Integração Numérica Regras de Newton-Cotes. Computação 2º Semestre 2016/2017

Transcrição

1 Integração Numérica Regras de Newton-Cotes Computação º Semestre 16/17

2 Caso de Estudo Trabalho de uma Força Maio 17 Integração Numérica Regras de Newton-Cotes

3 Trabalho de uma Força O cálculo do trabalho realizado por uma força é uma componente importante em muitas áreas de ciência e engenharia. Trabalho = Força Distância Exemplo: se uma força de 1 N é usada para deslocar um bloco ao longo de 5 m então o trabalho realizado é de 15=5 J Se a força variar durante o percurso: W x n x F( x) dx Se além disso variar o ângulo de aplicação da força: W x n x F( x)cos ( x) dx Maio 17 Integração Numérica Regras de Newton-Cotes 3

4 Trabalho de uma Força Problema: uma força é aplicada a um bloco da seguinte forma Pretende-se calcular o trabalho: W x x n Apenas se conhecem os valores apresentados na tabela: F( x)cos ( x) dx Maio 17 Integração Numérica Regras de Newton-Cotes 4

5 Trabalho de uma Força Resultados para as regras de Newton-Cotes: W x n x F( x)cos ( x) dx Pontos não representativos! Maio 17 Integração Numérica Regras de Newton-Cotes 5

6 Trabalho de uma Força Com os pontos adicionais: (picos) F(.5) cos (.5) (1.5) F( 1.5) cos O resultado é muito melhor: t.16% >> x=[ ]; >> y=[ ]; >> trapz(x,y) ans = Maio 17 Integração Numérica Regras de Newton-Cotes 6

7 Integração Numérica Integração de Funções Computação º Semestre 16/17

8 Caso de Estudo Maio 17 Integração Numérica Integração de Funções 8

9 O valor quadrático médio ou RMS (root mean square) ou valor eficaz é uma medida da magnitude de uma quantidade variável. O nome deriva de ser a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores. O RMS ao longo do tempo para uma função periódica é: f rms 1 T T f ( t) dt O RMS de uma função que represente a forma da onda de uma corrente eléctrica num circuito é frequentemente usado em electrónica para calcular a correspondente potência dissipada média Maio 17 Integração Numérica Integração de Funções 9

10 Problema: Calcular o RMS de seguinte onda não sinusoidal: i rms 1 t ( 1e sin t) dt (o valor exacto calculado analiticamente é ) Usando as Regras de Newton-Cotes: Maio 17 Integração Numérica Integração de Funções 1

11 Problema: Calcular o RMS de seguinte onda não sinusoidal: i rms 1 t ( 1e sin t) dt (o valor exacto calculado analiticamente é ) Usando o Método de Integração de Romberg: >> format long >> i=@(t) (1*exp(-t).*sin(*pi*t)).^; >> [q,ea,iter]=romberg(i,,.5) q = ea = e-8 iter = 5 Maio 17 Integração Numérica Integração de Funções 11

12 Problema: Calcular o RMS de seguinte onda não sinusoidal: i rms 1 t ( 1e sin t) dt (o valor exacto calculado analiticamente é ) Usando o Método de Integração de Romberg (mais precisão): >> [q,ea,iter]=romberg(i,,.5,1e-15) q = ea = iter = 7 Maio 17 Integração Numérica Integração de Funções 1

13 Problema: Calcular o RMS de seguinte onda não sinusoidal: i rms 1 t ( 1e sin t) dt (o valor exacto calculado analiticamente é ) Usando o Método de Integração de Gauss: Com pontos: I f 1 3 f Com 3 pontos: I f f f Maio 17 Integração Numérica Integração de Funções 13

14 Problema: Calcular o RMS de seguinte onda não sinusoidal: i rms 1 t ( 1e sin t) dt (o valor exacto calculado analiticamente é ) Usando o Método de Integração de Gauss: Maio 17 Integração Numérica Integração de Funções 14

15 Problema: Calcular o RMS de seguinte onda não sinusoidal: i rms 1 t ( 1e sin t) dt (o valor exacto calculado analiticamente é ) Usando Integração Adaptativa: >> irms=quad(i,,.5) irms = Maio 17 Integração Numérica Integração de Funções 15