o periodo da potência. Observe ainda que a potência acima do eixo horizontal é igual a potência abaixo do eixo horizontal, indicando que num circuito puramente indutivo não há perda, ou dissipação, durante o processo. O valor da potência absorvida, ou devolvida, pelo indutor é obtido através da equação 20. Nessa equação o valor de VI é determinado de potência reativa, quando associada a um indutor puro (ideal). Em geral o valor da potência reativa em qualquer circuito é determinado por Q = V I sin φ. (21) A unidade é o VAR, Volt-Ampère reativo. φ é a fase entre I e V. No caso de um indutor Q L = V I, (22) Q L = X L I 2, (23) Q L = V 2. X L (24) A potência média associada a um indutor, como visto na figura 4 é P = 0, com isso 4

5 F P = P S = 0 V I = 0. (25) Em geral, mesmo com F P = 0, ou seja, não havendo dissipação, os elementos indutivos de um circuito aumento a carga do mesmo, necessitando que uma potência maior seja fornecida ao circuito, mesmo que de fato essa potência não seja dissipada. Como a energia amarzenada na parte positiva é igual a energia devolvida na parte negativa, temos que a energia pode ser calculada por W = P t. (26) Utilizando que o valor médio do seno é 2V I π (2 x pico/π), e que t = T 2/2 temos que W L = 2V I π T 2 2 = V IT 2 π. (27) Usando o fato que V = IX L e que X L = ωl, então podemos escrever que W L = LI 2, (28) que é a forma conhecida para a energia armazenada em um indutor. 5 Circuitos Capacitivos Nos circuitos puramente capacitivos temos que a corrente está adiantada de 90 o, portanto φ = 90 o (na referência que estamos usando até aqui). Então temos que P C = V I cos 90 V I cos 90 cos 2ωt + V I sin 90 sin 2ωt (29) P C = V I sin 2ωt. (30) Observe que o valor de P C é oposto ao valor de P L. Visualizando o gráfico da figura 5, vemos que ocorre exatamente isso. E que o valor da potência abaixo da horizontal é igual ao valor acima da horizontal. Verificamos ainda que T 1 é o periodo da tensão e da corrente e T 2 é o periodo da potência. Figura 5: Gráfico para a potência em um circuito puramente capacitivo. 5

6 Da mesma forma que no caso puramente indutivo, a troca de potência entre a fonte e a carga é zero, ou seja, não há dissipação no processo. Podemos, também definir uma potência reativa associada a um capacitor, na forma Q C = V I (31) Q C = X C I 2 (32) Q C = V 2 X C (33) Da mesma forma que no circuito indutivo, o valor médio da potência é zero e portanto A energia armezada no capacitor usando F P = P S = 0 V I = 0 (34) é W = P t (35) W = V IT 2 π, (36) assim como no indutor, calculando a energia armazenada no capacitor obtemos que W = V I f 2 π = V I ω = V V ωc ω (37) W = V 2 C. (38) 6 Triângulo das Potências Em termos vetoriais, temos que as potências total, aparente e reativa estão associadas por com ˆP = ˆQ + Ŝ, (39) ˆP = P < 0 o (40) Qˆ L = Q L < 90 o (41) Qˆ C = Q C < 90 o (42) Para cargas indutivas e capacitivas, as definições respectivas da potência fasorial (Ŝ) é (43) Ŝ = P + jq L (44) Ŝ = P jq C. (45) 6

7 A figura 6 ilustra isso. Figura 6: Digramas de potências para cargas indutivas (E) e capacitivas (D). Considerando a potência reativa resultante Q L Q C = I 2 X L I 2 X C (46) Figura 7: Triângulo das potências Como os vetores associados relativo às potências média e reativa tem defasagem de 90 o, eles formam um triângulo e seus lados são associados por conhecido por triângulo das potências. A equação S 2 = P 2 + Q 2, (47) Ŝ = ˆV Î (48) fornece a relação vetorial da potência aparente. ˆV é a tensão aplicada e Î é o complexo conjugado associado a corrente. Exemplo: Considere o circuito RL da figura abaixo. Figura 8: Exemplo Determine a potência média, aparente e reativa. 7

8 Solução: Como I = V Z T 10 < 0o = 3 + j4 (49) = 10 < 0 o 5 < 53, 13 o (50) = 2A < 53, 13 o (51) A potência real (média) é P = I 2 V = = 12W (52) e a potência reativa é Q L = I 2 X L = = 16V AR (53) com S = P + jq L = 12 + j16 = 20V AR < 53, 13 o. (54) Usando a notação vetorial, equação 48, temos que O ângulo φ é o ângulo do fator de potência Ŝ = ˆV Î = (10V < 0 o )(2A < +53, 13 o ) (55) = 20V A < 53, 13 o. (56) cos φ = P S cos = P S (57) (58) O triângulo para as potências do exemplo é portanto. Figura 9: Exemplo 8

9 7 Correção do Fator de Potência O ideal é que todas as cargas presentes numa instalação sejam fossem resistivas, isto é, que não apresentassem o chamado efeito reativo, pois com isso o ângulo de fase (φ) entre a corrente e tensão seria nulo. Isto significa um fator de potência unitário (F P = 1, S = P ). Neste caso, a potência aparente seria mínima e igual a potência ativa e, consequentemente, a corrente do alimentador também seria mínima. Idealmente é o que se deseja. Entretanto, não se pode ter apenas as chamadas cargas resistivas ou de comportamento aparentemente resistivo. Na verdade, há uma predominância de cargas reativas (motores em geral, lâmpadas fluorescentes, lâmpadas eletrônicas, aparelhos de refrigeração, entre outros). Assim, deve-se tentar, ao menos, torná-los aparentemente resistivos, seja isoladamente, seja na instalação como um todo (o mais aplicado). O processo de introduzir elementos reativos para levar o fator de potência mais próximo a 1 é chamado de correção do fator de potência. Figura 10: Correção do fator de potência sobre o triângulo das potências em um circuito. Na figura 11a, uma carga indutiva está consumindo uma corrente I L. Na figura 11b, um capacitor é conectado em paralelo para aumentar o fator de potência. Como a ligação é em paralelo, a carga indutiva continua a receber a mesma corrente e a mesma tensão. Não havendo diferença para a carga. O cálculo da corrente na fonte é Figura 11: Elemento capacitivo em um circuito. 9

10 Se X C for escolhido tal que I L = I C, então Î s = ˆ I C + ÎL (59) = ji C + I L + jil (60) = I L + j(i L + I C ). (61) Î s = I L + j0 = I L < 0 o. (62) Isso significa que a corrente na fonte tem intensidade igual a parte real da corrente na carga, que pode ser menor que a corrente na carga da figura 11. Além disso, como o ângulo de fase φ é zero, o circuito "parece resistivo", fazendo com que toda a potência seja dissipada. Isso representa a situação de máxima eficiência, por exemplo, para uma concessionária de energia elétrica. Exemplo: Um motor de 5HP, com um fator de potência atrasado 0.6 e com eficiência de 92% está conectado à uma fonte de 208V e 60Hz. a) Construa o triângulo de potências para a carga. b) Determine o valor do capacitor que deve ser ligado a carga para aumentar o fator de potência para 1. c) Determine a diferença na corrente fornecida pela fonte no circuito compensado e a corrente no circuito não-compensado. Solução a) Como 1HP=746W A potência consumida é portando P s = = 3730W (63) E do fator de potência F P = 0.6, P e = P s η = 3730 = (64) 0.92 (65) φ = cos = o (66) Para determinar a potência reativa, no triângulo das potências temos Figura 12: Triângulo das potências para o exemplo 10

11 tgφ = Q L P e (67) Q L = P e tgφ = tg53.13 o = V AR (68) Do triângulo das potências, temos que S 2 = P 2 e + Q 2 L (69) S = = V A (70) O triângulo das potências está ilustrado na figura 13. Figura 13: Triângulo das potências para o exemplo b) Para que o fator de potência seja unitário temos que introduzir uma potência reativa capacitiva de , a fim de equilibrar (ou anular) a potência reativa indutiva. Então, e X C = V 2 Q C (71) = = 8Ω, (72) c) Para F P = 0.6, C = = 1 ωx C = 1 2πfX C (73) 1 2π60 8 = F (74) S = V I = V A (75) e Para F p = 1, I = S V = = 32.49A. (76) S = V I = V A (77) 11

12 e I = S V = = 19.49A. (78) Exercícios: 1. Uma pequena usina geradora industrial alimenta 10KW de aquecedores e 20KVA de motores elétricos. Os elementos de aquecimento são considerados puramente resisitivos (F P = 1). Os motores possuem um fator potência atrasado igual a 0.7. a) Se a fonte é de 1000V e 60Hz, determine a capacitância necessária para aumentar o fator de potência para b) Compare os valores de corrente drenados na fonte de alimentação. Exercícios do livro: Cap19: 1, 5, 6, 7, 10, 11, 17 e