Pontifícia Universidade Católica de Goiás Departamento de Computação Fundamentos IV. Clarimar J. Coelho

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1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Departamento de Computação Fundamentos IV Clarimar J. Coelho

2 Essência do cálculo Conceitos matemáticos relacionados com a diferenciação e a integração

3 Diferenciar Significa marcar por diferenças, distinguir,..., perceber a diferença em ou entre No contexto da matemática, a derivada serve como o principal veículo para a diferenciação Representa a razão de mudança de uma variável dependente com respeito a uma variável independiente

4 Figura 1 - definição gráfica de derivada Conforme x se aproxima de zero ao ir de a) até c), a aproximação por diferenças vão se convirtendo em uma derivada

5 Definição matemática de derivada Começa com uma aproximação por diferenças y x = f(x i + x) f(x i ) x (1) y e f(x) são representações alternativas da variável dependente e x é a variável independente

6 Primeira derivada Se x aproxima de zero, como mostra a Figura de a) até c) O quociente das diferenças se converte em uma derivada dy dx = lim f(x i + x) f(x i ) x 0 x onde dy/dx, denotada por y ou f (x i ), é a primeira derivada de y em relação a x calculada em x i Como mostrado na Figura, a derivada é a inclinação da tangente à curva em x i

7 Integração O proceso inverso da diferenciação é a integração Integrar significa juntar partes em um todo, unir, indicar a qantidade total...

8 Integração, matematicamente I = b a f(x)dx (2) Que representa a integral da função f(x) em relação a variável independente x Calculada entre os limites x = a e x = b A função f(x) na Equação (2) se chama integrando

9 Total da soma A Equação (2) é o total da soma ou o valor de f(x)dx ao longo do intervalo de x = a e x = b O símbolo é uma letra S estilizada antiga que representa a estreita relação entre integração e somatório

10 Figura 2 - integral definida Representação gráfica da integral de f(x) entre os limites x = a e x = b A integral é equivalente a área abaixo da curva

11 Área sob a curva A Figura 2 representa uma manifestação gráfica do conceito Para funções que estão acima do eixo x, a integral, expressa pela Equação (2) corresponde a área abaixo da curva de f(x) entre x = a e x = b

12 Relação entre diferenciação e integração A distinção ou discriminação da diferenciação e o juntar da integral são processos relacionados De fato, inversamente relacionados

13 Diferenciação Se temos uma função dada y(t) que especifíca a posição de um objeto em função do tempo A diferenciação é um meio de determinar sua velocidade v(t) = d dt y(t)

14 Integração De manera inversa, se temos a velocidade como uma função do tempo, a integração determina sua posição y(t) = t 0 v(t)dt De maneira geral, o cálculo da integral I = b a f(t)dx É equivalente a resolver a equação diferencial dy dx = f(x) Para y(b) dada a condição inicial y(a) = 0

15 A função ser a diferenciada ou integrada deve estar em uma das siguientes três formas: 1. Uma função contínua simples como um polinômio, uma função exponencial ou uma função trigonométrica 2. Uma função contínua complicada que é difícil ou imposível de diferenciar ou integrar diretamente 3. Uma função tabulada onde os valores de x e f(x) são dados de um conjunto discreto de pontos, como dados experimentais de campo

16 No primeiro caso A derivada ou a integral da função simples é feita anaĺıticamente usando o cálculo

17 No segunda caso As soluções anaĺıticas não são fáceis e as vezes são impossíveis de obter Nesse caso, como no terceiro caso de dados discretos, deve ser usados métodos aproximados

18 Diferenciação gráfica Um método sem computador para determinar as derivadas a partir de dados é conhecido como diferenciação gráfica por áreas iguais Os dados (x,y) são tabulados e, para cada intervalo, emprega-se uma diferença dividida simples y/ x para estimar a inclinação (declive)

19 Os valores são representados como uma curva em degraus contra x (Figura 4) É uma curva suave para aproximar a área sob a curva é então desenhada É desenhada de modo que as áreas positivas e negativas são equilibradas visualmente As razões para determinados valores de x pode ser lido a partir da curva

20 Figura 3 - diferenciação por áreas iguais

21 Diferenciação por áreas iguais a) Usamos as diferenças divididas centradas para estimar a derivada em cada intervalo entre os dados b) As estimativas da derivada são representadas na forma de gráfico de barras Superpomos uma curva suave sobre este gráfico para aproximar a área debaixo do gráfico de barras Isso é feito traçando a curva tal que as áreas iguais positivas e negativas sejam equilibradas c) Então, é possível ler os valores de dy/dx da curva suave

22 Integração por áreas Podemos usar procedimentos visuais orientados para integrar dados tabulados e funções complicadas Um procedimento intuitivo simples consiste em desenhar o gráfico da função sobre uma quadrícula (Figura 5) e contar o número de cuadros que se aproximam da área Este número multiplicado pela área de cada quadro proporciona uma estimativa aproximada da área total sob a curva Esta estimativa pode ser melhorada com uma grelha cada vez mais fina

23 Figura 4 - uso de quadros para aproximar uma integral

24 Segmentos verticais Divisão da área em segmentos verticais ou barras, com um a altura igual ao valor da função no ponto médio de cada barra ( Figura 5) A área dos retángulos são calculadas e é feita a soma para estimar a área total Supõe-se que o valor no ponto médio da barra oferece uma aproximação válida da altura por meio da função em cada barra É possível melhorar as estimações usando mais barras (e em consequêcia mais finas) para aproximar da integral

25 Figura 5 - segmentos

26 Emprego da diferenciação A diferenciação é comum em engenharia devido a análise das mudanças de variáveis, tanto no tempo como no espaço Muitas leis e outras generalizações que aparecem constantemente baseiam-se na maneira previsível que a mudança se manifesta no mundo físico Um exemplo importante é a segunda lei de Newton, que não é expressa em termos da posição de um objeto, mas sim sobre a alteração do posição em relação ao tempo 1 1 A força resultante sobre um corpo é igual ao produto da massa pela aceleração.

27 Fluxo de calor Além deste exemplo que envolve tempo, inúmeras leis que regem a comportamento das variáveis no espaço são expressos em termos de derivadas Entre as mais comuns são as leis que consideram potencial ou gradientes Por exemplo, a lei de Fourier da condução de calor quantifica a observação de que o calor flui de regiões de maior a menor temperatura No caso unidimensional, é expresa na forma matemática como Fluxo de calor = k dt dx

28 Derivada como medida A derivada proporciona uma medida da intensidade da troca de temperatura, ou gradiente, que ocasiona a transferência de calor Leis similares proporcionam modelos práticos em muitas áreas da engenharia, entre eles incluem o modelo da dinamica dos fluidos, a transferência de massa, a cinética das reações químicas e o fluxo electromagnético A habilidade para estimar de maneira exata as derivadas é uma qualidade importante da nossa capacidade para trabalhar de maneira eficiente nestas áreas

29 Cálculo de áreas O cálculo das integrales é igualmente importante Vários exemplos relacionados diretamente com a idea da integral como a área sob a curva A Figura 6 ilustra alguns casos onde é usada a integração com este propósito

30 Figura 6 - integral para o cálculo de áreas a) Um topógrafo pode saber a área de um campo por uma corrente limitada e dois percursos em ziguezague b) Um engenheiro em hidráulica pode conhecer a área da seção transversal de um rio c) Um engenheiro em estrutura pode determinar a força exercida por vento não uniforme que sopra contra um lado de um prédio

31 Aplicações da integral a) Um topógrafo pode precisar de saber a área de um campo por uma corrente limitada e dois percursos em ziguezague b) Um engenheiro em hidráulica precisa conhecer a área da seção transversal de um rio c) Um engenheiro em estrutura pode determinar a força exercida por vento não uniforme que sopra contra um lado de um prédio

32 Fórmulas de integração de Newton-Cotes ou regras de quadratura de Newon-Cotes

33 Fórmulas de integração de Newton-Cotes As fórmulas de Newton-Cotes são os tipos de integração numérica mais comuns Se baseam na estratégia de substituir uma função complicada ou dados tabulados por um polinômio de aproximação que é fácil de integrar: I = b a f(x)dx (3) onde f n (x) = um polinômio da forma f n (x) = a 0 +a 1 x +...+a n 1 x n 1 +a n x n, n é o grau do polinômio

34 Figura 7 - segmentos A integral também pode ser aproximada através de um conjunto de polinomios seccionalmente aplicados a dados ou a função por segmentos de comprimento constante

35 Formas fechadas e abertas Existen formas fechadas e abertas das fórmulas de Newton-Cotes As formas fechadas são aquelas onde se conhecem os dados do inicio e ao final dos limites de integração (Figura 8a) As formas abertas tem limites de integração que se extendem além do intervalo dos dados (Figura 8b), são similares a extrapolação No geral, as formas abertas de Newton-Cotes não são usadas para integração definida São usadas para integrais impróprias e para a solução de equações diferenciais ordinárias

36 Figura 8 - formas abertas e fechadas Diferença entre as fórmulas de integração a) fechadas e b) aberta

37 Regra do trapézio

38 Regra do trapézio A regra do trapézio é a primera das fórmulas fechadas de integração de Newton- Cotes Corresponde ao caso onde o polinômio da Equação (3) é de primeiro grau I = b a f(x)dx f 1 (x)dx

39 Área sob a reta Já vimos que uma reta pode ser representada por f 1 (x) = f(a)+ f(b) f(a) (x a) (4) b a A área abaixo desta reta é uma aproximação da integral de f(x) entre os limites a e b I = b O resultado da integração é a [ f(a)+ f(b) f(a) ] (x a) dx b a I = (b a) f(a)+f(b) 2 Que é chamda regra do trapézio (5)

40 Como é obtida a regra do trapézio

41 Como obter a regra do trapézio Antes da integração, a equação (4) pode ser escrita como f 1 (x) = f(b) f(a) x +f(a) af(b) af(a) b a b a

42 Como obter a regra do trapézio, cont. Agrupando os últimos termos ou f 1 (x) = f(b) f(a) x + bf(a) af(a) af(b)+af(a) b a b a f 1 (x) = f(b) f(a) x + bf(a) af(b) b a b a Que pode ser integrada entre x = a e x = b para obter I = f(b) f(a) x 2 b a 2 + bf(a) af(b) x b a b a

43 Como obter a regra do trapézio, cont. Este resultado é calculado para dar I = f(b) f(a) b a Como b 2 a 2 = (b a)(b +a) (b 2 a 2 )+ bf(a) af(b) (b a) b a I = [f(b) f(a)] a+b 2 Multiplicando e agrupando termos, temos I = (b a) f(a)+f(b) 2 Que a fórmula para a regra do trapézio +bf(a) af(b)

44 Significado da regra do trapézio Geometricamente, a regra do trapézio é equivalente a aproximar a area do trapézio abaixo da reta que une f(a) e f(b) na Figura 9 A integral aproximada é representada como I largura alturamédia (6)

45 Figura 9 - representação gráfica da regra do trapézio

46 Figura 10 - representação gráfica da regra do trapézio a) A fórmula para calcular a área de um trapezóide: altura pela média das bases b) Para a regra do trapézio, o conceito é o mesmo mas agora o trapézio está sobre seu lado ou I (b a) alturamédia (7)

47 Forma geral de Newton-Cotes Na regra do trapézio, a altura média é a média dos valores da função nos pontos extremos, [f(a)+f(b)]/2 Todas as fórmulas fechadas de Newton-Cotes são escritas de modo geral como na equação (7) Só diferem na formulação da altura média

48 Erro da regra do trapézio Quando usamos a integral abaixo de um segmento de reta para aproximar a integral abaixo de uma curva temos um erro que pode ser importante (Figura 11) Uma estimativa do erro de truncamento local para uma só aplicação da regra do trapézio é ξ está em algum lugar no intervalo [ab] E i = 1 12 f (ξ)(b a) 3 (8) A equação (8) indica se a função sujeita a integração é linear, a regra do trapézio será exata Para funções com derivadas de segunda ordem e de ordem superior (com curva) pode ocorrer algum erro

49 Figura 11 - uma aplicação da regra do trapézio Representação gráfica do emprego de uma só aplicação da regra do trapézio para aproximar a integral de f(x) = x 200x x 3 900x x 5 de x = 0 a 0.8

50 Como obter o erro da regra do trapézio

51 Como obter o erro da regra do trapézio Uma maneira alternativa para obter a regra do trapézio consiste em integrar o polinômio de interpolação de Newton-Gregory I = b a [ f(a)+ f(a)α+ f ] (xi) dx (9) 2 Para simplificar a análise, considere que se a = (x a)/h, então dx = hdα

52 Como obter o erro da regra do trapézio, cont. Devido h = b a (para um segmento da regra do trapézio), os limites de integração a e b correspondem a 0 e 1, respectivamente Logo, a equação (9) é expresa como I = h 1 0 [f(a)+ f(a)α+ f (ξ)α(α 1)h 2 2 ] deα Supomos que para uma h pequeno, o termo f (x) é aproximadamente constante, então o resultado da integração é ( I = h [αf(a)+ α2 α 3 ) ] 1 2 f(a)+ 6 α2 f (ξ)h 2 4 0

53 Como obter o erro da regra do trapézio, cont. Tomando os limites de integração I = h = f(a)+f(b) f (ξ)h 3 Como f(a) = f(b) f(a), o resultado pode ser escrito como I = h = f(a)+f(b) }{{ 2 } Regra do trapézio 1 12 f (ξ)h 3 }{{} Erro de truncamento O primeiro termo é a regra do trapézio e o segundo é uma aproximação para o erro

54 Aplicação simples da regra de trapézio

55 Exemplo 1 - aplicação simples da regra do trapézio Usando a equação (5) integre numericamente f(x) = x 200x 2 +67x 3 900x x 5 No intervalo [0,0.8] O valor exato da integral determinado de forma anaĺıtica é

56 Solução Calcular a função nos limites f(0) = 0.2 f(0.8) = Substituindo na equação (5), temos I = =

57 Solução, cont. O erro pode ser calculado como E i = = Corresponde a um erro relativo porcentual de ǫ i = 89.5% A razão desse erro tão grande é evidente no gráfico da Figura 11

58 Solução, cont. A área sob a reta não leva em conta uma porção significativa da integral que está acima da reta Em situações reais, talvez não conhecemos o valor verdadeiro da integral Assim, é necessário uma estimativa do erro aproximado

59 Solução, cont. Para obter essa estimativa calculamos a segunda derivada da função no intervalo, derivando duas vezes a função original f (x) = x 10800x x 3

60 O valor médio da segunda derivada é calculado usando a equação Média = b a f(x)dx b a f (x) = ( x 10800x x 3 )dx = 60 Que é equivalente a equação (8) e o resultado é E a = 1 12 ( 60(0.8)3 ) = 2.56

61 Solução, cont. E a é da mesma ordem e mesmo sinal do erro verdadero Existe uma discrepância, uma vez que num intervalo desse tamanho, a média da segunda derivada não é necessariamente uma aproximação precisa de f (x) Indicamos o erro aproximado pela notação E a e o valor no caso exato por E i

62 Aplicação múltipla da regra de trapézio

63 Aplicação múltipla da regra de trapézio Uma forma de melhorar a precisão da regra do trapézio consiste em dividir o intervalo de integração de a até b em vários segmentos e aplicar o método a cada um dos intervalos (Figura 12) As áreas dos segmentos se somam para obter a integral em todo o intervalo As equações resultantes se chamam fórmulas de integração de aplicação múltipla ou compostas

64 Figura 12 - aplicação múltipla da regra do trapézio Ilustração da aplicação múltipla da regra do trapézio a) dois segmentos b) três segmentos c) quatro segmentos d) cinco segmentos

65 Figura 13 - formato geral e nomenclatura para integrais de aplicação múltipla Existe n+1 pontos igualmente espaçados (x 0,x 1,x 2,...,x n )

66 n segmentos de mesma largura Existem n segmentos de mesma largura h = b a n Se a e b são definidos como x 0 e x n, respectivamente, a integral completa é representada como (10) I = x1 x2 xn f(x)dx + f(x)dx f(x)dx x 0 x 1 x n 1

67 Substituir a regra de cada integral Substituindo a regra do trapézio em cada integral obtemos I = h f(x 0)+f(x 1 ) 2 +h f(x 1)+f(x 2 ) +...+h f(x n 1)+f(x n ) 2 2 (11) Ou agrupando os termos [ ] I = h n=1 f(x 0 )+2 f(x 1 )+f(x n ) 2 Ou usando a equação (10) para expressar a equação (12) na forma geral da equação (7) i=1 (12) I = (b a) }{{} Largura f(x 0 )+2 n=1 i=1 f(x i)+f(x n ) 2n } {{ } Altura média (13)

68 Divisão por 2n Como o somatório dos coeficientes de f(x) no numerador dividido entre 2n é igual a 1 A altura média representa uma média ponderada dos valores da função De acordo com a equação (13), aos pontos interiores são dadas duas vezes o peso que aos dois pontos extremos f(x 0 ) e f(x n )

69 Adição de erro Tem um erro com a regra trapézio para múltiplas aplicações, adicionando os erros individuais de cada segmento (b a)3 E t = 12n 3 n f (ξ i ) (14) Onde f (x i ) é a segunda derivada num ponto x i, localizado no segmento i Este resultado é simplificado ao estimar a média ou valor médio da segunda derivada em todo o intervalo como i=1 n f i=1 f (ξ i ) n Logo, f (ξ i ) n f e a equação (14) é reescrita como (15) E a = (b a)2 12n 2 f (16)

70 Erro dividido por quatro Assim, se o número de segmentos é duplicado O erro de truncamento é dividido por quatro Observe que a equação (16) é um erro aproximado devido a natureza aproximada da equação (15)

71 Exemplo 2 - aplicação múltipla da regra do trapézio Use a regra do trapézio com dois segmentos para estimar f(x) = x 200x x 3 900x x 5 No intervalo [a = 0 b = 0.8] Use a equação (16) para estimar o erro O valor correto para a integral é

72 Solução n = 2(h = 0.4) f(0) = 0.2 f(0.4) = f(0.8) = I = (2.456) = E t = = , E a = 34.9% E a = (2) 2 ( 60) = 0.64 Onde 60 é a média da segunda derivada, determinada anteriormente no Exemplo 1

73 Algoritmo regra do trapézio Portugol Função f(x) = x 200 x x x x 5 ; Execução i = tpzc( f1,0,0.8,2) Resultado i =