Aula 3 11/12/2013. Integração Numérica

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1 CÁLCULO NUMÉRICO

2 Aula 3 11/12/2013 Integração Numérica

3 Objetivo: Calcular integrais utilizando métodos numéricos Cálculo Numérico 3/64

4 Integração Numérica Cálculo Numérico 4/64

5 Integração Numérica Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Exemplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f(x), não é possível calcular b a f ( x) dx Forma de obtenção de uma aproximação para a integral de f(x) num intervalo [a, b] Métodos Numéricos. Cálculo Numérico 5/64

6 Integração Numérica O uso desta técnica decorre do fato de: por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio; conhecer-se o resultado analítico da integral, mas, seu cálculo é somente aproximado; a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados. Cálculo Numérico 6/64

7 Integração Numérica Idéia básica da integração numérica substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. Integração numérica de uma função f(x) num intervalo [a,b] cálculo da área delimitada por essa função, recorrendo à interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio p n (x). Cálculo Numérico 7/64

8 Integração Numérica As fórmulas terão a expressão abaixo: b a x i f ( x) dx [a,b],i A 0 f ( x 0 ) + = 01,,...,n A f 1 ( x 1 ) A n f ( x n ), Fórmulas de integração (fórmulas de quadratura): I n ( f ) = n i= 0 A f i ( x i ) x 0,..., x n - pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b] (nós de integração). A 0,..., A n - coeficientes a determinar, independentes da função f (x) (pesos). Cálculo Numérico 8/64

9 Integração Numérica Métodos de integração numérica mais utilizados Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra dos Trapézios, x 0 =a e x n =b. Regra 1/3 de Simpson Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os x i têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b Cálculo Numérico 9/64

10 Antes de discutir a forma geral de fórmulas de quadraturas, vamos considerar as fórmulas produzidas ao utilizar os primeiro e segundo polinômios de Lagrange com pontos igualmente espaçados. L k ( x) = n j=0 j k n j=0 j k ( x x ) j ( x k x ) j Forma Geral de Lagrange Cálculo Numérico 10/64

11 Regras dos Trapézios Cálculo Numérico 11/64

12 Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Simples - consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma função f(x), ou seja, n = 1. Este polinômio terá a forma y = a 0 + a 1 x e trata-se da equação que une dois pontos: a = x 0 e b = x 1. Cálculo Numérico 12/64

13 Regra dos Trapézios Simples Área do trapézio: A=h. (T+t) /2 h - altura do trapézio t - base menor T - base maior De acordo com a figura: h= b a = x 1 x 0 t = f(b) = f(x 1 ) T = f(a) = f(x 0 ) x1 h + 2 Logo, f ( x) dx [ f ( x ) f ( x )] x Cálculo Numérico 13/64

14 Regra dos Trapézios Simples Intervalo [a, b] relativamente pequeno aproximação do valor da integral é aceitável. Intervalo [a, b] de grande amplitude aproximação não indicada. pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear. A amplitude dos sub-intervalos será h = (b - a) / n. A integral no intervalo é dada pela soma das integrais definidas pelos sub-intervalos. Regra dos trapézios simples aplicada aos sub-intervalos. Uso da Regra dos Trapézios Composta (Repetida): soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. Cálculo Numérico 14/64

15 Regra dos Trapézios Composta (Repetida) Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu subintervalo. Cálculo Numérico 15/64

16 Regra dos Trapézios Composta Fórmula: x n x 0 f (x)dx h 2 f (x h [ 0)+ f (x 1 )] + [ 2 f (x 1)+ f (x 2 )] h [ 2 f (x )+ f (x ) n 1 n ] Só os termos f(x 0 ) e f(x n ) não se repetem, assim, esta fórmula pode ser simplificada em: x n x 0 f (x)dx h { 2 f (x 0)+ 2[ f (x 1 )+ f (x 2 ) f (x n 1 )] + f (x n )} Cálculo Numérico 16/64

17 Regra dos Trapézios Exemplo: Estimar o valor de Regra dos Trapézios Simples - 2 pontos I 2,48508 Regra dos Trapézios Composta - 3 pontos I 2,1369 Regra dos Trapézios Composta - 9 pontos I 2,0936 A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2, ( 2 1 / x ) dx x y=(1+x²) -1/2 0,0 1, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0, ,5 0, ,0 0,24254 Cálculo Numérico 17/64

18 Erro da Regra dos Trapézios Interpolação Polinomial (Teorema) E n Sejam x 0 < x 1 <... < x n, (n + 1) pontos. Seja f(x) com derivadas até a ordem (n + 1) para todo x pertencente ao intervalo [x 0, x 1 ]. Seja p n (x), o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x 0, x 1,..., x n. Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x 0, x 1 ], o erro é dado por: ( x) = f ( x) P n ( x) = ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n ) f ( n+1 ) ( ξ x ) ( n +1)! Cálculo Numérico 18/64

19 Erro da Regra dos Trapézios Interpolação Polinomial (Corolário 1) Sob as hipóteses do Teorema 2, se f (n+1) (x) for contínua em I = [x 0, x 1 ], podemos escrever a seguinte relação: E n ( x) = f ( x) P n ( x) ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n ) M n+1 n +1 ( )! onde: M n+1 = máx x I ( f n+1 ) ( x) Cálculo Numérico 19/64

20 Erro da Regra dos Trapézios Interpolação Polinomial (Corolário 2) Se além das hipóteses anteriores, os pontos forem igualmente espaçados, então: f ( x) P n ( x) < hn+1 M n+1 4( n +1) Cálculo Numérico 20/64

21 Regra dos Trapézios Erro da Regra dos Trapézios simples Da interpolação polinomial, temos que: ( ) f ( x) = p 1 ( x) + ( x x 0 )( x x 1 ) f " ξ x Portanto, o erro na integração pela Regra do Trapézio Simples é: x 1 E T = x x 0 x x 1 x 0 2 ( )( ) f " ( ξ x ) 2, ξ x ] x 0, x 1 [ dx Cálculo Numérico 21/64

22 Regra dos Trapézios Erro da Regra dos Trapézios simples E T = h3 12 f " ( c ), c ] x 0, x 1 [ Resumidamente, a Regra dos Trapézios Simples nos dá: x 1 f ( x)dx = h 2 "# f ( x 0) + f ( x 1 ) $ % h3 12 f " c x 0 ( ) Cálculo Numérico 22/64

23 Regra dos Trapézios Erro da Regra dos Trapézios Composta O erro para cada um dos trapézios é dado por: E T = h3 12 f " ( c ), c ] x 0, x 1 [ Logo o erro da Regra dos Trapézios Composta será a soma: n 1 h 3 ( ) E TR = 12 f " c i, c i x i, x i+1 i=0 ] [ Cálculo Numérico 23/64

24 Regra dos Trapézios Erro da Regra dos Trapézios Composta E TR = nh3 f "( ξ) 12 Calcularemos um limitante superior para o erro: E TR onde: nh3 12 M 2 M 2 = máx x [a,b] f " x ( ) Cálculo Numérico 24/64

25 Regra dos Trapézios Exemplo: Seja, I = 1 0 e dx calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido. x x 1 x 0 f (x)dx h [ 2 f (x )+ f (x ) 0 1 ] I = 1 e x dx 1, Cálculo Numérico 25/64

26 Regra dos Trapézios Estimativa do erro cometido: E T = (1)3 12 eξ, ξ (0,1) Portanto: E T 1 12 máx x [0,1] e x 0, e 1 = máx x [ 0, 1] e x Cálculo Numérico 26/64

27 Regra dos Trapézios Exemplo: Seja, I = 1 0 e dx calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a Regra dos Trapézios Composta. Estime o erro cometido. x x n x 0 f (x)dx h { 2 f (x )+ 2 f (x )+ f (x 0 [ ) f (x ) 1 2 n 1 ] + f (x n )} [0,1] subdivididos em 10 subintervalos com h = 0,1 I = 1 e x dx 1, Cálculo Numérico 27/64

28 Regra dos Trapézios Estimativa do erro cometido: E TR = 10( 0, 1) 12 3 e ξ, ξ ( 0, 1) Portanto : E TR 0, máx x [ 0, 1] e x 0, e 1 = máx x [ 0, 1] e x Cálculo Numérico 28/64

29 Regras 1/3 de Simpson Cálculo Numérico 29/64

30 Regra 1/3 de Simpson Novamente podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio de grau 2. L k ( x) = n j=0 j k n j=0 j k ( x x ) j ( x k x ) j Forma Geral de Lagrange Cálculo Numérico 30/64

31 Regra 1/3 de Simpson Novamente podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio de grau 2. p 2 ( )( x x 2 ) ( )( x 0 x 2 ) f ( x ) + ( x x )( x x 0 2 ) 0 ( x 1 x 0 )( x 1 x 2 ) f ( x ) + ( x x )( x x 0 1 ) 1 ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 ) f ( x 2) ( x) = x x 1 x 0 x 1 x 2 x 0 f (x)dx h [ 3 f (x 0)+ 4 f (x 1 )+ f (x 2 )] = I S Cálculo Numérico 31/64

32 Regra 1/3 de Simpson Repetida Da mesma forma que a Regra dos Trapézios Composta, aplicaremos a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo [a, b] = [x 0, x n ]. Então vamos supor subintervalos igualmente espaçados. Para cada subintervalo teremos: x 2 k x 2 k 2 f (x)dx h [ 3 f (x 2k 2)+ 4 f (x 2k 1 )+ f (x 2k )] = I S com k = 1,..., m/2, sendo m um número par. Cálculo Numérico 32/64

33 Regra 1/3 de Simpson Repetida Assim, a integral obtida pela regra de aproximação de Simpson Repetida será dada por: I SR = x m { f (x)dx} h {[ f (x 0 )+ f (x m )] + x f (x 1 )+ f (x 3 )+ + f (x m 1 ) [ ] + +2[ f (x 2 )+ f (x 4 )+ + f (x m 2 )]} Cálculo Numérico 33/64

34 Regra 1/3 de Simpson A demonstração da expressão para o erro da Regra 1/3 de Simpson é muito mais trabalhosa do que a da Regra do Trapézio. Erro da Regra 1/3 de Simpson Simples E S = h5 90 f ( iv ) ( c), c ] x 0, x 2 [ Cálculo Numérico 34/64

35 Regra 1/3 de Simpson Erro da Regra 1/3 de Simpson Composta E SR = m 2 h 5 90 f iv ( ) ( ξ), ξ ] x 0, x m [ Calcularemos um limitante superior para o erro: E SR onde: ( b a )h M 4 = máx x [x 0,x m ] ( f iv ) M 4 x ( ) Cálculo Numérico 35/64

36 Regra 1/3 de Simpson Repetida = Exemplo: Seja, I 1 0 e dx calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com m=10. Estime o erro cometido. x x m x 0 f (x)dx h 3 { [ f (x 0 )+ f (x m )] + 4 f (x 1 )+ f (x 3 )+ + f (x m 1 ) [ ] +2[ f (x 2 )+ f (x 4 )+ + f (x m 2 )]} [0,1] subdivididos em 10 subintervalos com h = 0,1 I = 1 e x dx 1, Cálculo Numérico 36/64

37 Regra 1/3 de Simpson Repetida Estimativa do erro cometido: E SC = 5 0,15 90 eξ, ξ ]0,1[ Portanto: E SC 5, máx x [0,1] e x 1, e 1 = máx x [ 0, 1] e x Cálculo Numérico 37/64

38 Comparação Vamos comparar os resultados obtidos pela Regra dos Trapézios e pela Regra 1/3 de Simpson Regra do Trapézio Simples: 1 e x dx 1, E T 0, Regra dos Trapézios Composta (m = 10): 1 e x dx 1, E TR 0, Regra 1/3 de Simpson Composta (m = 10): 1 e x dx 1, E SC 1, Cálculo Numérico 38/64

39 Observações A Regra dos Trapézios integra sem erro polinômios de grau n 1; A Regra 1/3 de Simpson integra sem erro polinômios de grau n 3. Para um n qualquer, uma fórmula de Newton-Cotes é dada por: Cálculo Numérico 39/64

40 Fórmulas de Newton-Cotes x n f ( x)dx = p n ( x)dx = usando a fórmula de Lagrange para p n x x 0 x n x 0 x n ( ( )) = "# f ( x 0 )L 0 ( x) + f ( x 1 )L 1 ( x) + + f ( x n )L n ( x) $ % dx x 0 " x n $ = & L 0 ( x)dx' #& %' f x 0 x 0 = A 0 f x 0 ( ) + & L 1 x $ ( )dx' %' f x 1 Assim, nas fórmulas de Newton-Cotes, x n " #& ( ) + A 1 f ( x 1 ) + + A n f ( x n ) A k = L ( k x)dx x n x 0 " x n ( ) + + & L n x #& x 0 $ ( )dx' %' f x n ( ) x 0 Cálculo Numérico 40/64

41 L k ( x) = n j=0 j k n j=0 j k ( x x ) j ( x k x ) j Forma Geral de Lagrange Cálculo Numérico 41/64

42 Teorema Geral do Erro f C n+2 [ a, b] Seja. Então o erro na integração numérica, E n, usando as fórmulas de Newton-Cotes é: Se n é ímpar: Se n é par: ( E n = hn+2 f n+1 ) ( n +1)! ξ ( ) n 0 u( u 1) ( u n)du, ξ [ a, b] ( E n = hn+3 f n+2 ) ( n + 2)! ξ ( ) n 0 " u n % $ 'u( u 1) ( u n)du, ξ a, b # 2 & [ ] Cálculo Numérico 42/64

43 Quadratura Gaussiana Cálculo Numérico 43/64

44 É possível deduzir outras fórmulas do mesmo tipo que as de Newton-Cotes, ou seja: b a f ( x)dx A 0 f ( x ) 0 + A 1 f ( x ) A n f ( x ) n onde x 0, x 1,..., x n são n + 1 pontos distintos. Cálculo Numérico 44/64

45 Nas fórmulas de Newton-Cotes, os pontos x 0, x 1,..., x n sobre os quais são construídos os polinômios L k (x) são igualmente espaçados, pré-determinados em [a,b]. Na Quadratura Gaussiana deixamos x 0, x 1,..., x n indeterminados e ainda conseguiremos fórmulas do mesmo tipo: Onde: b a f ( x)dx A 0 f ( x ) 0 + A 1 f ( x ) A n f ( x ) n b a A k = L ( k x)dx Cálculo Numérico 45/64

46 Regra do Trapézio: Baseada em tomar a área sob uma reta ligando os valores da função nas extremidades do intervalo de integração. I ( b a) f ( a ) + f ( b) 2 a b Cálculo Numérico 46/64

47 Quadratura Gaussiana: Baseada em tomar a área sob uma reta ligando dois pontos quaisquer da curva, posicionando-os sabiamente, obtendo uma estimativa melhorada da integral. Cálculo Numérico 47/64

48 Método dos Coeficientes Indeterminados As fórmulas de integração numérica, como a regra do trapézio podem ser deduzidas usando-se o método dos coeficientes indeterminados. Este método será, também, empregado para deduzir as fórmulas de Gauss-Legendre. Cálculo Numérico 48/64

49 Regra do Trapézio A regra do trapézio fornece resultados exatos quando a função a ser integrada é uma constante. Cálculo Numérico 49/64

50 Regra do Trapézio A regra do trapézio fornece resultados exatos quando a função a ser integrada é uma reta. Cálculo Numérico 50/64

51 Fórmula de Gauss-Legendre Fórmula de Gauss-Legendre de dois pontos O objetivo continua sendo determinar coeficientes de uma equação da forma: I c 0 f ( x ) 0 + c 1 f ( x ) 1 em que: c s são coeficientes desconhecidos; x 0 e x 1 são incógnitas. Cálculo Numérico 51/64

52 Descrição gráfica das variáveis desconhecidas x 0 e x 1 da integração por quadratura de Gauss. Cálculo Numérico 52/64

53 Fórmula de Gauss-Legendre de dois pontos A fórmula de Gauss-Legendre de dois pontos é dada por: I f # % $ 1 3 & (+ f ' # % $ 1 & ( 3 ' para extremos de integração -1 e 1. Cálculo Numérico 53/64

54 Fórmula de Gauss-Legendre de dois pontos Para aplicarmos outros extremos, temos que substituir os valores de x e dx dados por: x = b + a na equação a ser integrada. ( ) + ( b a) x d 2 dx = b a 2 dx d Cálculo Numérico 54/64

55 Exemplo 1 Use a fórmula de Gauss-Legendre de dois pontos para calcular a integral de: f x ( ) = 0, x 200x x 3 900x x 5 entre os extremos x = 0 e x = 0,8. Cálculo Numérico 55/64

56 Exemplo 1 O valor da integral dado pela fórmula de Gauss-Legendre é de 1, O valor EXATO da integral é 1, O erro relativo porcentual (ε t ) desta aproximação é de -11,1%. ε t = [(valor exato valor aproximado)/valor exato]. 100% Cálculo Numérico 56/64

57 Comparação de erros Este resultado é comparável em módulo ao erro que se comete na aplicação da regra do trapézio com n = 4 ou de uma única aplicação da regra de 1/3 de Simpson (3 pontos). Observe que a quadratura Gaussiana alcança essa precisão com base em apenas dois cálculos da função. Cálculo Numérico 57/64

58 Fórmula de Gauss-Legendre Fórmula de Gauss-Legendre para mais pontos Na forma geral, temos: I c 0 f ( x ) 0 + c 1 f ( x ) 1 +!+ c n 1 f ( x ) n 1 em que n é o número de pontos. Cálculo Numérico 58/64

59 Fatores de peso, c; e argumentos da função, x; nas fórmulas de Gauss-Legendre Cálculo Numérico 59/64

60 Exemplo 2 Use a fórmula de Gauss-Legendre de três pontos para fazer uma estimativa da integral da mesma função do exemplo anterior. f x ( ) = 0, x 200x x 3 900x x 5 Cálculo Numérico 60/64

61 Fatores de peso, c; e argumentos da função, x; nas fórmulas de Gauss-Legendre Cálculo Numérico 61/64

62 Como a quadratura de Gauss exige cálculos da função em pontos que não são uniformemente espaçados dentro do intervalo de integração, não é apropriada para os casos nos quais a função não é conhecida analiticamente. Logo, não é adequada para problemas de engenharia que lidem com dados tabulados. Porém, quando a função for conhecida, sua eficácia pode ser uma vantagem decisiva. Cálculo Numérico 62/64

63 Análise de Erro O erro para as fórmulas de Gauss-Legendre é dado, em geral, por: E t = 2 2n+3 4!" ( n +1)! # $ 2n + 3!" ( )!# f 2n+2 3 $ ( ) 2n + 2 ( ) ( ξ) ( f 2n+2 ) em que n é o número de pontos menos um; é a (2n+2)-ésima derivada da função depois da mudança de variáveis, com ξ localizado em algum ponto no intervalo de -1 a 1. Novamente, não sabemos o valor de ξ, portanto temos que encontrar um limitante superior para o erro. ξ ( ) Cálculo Numérico 63/64

64 Observe que, as fórmulas de quadratura Gaussiana são exatas para polinômios de grau 2n +1. Cálculo Numérico 64/64