Algoritmos e Estruturas de Dados. Grupo 1

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1 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Algoritmos e Estruturas de Dados Trabalho prático P1B 2003/04 2 o semestre Efectue as tarefas de programação descritas abaixo, usando a linguagem C++ em ambiente Linux. Para efeitos de avaliação não terá de efectuar todas as tarefas, mas apenas aquelas que forem indicadas pelo docente da sua aula prática. Grupo 1 Pretende-se escrever um programa em C++, denominado interpol, que calcula valores intermédios de uma função cuja tabela é dada. O código fonte do programa deve ser escrito num ficheiro com o nome interpol.cpp e deve ser compilado com o comando g++ interpol.cpp -o interpol 1. O programa deve ler pares de valores reais de um ficheiro de texto, cujo nome é indicado na linha de comando. Cada par representa a abcissa e a ordenada de um ponto pertencente à função. Os valores devem ser guardados em dois vectores (um de abcissas e outro de ordenadas) da mesma dimensão. Escreva o programa de maneira a que a leitura da tabela seja executada por uma função com a seguinte declaração: Experimente o programa com o ficheiro tabsen.txt que contém uma tabela dos valores da função seno para argumentos em graus entre 90 e +90. A tabela contém 181 pontos. 2. Acrescente ao programa uma função que determina a posição (índice do vector) da abcissa igual a um dado valor, ou, caso a abcissa não exista na tabela, a posição do extremo do intervalo mais pequeno que contenha esse valor (deve ser escolhida a posição do extremo mais perto do início do vector de ordenadas). Caso não exista tal posição, a função deve retornar -1. FEUP/LEEC Pág. 1 de 5 P1B

2 Por exemplo, para a tabela de tabsen.txt, o valor zero está na posição 90; já a abcissa 45.5 está entre 45 (na posição 135) e 46 (na posição 136), pelo que a função deve retornar 135. int localizar_abcissa(double v, vector<double> &ab); Para testar a função, altere o programa para apresentar a localização na tabela de valores lidos de standard input. 3. Acrescente ao programa uma função que determina o valor da função tabelada para uma abcissa qualquer. Se a abcissa existir na tabela, a função deve retornar o respectivo valor; senão, deve estimar o valor por interpolação linear. A fórmula para obter a ordenada y para a abcissa x, com x 0 < x < x 1 é a seguinte: y = y 0 + y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) double interpolar(double v, vector<double> &ab, vector<double> &ord); A função interpolar deve usar a função localizar_abcissa para determinar a posição na tabela de x 0. Para testar a função, altere o programa para apresentar o valor da função tabelada para valores da abcissa lidos de standard input. 4. Altere o programa anterior para apresentar em standard output uma tabela dos valores da função seno para os valores 89.5, 88.5,..., 0.5,..., Para cada valor do ângulo, o programa deve apresentar o valor estimado por interpolação, o valor calculado pela função sin() e a diferença entre os dois valores. Compare os resultados obtidos para as tabelas tabsen.txt e tabsen2.txt. Nota: A função sin() aceita apenas argumentos em radianos. Grupo 2 Pretende-se escrever um programa em C++, denominado integral, que calcula o integral de uma função definida por uma tabela. O código fonte do programa deve ser escrito num ficheiro com o nome integral.cpp e deve ser compilado com o comando g++ integral.cpp -o integral FEUP/LEEC Pág. 2 de 5 P1B

3 1. O programa deve ler pares de valores reais de um ficheiro de texto, cujo nome é indicado na linha de comando. Cada par representa a abcissa e a ordenada de um ponto pertencente à função. Os pares encontram-se ordenados por abcissa crescente. Os valores lidos devem ser guardados em dois vectores (um de abcissas e outro de ordenadas) da mesma dimensão. Escreva o programa de maneira a que a leitura dos dados seja executada por uma função com a seguinte declaração: Experimente o programa com o ficheiro tabexp.txt que contém uma tabela de valores da função exponencial. A tabela contém 300 pontos. 2. Acrescente ao programa uma função que determina a posição (índice do vector) da abcissa mais próxima de um dado valor x. Se não existir nenhuma abcissa a uma distância igual ou inferior a tol do valor x, a função deve retornar -1. int localizar_x(const double v, const double tol, const vector<double> &ab); Nota: A função double abs(double), definida em math.h, produz o valor absoluto do seu argumento. Consulte o manual com o comando man abs. Para testar a função, altere o programa para apresentar a localização de abcissas especificadas interactivamente. Use 0.01 como valor de tolerância. Experimente o programa com os ficheiros tabexp.txt e tabexp2.txt. 3. Acrescente ao programa uma função que calcula uma aproximação ao integral da função tabelada. Os limites inferior e superior são indicados pelos índices das respectivas ordenadas. O integral deve ser aproximado pela soma da áreas dos trapézios delimitados por pontos consecutivos da função, conforme indicado na figura. A área de cada trapézio é: [ ] f(a) + f(b) A = (b a) 2 FEUP/LEEC Pág. 3 de 5 P1B

4 y f(a) f(b) f(x) A 1 A 2 A 3 A est = a b A 1 + A 2 + A 3 x double integrar(const int limi, const int lims, const vector<double>& ab, const vector<double> &ord); 4. Altere o programa anterior para calcular e apresentar o integral da função tabelada entre x = 0 e x = 1. Use as funções definidas nas alíneas anteriores. Compare os valores obtidos com as tabelas de tabexp.txt e tabexp2.txt entre si, bem como com o resultado exacto (e 1). Nota: A função double exp(double), declarada em math.h, implementa f(x) = e x. Consulte o manual com o comando man exp. Grupo 3 Pretende-se escrever um programa em C++, denominado aprox que ajuda a determinar a melhor aproximação a uma função tabelada f(x). O código fonte do programa deve ser escrito num ficheiro com o nome aprox.cpp e deve ser compilado com o comando g++ aprox.cpp -o aprox 1. O programa deve ler pares de valores reais de um ficheiro de texto, cujo nome é indicado na linha de comando. Cada par representa a abcissa e a ordenada de um ponto pertencente à função. Os pares encontram-se ordenados por abcissa crescente. Os valores lidos devem ser guardados em dois vectores (um de abcissas e outro de ordenadas) da mesma dimensão. Escreva o programa de maneira a que a leitura dos dados seja executada por uma função com a seguinte declaração: FEUP/LEEC Pág. 4 de 5 P1B

5 Experimente o programa com o ficheiro tabexp.txt que contém uma tabela de valores da função exponencial. A tabela contém 300 pontos. 2. Acrescente ao programa uma função que determina a posição (índice do vector) da abcissa mais próxima de um dado valor x. Se não existir nenhuma abcissa a uma distância igual ou inferior a tol do valor x, a função deve retornar -1. int localizar_x(const double v, const double tol, const vector<double> &ab); Nota: A função double abs(double), definida em math.h, produz o valor absoluto do seu argumento. Consulte o manual com o comando man abs. Para testar a função, altere o programa para apresentar a localização de abcissas especificadas interactivamente. Use 0.01 como valor de tolerância. Experimente o programa com os ficheiros tabexp.text e tabexp2.txt. 3. Acrescente ao programa uma função que calcula o erro médio quadrático entre a função tabelada e a função p(x) = ax 2 +c, para valores dados de a e c. Os limites inferior e superior são indicados pelos índices das respectivas ordenadas. O erro médio quadrático da aproximação p(x), avaliado para N pontos x 1,..., x N, é dado por: emq = 1 N N (f(x i ) p(x i )) 2 i=1 double erro_med_quadratico(const double coeff_a, const double coeff_c, const int limi, const int lims, const vector<double>& ab, const vector<double> &ord); Nota: A função double sqrt(double), definida em math.h, calcula a raiz quadrada do seu argumento. Consulte o manual com o comando man sqrt. 4. Altere o programa anterior para pedir repetidamente ao utilizador os valores de a e c e apresentar o correspondentes erro médio para a aproximação por p(x) da função tabelada no intervalo 0 x 1. O utilizador termina a introdução de dados com ctrl-d. Use o programa para determinar (por tentativas) os melhores valores de a e c. Nota: Existem algoritmos que permitem determinar com rigor os valores dos parâmetros que levam à melhor aproximação (cf. Análise Numérica, método dos mínimos quadrados). Fim. FEUP/LEEC Pág. 5 de 5 P1B