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1 Universidade Federal de Itajubá UNIFEI Cap écnicas Computacionais para a Medição de Grandezas Elétricas Prof. Dr. Fernando Nunes Belchior fnbelchior@hotmail.com fnbelchior@unifei.edu.br

2 ÉCNICAS COMPUACIONAIS A - Valor médio de uma onda O valor médio, por definição, de uma função periódica qualquer v(t), de período, é dado por: 1 V = M 0 v t.dt onde: V M = valor médio do sinal; = período da onda; v(t) = sinal periódico em função do tempo.

3 Nos medidores que utilizam o processo da amostragem de sinais, a integral é substituída por uma somatória da seguinte forma: onde: V MA = valor médio aproximado; N = número de amostras em um período; v j = valor da amostra. ÉCNICAS COMPUACIONAIS A - Valor médio de uma onda N 1 V = v MA N j=1 j

4 ÉCNICAS COMPUACIONAIS B - Valor eficaz de uma onda O valor eficaz verdadeiro (RMS verdadeiro) de uma função periódica qualquer v(t), de período, é dado por: 1 V 2 EF= v t.dt 0 onde: V EF = valor eficaz verdadeiro. Nos sistemas par amostragem de sinais a integral é substituída aproximadamente por uma somatória da seguinte forma: N 1 V EFA = v N onde: V EFA = valor eficaz aproximado da onda. j=1 2 j

5 ÉCNICAS COMPUACIONAIS C Potência ativa de 1 onda de corrente com 1 onda de tensão Por definição é o valor médio no período do produto destes dois sinais: 1 P= vt.it.dt 0 onde: P = potência ativa ou média em um período da onda; v(t) = tensão em função do tempo; i(t) = corrente em função do tempo. Usando do mesmo procedimento que para os valores médio e eficaz, a integral é substituída por uma somatória:

6 ÉCNICAS COMPUACIONAIS C Potência ativa de 1 onda de corrente com 1 onda de tensão onde: P A = Potência ativa aproximada com a interação dos dois sinais (v e i); v j = amostra do sinal de tensão; i j = amostra do sinal de corrente simultânea a e j ; N = número de amostras em um período. N 1 P = v.i N A j j j=1

7 ÉCNICAS COMPUACIONAIS D Potência aparente total A potência aparente total é, por definição, o produto dos valores eficazes de corrente de tensão, resultando, portanto, a expressão: S =V.I EF EF Associando a expressão do valor eficaz aproximado os valores de tensão e de corrente para a potência aparente, obtém-se: N N A EFA. EFA j j N j=1 N j=1 S = V I = v. i

8 E Potência reativa total ÉCNICAS COMPUACIONAIS A potência reativa total é, por definição, dada pela expressão: Associando a expressão do valor eficaz aproximado, os valores de tensão e de corrente para a potência aparente, obtém-se: F Fator de Potência Q = S - P Q A = S A - PA O fator de potência total é definido pela relação entre a potência que efetivamente realiza trabalho, no caso a potência ativa, e a ocupação necessária do sistema elétrico para que esse trabalho seja realizado, no caso a potência aparente total, portanto: PA FP A = Cap. 15 écnicas S Computacionais A.

9 Considerando um circuito retificador monofásico, onde o tiristor é comandado a 60 o. Carga circuito RL. É mostrado, inicialmente, o procedimento de cálculo de forma analítica. Neste caso, é possível a separação das potências não-ativas (reativas) de deslocamento e de distorção. Em seguida, mostra-se o procedimento de cálculo através de amostragem dos sinais e aproximação integral:

10 Valor eficaz da tensão e corrente? Potência ativa? Potência aparente total? Potência reativa total? Potência reativa de deslocamento?

11 Potência ativa: Processo de medição analítica através da definição integral 1 P= vt.itdt 0 Devido a não-linearidade do sinal de corrente, reparte-se a integral em três segmentos: 1 π 4π 2π 3 3 P= 100.senωt -10.dωt+ 100.senωt 10.dωt+ 100.senωt -10.dωt 0 π 4π 2π P= cosωt - cosωt + cosωt 2π P= , ,5-0,5 +1+0,5 = π π 3π 4π 3 2π 0 π 3 4π 3 P=318,31W

12 Potência aparente: Prof. Fernando 0 Belchior π 3 Junho/2014 4π 3 Processo de medição analítica através da definição integral S =V EF.I EF= v t.dt. i t.dt π 2π cos 2ωt V EF= 10.sen ωt.dωt = dωt = 2π 0 2π π 10 ωt sen2ωt = =70,71V 2π π 3 2 4π 3 2 2π 2 I EF= -10 dωt+ 10 dωt+ -10 dωt = 0 π 4π 2π π 3 4π 3 2π 100 π 4π π 4π ωt + ωt + ωt = π- =10A 2π 2π 3Cap. 15 3écnicas 3 Computacionais 3 0

13 Processo de medição analítica através da definição integral Potência aparente: S =707,1VA Potência reativa total: A potência reativa total considera o efeito de defasamento das ondas bem como o efeito da distorção. Ela é, portanto, composta da parcela Q devida ao deslocamento e da parcela D devida aos harmônicos: Q =Q +D S =Q +P S =P +Q +D Q = 707,1-318,31 Q =631,4Var

14 Potência reativa de defasamento: Processo de medição analítica através da definição integral Para as ondas em questão, uma senoidal e outra distorcida, a potência reativa de defasamento pode ser obtida considerando a corrente fundamental (I 1 ) a partir da potência P, pois: P=V.I Para o caso estudado, tem-se que: cos(v, I 1 ) = 60º e V EF = 70,71 V 1.cos V I EF EF 1 Portanto, a valor eficaz da corrente fundamental vale: 318,31 I EF 1 = =9,0A 70,71 x 0,5 em-se, então, a potência reativa de deslocamento: Q=V.I.sen V,I =70,91 x 9,0 x sen60 EF EF1 1 o Q=551,13Var desloc.

15 Potência reativa de distorção: Fator de potência total: Somente devido ao defasamento entre as ondas fundamentais chamamos de fator de deslocamento. Ele é dado pela razão entre a potência ativa P e a potência aparente S das fundamentais: Processo de medição analítica através da definição integral Q =Q +D D= 631,4-551, P FD= =cos 60 S O fator de potência total para o circuito em questão é dado pela razão entre a potência ativa P e a potência aparente total S : P 318,31 FP = = S 707,1 D=308,1Var harm. o FD=0,5 FP =0,45

16 Processo de medição analítica através da definição integral Q=551,13Var Vetor de Potências O ângulo entre o vetor S e o eixo da potência P dá origem a um fator de potência menor que FD, devido a potência reativa de distorção (arc cos (0,45) = 63,2º). P=318,31W

17 Processo de medição por amostragem de sinais e aproximação integral Para se fazer o cálculo das grandezas envolvidas nos sinais, é necessário que o sistema numérico micro-processado amostre e armazene estas informações. Portanto, para os 2 sinais mostrados será necessário, então, criar 2 vetores numéricos, 1 para cada sinal, com N amostras cada. Para o exemplo em questão, utilizaremos 32 amostras por sinal, uniforme e igualmente espaçadas. Uma tal amostragem fará com que se tenha um espaçamento de e (graus) entre as amostras. e é o período da onda dividido pelo número de amostras N: Para o exemplo tem-se então que e vale 11,25º. 360 = e N 32

18 Processo de medição por amostragem de sinais e aproximação integral Por outro lado, o momento de efetuar a primeira amostra pode ocorrer em qualquer instante entre 0 o e 10º. Ou seja, pode-se ter inúmeras possibilidades de partida do processo de amostragem. Para um sistema de medição numérico real, pode-se encontrar desde um sistema sincronizado com o zero de alguma onda de referência ou um processo aleatório de partida, em qualquer ponto do sinal. Normalmente, para efeito de cálculo somente, considera-se que o sistema de amostragem parta em um ponto intermediário entre os tempos mínimo e máximo em que a primeira amostra possa ocorrer. Portanto, adota-se que o ponto para ocorrer a primeira amostra - p - seja o meio do caminho entre zero e e, portanto: Primeira amostra p. Para o exemplo, tem-se então que p, vale 5,625 o. 11,25 e = p 2 2

19 Resumindo, obtém-se: N = 32 amostras; Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI Processo de medição por amostragem de sinais e aproximação integral e = 11,25 o, intervalo de espaçamento entre as amostras; p = 5,625º, intervalo desde o zero da onda para ocorrer a 1ª amostra. A partir destes valores, monta-se uma tabela que contenha os vetores das amostras dos sinais. Na mesma tabela a seguir, mostra-se também os valores das amostras ao quadrado (v 2 j e i j2 ), bem como o produto de cada par (v j,i j ). Para o cálculo das grandezas envolvidas nos sinais, a somatória de cada coluna (vetor numérico) é fornecida no final.

20

21 abela das amostras dos sinais de tensão e corrente Amostra Ângulo v j [V] i j [A] v 2 j i 2 j v j x i j 1 5,625 9,80-10,00 96,07 100,00-98, ,875 29,03-10,00 842,65 100,00-290, ,125 47,14-10, ,15 100,00-471, ,375 63,44 10, ,55 100,00 634, ,625 77,30 10, ,45 100,00 773, ,875 88,19 10, ,85 100,00 881, ,125 95,69 10, ,35 100,00 956, ,375 99,52 10, ,93 100,00 995, ,625 99,52 10, ,93 100,00 995, ,875 95,69 10, ,35 100,00 956, ,125 88,19 10, ,85 100,00 881, ,375 77,30 10, ,45 100,00 773, ,625 63,44 10, ,55 100,00 634, ,875 47,14 10, ,15 100,00 471, ,125 29,03 10,00 842,65 100,00 290, ,375 9,80 10,00 96,07 100,00 98, ,625-9,80 10,00 96,07 100,00-98, ,875-29,03 10,00 842,65 100,00-290,28

22 abela das amostras dos sinais de tensão e corrente Amostra Ângulo v j [V] i j [A] v 2 j i 2 j v j x i j ,125-47,14 10, ,15 100,00-471, ,375-63,44-10, ,55 100,00 634, ,625-77,30-10, ,45 100,00 773, ,875-88,19-10, ,85 100,00 881, ,125-95,69-10, ,35 100,00 956, ,375-99,52-10, ,93 100,00 995, ,625-99,52-10, ,93 100,00 995, ,875-95,69-10, ,35 100,00 956, ,125-88,19-10, ,85 100,00 881, ,375-77,30-10, ,45 100,00 773, ,625-63,44-10, ,55 100,00 634, ,875-47,14-10, ,15 100,00 471, ,125-29,03-10,00 842,65 100,00 290, ,375-9,80-10,00 96,07 100,00 98,02 Σ ,19

23

24 A partir dos valores da tabela e as expressões mostradas para o cálculo das grandezas, temos: valor eficaz aproximado da tensão: 1 N 2 1 j j=1 V EFA = v = =70,71V N 32 valor eficaz aproximado da corrente: 1 1 I EFA = i = 3.200=10,0A N 32 N 2 j j=1

25 A partir dos valores da tabela e as expressões mostradas para o cálculo das grandezas, temos: valor aproximado da potência aparente eficaz: N N A EFA EFA j j N j=1 N j=1 S =V.I = v i =70,71 x 10,0=707,11VA valor aproximado da potência ativa: N 1 1 A j j j=1 P = v.i = ,19=354,26W N 32 P analítico = 318,31W

26 A partir dos valores da tabela e as expressões mostradas para o cálculo das grandezas, temos: valor aproximado da potência reativa total: Q A= SA -P A = 707,11-354,26 =611,97var valor aproximado do fator de potência total: P 354,26 A FP A= = =0,5 SA 707,11 ângulo de defasagem: =acos(fp)=59,93º FP analítico = 0,45 Q analítico = 631,4Var Φ analítico = 63,2º

27 Quanto maior o número de amostras, mais exato será o valor das grandezas calculadas anteriormente, ou seja: Potência ativa, Potência reativa, fator de potência, principalmente. Comparativo do número de amostras n V eficaz I eficaz St P ativa Q reativo FP Φ Z ,71 10,00 707,11 320,56 630,27 0,45 63,04 7, ,71 10,00 707,11 354,26 611,97 0,50 59,93 7,07 Analítico 70,71 10,00 707,11 318,31 631,4 0,45 63,2 7,07

28 Obrigado pela atenção!! FIM

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