Renato Martins Assunção

Transcrição

1 Análise Numérica Integração Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

2 Introdução Calcular integrais é uma tarefa rotineira em engenharia, aparecendo em quase todo problema que exige algum cálculo mais sofisticado. Diferente de outras operações matemáticas, integração de funções não é simples. Por exemplo, somos capazes de derivar quase qualquer função, por mais complicada que seja. Integração é uma história completamente diferente. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

3 Revisão de cálculo Integral de f (x) no intervalo [a, b]: b a f (x)dx Interpretação geométrica: a integral é igual à área (com sinal) entre o eixo x e o gráfico da função f (x). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

4 Revisão de cálculo Para se obter a integral devemos encontrar uma primitiva F (x). Isto é, encontrar uma função F (x) tal que F (x) = f (x) para todo x [a, b]. Assim, Por exemplo, b a x 2 dx = x 3 f (x)dx = F (b) F (a). b a 3 + C e portanto x 2 dx = b3 3 a3 3. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

5 Achando uma primitiva Achar a primitiva F (x) = x a f (u)du não é tarefa simples. Não existe um método geral que forneça a primitiva F (x) para uma função arbitraria f (x). O que nós temos são algumas regras de integração que podem nos auxiliar em alguns casos. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

6 Regras de integração Conhecemos alguns casos simples: x a dx = x a+1 a + 1 sen(x)dx = cos(x) e x dx = e x Usamos propriedades básicas: [f (x) + g(x)]dx = cf (x)dx = c f (x)dx + f (x)dx g(x)dx Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

7 Técnicas de integração Usamos algumas técnicas de integração. Substituição de variáveis Calcular x 2 (x 3 + 1) 5 dx Substituímos Portanto u = x du = 3x 2 dx 1 3 du = x2 dx x 2 (x 3 + 1) 5 dx = 1 3 u 5 du = 1 3 u6 6 + C 1 = 18 u6 + C 1 = 18 (x3 + 1) 6 + C Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

8 Técnicas de integração Integração por partes: Calcular x sec 2 (x)dx. udv = uv vdu. Tome u = x e dv = sec 2 (x). Então du = dx e v = tan(x), e assim x sec 2 (x)dx = x tan(x) tan(x)dx = x tan(x) ( ln cos(x) ) + C = x tan(x) + ln cos(x) + C. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

9 Técnicas de integração Integrais envolvendo potências de funções trigonométricas podem ser manipuladas usando identidades trigonométricas até reduzi-las a uma forma simples. cos 3 (x)sen 4 (x)dx = cos 2 (x)sen 4 (x) cos(x)dx = (1 sen 2 (x))sen 4 (x) cos(x)dx = (sen 4 (x) sen 6 (x) cos(x)dx = (sen 4 (x) cos(x)dx sen 6 (x) cos(x)dx = 1 5 sen5 (x) 1 7 sen7 (x) + C Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

10 Técnicas de integração Se uma integral contém uma raiz da seguinte forma a 2 ± x 2, x 2 a 2, então uma substituição trigonométrica pode ser útil. dx Por exemplo, integrar x 2 4 x. 2 Tome x = asenθ = 2senθ dx = 2 cos θdθ 4 x 2 = 2 cos θ Então dx 2 cos θdθ x 2 = 4 x 2 (4sen 2 θ)(2 cos θ) = 1 dθ 4 sen 2 θ = 1 csc 2 θdθ 4 = 1 4 cot θ + C = 1 4 x C x Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

11 Técnicas de integração Frações parciais: se uma integral envolve uma razão entre polinômios de x podemos reescrevê-lo como soma de funções mais simples. Por exemplo, e usamos que x 1 3x 2 14x + 15 dx = [ 1/2 3x 5 + 1/2 ] dx x 3 1 dx = log x a + C. x a Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

12 Muito ou pouco? Parece uma enorme quantidade de técnicas. Tão grande que conseguimos resolver qualquer integral. Longe disso: só conseguimos resolver algumas poucas integrais. Não conseguimos obter primitivas na maioria das integrais que aparecem em problemas mais práticos. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

13 Inexistência de primitiva Não se trata de incompetência ou de continuar buscando certas integrais. Podemos provar matemáticamente que, mesmo se nos restringirmos apenas às funções dadas por fórmulas, nem todas as funções admitem uma primitiva que também seja escrita como combinação (finita) de funções elementares! Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

14 Integrar é difícil A integral existe e é bem definida. Você pode até desenhar o gráfico da função e ter uma ideia da área sob a curva. No entanto, algumas funções simples não possuem uma solução anaĺıtica (uma fórmula) para expressar esta área sob a curva. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

15 Exemplo Em cálculos de probabilidade, é muito comum precisarmos calcular uma integral do seguinte tipo: b a e x2 dx Podemos traçar o gráfico da função gaussiana f (x) = e x2, mas não existe fórmula para a primitiva. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

16 Problema com dados empíricos Em engenharia, muitas vezes queremos calcular a integral de f (x) num intervalo [a, b] mas conhecemos a função f (x) apenas em alguns pontos. Por exemplo, suponha que queremos calcular a área total de um lago. Vamos representar o contorno do lago com duas funcoes f (x) e g(x). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

17 Área de um lago Represente a parte superior do contorno como f (x) e a parte inferior como g(x). Então a área do lago é igual a integral b a [f (x) g(x)]dx. Note que f (x) g(x) é o comprimento do segmento de reta vertical conectando os extremos do lago em x. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

18 Medindo y(x) = f (x) g(x) Medimos y(x) num conjunto de 12 pontos ao longo do eixo x. Plotamos y(x) versus x num gráfico (ao lado). Podemos interpolar mentalmente y(x) e ter uma ideia da integral desejada x11 x 0 y(x)dx Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

19 Integração numérica Assim, existem dois motivos para procurarmos uma aproximação numérica para a integral b f (x)dx: a Impossibilidade de obter uma primitiva para a integral de f (x). Desconhecimento de f (x) exceto em alguns pontos x 0, x 1,..., x n. Nesta parte do curso, vamos aprender algumas técnicas de integração numérica. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

20 Integração numérica Outro nome (antigo) para integração numérica é quadratura. O nome parece ser resultado da ideia de aproximar uma área (=integral) por pequenos quadrados. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

21 Fórmula geral Todas os métodos de integração (ou quadratura) numérica aproximam a integral de f (x) por uma soma: b a f (x)dx n w i f (x i ), i=1 Veja que formamos uma soma ponderada de n valores de f (x). A função f (x) é avaliada APENAS nos pontos (ou nós) x 1,..., x n. Os pesos w i não precisam somar 1 nem ser positivos. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

22 Definição de integral b a f (x)dx Escolhe-se n + 1 pontos a = x 0, x 1,..., x n = b e pontos c i em cada intervalo [x i 1, x i ] Some as áreas dos retângulos de base h i = x i x i 1 e altura f (c i ). Aumente o número n de pontos fazendo os retângulos cada vez menores. A integral é definida como o limite desta soma de áreas de retângulos cada vez menores. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

23 Definição de integral Isto é b a f (x)dx = lim n n f (c i )(x i x i 1 ), i=1 Supondo que n é grande o suficiente, podemos aproximar a integral simplesmente por esta soma de áreas de retângulos: b a f (x)dx n f (c i )(x i x i 1 ), i=1 Em princípio, esta aproximação é válida para qualquer ponto c i [x i 1, x i ] mas algumas escolhas são mais comuns. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

24 Integral de x 2 em [0, 2] a = 0, b = 2 n = 4 0 = x 0, x 1 = 0.5, x 2 = 1, x 3 = 1.5, x 4 = 2 Três escolhas para o ponto c i No início do intervalo: c i = x i 1 No final do intervalo: c i = x i No meio do intervalo: c i = (x i 1 + x i )/2 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

25 Aproximação pela esquerda Figura: Animação em sum. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

26 Aproximação pela direita Figura: Animação em sum. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

27 Aproximação pelo meio Figura: Animação em sum. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

28 Fórmulas Divida [a, b] em n subintervalos (cada um de comprimento h = b a n ), e sejam x i = a+ih, i = 0,..., n os pontos finais destes subintervalos. Regra do ponto final esquerdo: b n f (x)dx L n(f ) = hf (x i 1 ), a i=1 ou seja, pesos são todos iguais, w i = h, e os nós são pontos finais esquerdos. Regra (análoga) do ponto final direito: b n f (x)dx R n(f ) = hf (x i ). a i=1 Regra do ponto médio: b n ( xi 1 + x i f (x)dx M n(f ) = hf a 2 i=1 Novamente todos pesos iguais, mas os nós nos pontos médios. Embora todos métodos convergem para a integral limite de Riemann, eles fazem isto em taxas diferentes! A regra do ponto médio é geralmente muito mais acurada apesar dos três métodos aproximarem o integrando por uma constante em cada subintervalo. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1 ).

29 Retângulo Trapézio Uma aproximação que costuma ser melhor é aproximar a pequena área no intervalo [x i 1, x i ] por um trapézio ao invés de um retângulo. Aproximação por retângulos Aproximação por trapézios Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

30 Regra do trapézio Pontos extremos dos intervalos: a = x 0 < x 1 < x 2 < x 3 <... < x n 1 < x n = b. Área do trapézio = f (x i ) + f (x i+1 ) 2 (x i+1 x i ) Integral é aproximadamente igual à soma das áreas desses trapézios. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

31 Regra do trapézio Quando o espaçamento entre os pontos for constante, terminamos com fórmulas muito simples. Seja h = x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x n x n 1. Como o trapézio com base [x i 1, x i ] tem área h (f (x i ) + f (x i 1 ))/2, a soma das áreas dos trapézios é igual h 2 [(f (x 0) + f (x 1 )) + (f (x 1 ) + f (x 2 )) (f (x n 2 ) + f (x n 1 )) + (f (x n 1 ) + f (x n))]. Excetuando o 1 o e último termos, todos os outros aparecem duas vezes na soma. A área total dos trapézios fica igual a h 2 [f (x 0) + 2f (x 1 ) + 2f (x 2 ) f (x n 1 ) + f (x n)]. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

32 Regra do trapézio Assim, a fórmula é muito simples: h 2 [f (x 0) + 2f (x 1 ) + 2f (x 2 ) f (x n 1 ) + f (x n)] = h 2 Cada um dos pontos recebe um peso w i : w i = 1 se x i = x 0 = a ou x n = b. w i = 2 se x i não for um dos pontos extremos. n w i f (x i ). i=0 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

33 Exemplo - Regra do trapézio Sabemos que a derivada da função arctan é 1/(1 + x 2 ) Assim, sabemos que x 2 dx = arctan(1) arctan(0) = π 4 Vamos usar a regra do trapézio dividindo o intervalo [0, 1] usando 11 pontos x 0 = 0, x 1 = 0.1,..., x 11 = 1 e portanto, usamos n = 10 subintervalos com h = 0.1: π {f (0) + 2f (0.1) + 2f (0.2) f (0.9) + f (1)} 2 onde f (x) = 1/(1 + x 2 ) Temos π = 4 Integral Usando 5 casas decimais, encontramos π errando na terceira casa decimal. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

34 Método de Simpson Um método ainda melhor é o de Simpson. Sua ideia é usar DOIS subintervalos e aproximar a função f (x) por uma parábola neste intervalo. A parábola deve passar pelos pontos (x i 1, f (x i 1 )), (x i, f (x i )), e (x i+1, f (x i+1 )). Vamos supor agora que temos 2n intervalos e portanto 2n + 1 pontos: a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x 2n 2 < x 2n 1 < x 2n = b. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

35 Método de Simpson Simpson aproximando a função f (x) no intervalo [a, b] com uma parábola usando os subintervalos [a, m] e [m, b]. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

36 Encontrando o polinômio A parábola que passa pelos pontos (x i 1, f (x i 1 )), (x i, f (x i )), e (x i+1, f (x i+1 )) pode ser apresentada na forma de um polinômio de Lagrange: p(x) = (x x i )(x x i+1 ) (x i 1 x i )(x i 1 x i+1 ) f (x i 1) + (x x i 1)(x x i+1 ) (x i x i 1 )(x i x i+1 ) f (x i ) + (x x i 1)(x x i ) (x i+1 x i 1 )(x i+1 x i ) f (x i+1). Se h = x 1 x 0 = x 2 x 1 =... = x 2n x 2n 1 então xi+1 x i 1 f (x)dx h 3 [f (x i 1) + 4f (x i ) + f (x i+1 )]. Veja como é simples esta formula!! Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

37 Encontrando a regra A integral no intervalo [a, b] é aproximada pela soma das áreas das parábolas ajustadas em cada um dos n pares de intervalos sucessivos. Somando sobre todos estes n pares de intervalos teremos: b f (x)dx = a n i=1 x2i x 2i 2 f (x)dx n i=1 h 3 [f (x 2i 2) + 4f (x 2i 1 ) + f (x 2i )] onde h = b a 2n. = h 3 [f (x 0) + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + 4f (x 3 ) f (x 2n 1 ) + f (x 2n )] [ ] = h n n 1 f (x 0 ) + 4 f (x 2i 1 ) + 2 f (x 2i ) + f (x 2n ), 3 i=1 i=1 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

38 Regra de Simpson h 3 {y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y y 2n 2 + 4y 2n 1 + y 2n } Chamada também de regra de 1/3 de Simpson. Em geral, ela fornece resultados mais precisos que as outras regras, mais simples, que aprendemos até agora. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1

39 Exemplo 1 1 Vamos recalcular 4 dx = arctan(1) arctan(0) = π x 2 Usaremos 10 intervalos, como antes. Temos E então ou seja, 1 0 2(y 2 + y 4 + y 6 + y 8 ) = (y 1 + y 3 + y 5 + y 7 + y 9 ) = , dx ( ), 1 + x π = 4 dx , x2 que difere de pi apenas na 8 a casa decimal. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 1