Interpolação polinomial

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1 Cálculo Numérico Prof. Daniel G. Alfaro Vigo Departamento de Ciência da Computação IM UFRJ

2 Motivação: População do Brasil Ano População (milhões) , , , , , , Dados da População do Brasil (milhões de pessoas) Tabela: População do Brasil (fonte: IBGE)

3 Motivação: População do Brasil Ano População (milhões) , , , , , , Dados da População do Brasil (milhões de pessoas) Tabela: População do Brasil (fonte: IBGE) Como podemos determinar a população nos anos intermediários, por exemplo em 1995?

4 Problema geral de interpolação Interpolação Dado o conjunto de n + 1 pontos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) em que n 0 e x i x j para i j queremos determinar uma função g(x) tal que y i = g(x i ) para i = 0, 1,..., n. A função g é chamada de função interpolante (ou função interpoladora).

5 Problema geral de interpolação (cont.) Observações: A função g deve ser procurada em uma classe suficientemente grande de funções. Nas aplicações, essa classe é escolhida de forma que g satisfaça certas propriedades desejadas. Quando o conjunto de dados corresponde a uma função f, ou seja y i = f (x i ), i = 0,..., n, dizemos que g interpola a função f sobre os pontos x 0, x 1,..., x n. Nesse caso a função de interpolação pode ser usada para aproximar o valor de f em pontos onde ela não foi tabelada. Ou seja se x x i, i = 0,..., n, então fazemos f ( x) g( x).

6 Interpretação geométrica (xi, yi) y = g(x)

7 Em muitas aplicações a função interpolante é procurada na forma de um polinômio, devido à sua simplicidade (são funções fáceis de avaliar, calcular suas derivadas, integrar etc.). Dado o conjunto de n + 1 pontos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) em que n 0 e x i x j para i j queremos determinar o polinômio p n (x) de grau menor ou igual a n, tal que p n (x i ) = y i para i = 0, 1,..., n. (1) O polinômio p n (x) é chamado de polinômio interpolador, e as equações (1) de condições de interpolação.

8 Existência e unicidade do polinômio interpolador Teorema 1 [Existência e unicidade do polinômio interpolador] Dado o conjunto de n + 1 pontos (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) em que n 0 e x i x j para i j. existe um único polinômio p n (x) de grau menor ou igual a n, tal que p n (x i ) = y i para i = 0, 1,..., n.

9 Prova (construtiva) da existência Procuramos p n (x) na forma p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 onde a 0, a 1,..., a n são n + 1 coeficientes a serem determinados. Das condições de interpolação temos que a 0 + a 1 x a n 1 x0 n 1 + a n x0 n = y 0 a 0 + a 1 x a n 1 x1 n 1 + a n x1 n = y a 0 + a 1 x n + + a n 1 x n 1 n + a n x n n = y n que representa o sistema linear para determinar a 0, a 1,..., a n.

10 Prova da existência Ou seja, o sistema T a = y em que 1 x 0 x n 1 1 x 1 x n 1 T =... 1 x n xn n 1 0 x n 0 1 x n 1., a = a 1.. e y = y 1... a n y n x n n a 0 y 0

11 Prova da existência Ou seja, o sistema T a = y em que 1 x 0 x n 1 1 x 1 x n 1 T =... 1 x n xn n 1 0 x n 0 1 x n 1., a = a 1.. e y = y 1... a n y n x n n A matriz T tem elementos t ij = x j 1 i 1, i, j = 1,..., n + 1, e é uma matriz de Vandermonde logo temos det T = (x j x i ). 0 i<j n Finalmente, como x i x j para i j segue que det T 0 e portanto o sistema linear tem uma única solução. Isso significa que existe um único polinômio interpolador. a 0 y 0

12 Observações A prova do Teorema nos dá um método para achar o polinômio interpolador: resolver o sistema associado às condições de interpolação. Usando o método de eliminação de Gauss precisamos realizar em torno de 2n 3 /3 operações aritméticas para determinar os coeficientes a 0,..., a n. A forma mais eficiente de avaliar o polinômio obtido em um valor de x dado consiste em realizar os cálculos de acordo com o seguinte agrupamento p n (x) = x ( (x (x a n + a n 1 ) + a n 2 ) ) + a 0, que consistirá em 2n operações aritméticas (n multiplicações e n adições). Esse método não é muito eficiente e também a precisão pode ser comprometida por causa da amplificação dos erros de arredondamento já que as matrizes de Vandermonde podem ser mal condicionadas.

13 Forma de Lagrange do polinômio interpolador A ideia básica é escrever o polinômio de uma forma que seu cálculo seja mais simples. No lugar de procurar p n (x) na forma p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, introduzimos a representação p n (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + + y n L n (x), em que L j (x) são polinômios de grau menor ou igual a n.

14 Forma de Lagrange do polinômio interpolador A ideia básica é escrever o polinômio de uma forma que seu cálculo seja mais simples. No lugar de procurar p n (x) na forma p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, introduzimos a representação p n (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + + y n L n (x), em que L j (x) são polinômios de grau menor ou igual a n. Agora temos uma representação em que os coeficientes são conhecidos e precisamos determinar os polinômios que eles acompanham.

15 Forma de Lagrange do polinômio interpolador A ideia básica é escrever o polinômio de uma forma que seu cálculo seja mais simples. No lugar de procurar p n (x) na forma p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, introduzimos a representação p n (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + + y n L n (x), em que L j (x) são polinômios de grau menor ou igual a n. Agora temos uma representação em que os coeficientes são conhecidos e precisamos determinar os polinômios que eles acompanham. Isso contrasta fortemente com o que foi feito anteriormente. E também pode nos parecer uma tarefa mais difícil...

16 Forma de Lagrange do polinômio interpolador A ideia básica é escrever o polinômio de uma forma que seu cálculo seja mais simples. No lugar de procurar p n (x) na forma p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, introduzimos a representação p n (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + + y n L n (x), em que L j (x) são polinômios de grau menor ou igual a n. Agora temos uma representação em que os coeficientes são conhecidos e precisamos determinar os polinômios que eles acompanham. Isso contrasta fortemente com o que foi feito anteriormente. E também pode nos parecer uma tarefa mais difícil... mas felizmente não é!

17 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Para obter: p n (x 0 ) = y 0 L 0 (x 0 ) + y 1 L 1 (x 0 ) + + y n L n (x 0 ) = y 0, é suficiente escolher os polinômios L j de forma que L 0 (x 0 ) = 1, L 1 (x 0 ) = 0,..., L n (x 0 ) = 0.

18 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Para obter: p n (x 0 ) = y 0 L 0 (x 0 ) + y 1 L 1 (x 0 ) + + y n L n (x 0 ) = y 0, é suficiente escolher os polinômios L j de forma que L 0 (x 0 ) = 1, L 1 (x 0 ) = 0,..., L n (x 0 ) = 0. Para que: p n (x 1 ) = y 0 L 0 (x 1 ) + y 1 L 1 (x 1 ) + + y n L n (x 1 ) = y 1, é suficiente escolher os polinômios L j de forma que L 1 (x 1 ) = 1, L 0 (x 1 ) = 0, L 2 (x 1 ) = 0,..., L n (x 1 ) = 0.

19 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Para obter: p n (x 0 ) = y 0 L 0 (x 0 ) + y 1 L 1 (x 0 ) + + y n L n (x 0 ) = y 0, é suficiente escolher os polinômios L j de forma que L 0 (x 0 ) = 1, L 1 (x 0 ) = 0,..., L n (x 0 ) = 0. Para que: p n (x 1 ) = y 0 L 0 (x 1 ) + y 1 L 1 (x 1 ) + + y n L n (x 1 ) = y 1, é suficiente escolher os polinômios L j de forma que L 1 (x 1 ) = 1, L 0 (x 1 ) = 0, L 2 (x 1 ) = 0,..., L n (x 1 ) = 0. Em geral, para garantir que p n (x j ) = y 0 L 0 (x j ) + y 1 L 1 (x j ) + + y j L j (x j ) + + y n L n (x j ) = y j é suficiente que L j (x j ) = 1, L i (x j ) = 0 para i j.

20 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Ou seja, para satisfazer as relações de interpolação é suficiente que { 1, se j = i L i (x j ) = 0, se j i

21 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Ou seja, para satisfazer as relações de interpolação é suficiente que { 1, se j = i L i (x j ) = 0, se j i Dessa forma como L i (x) é um polinômio de grau menor ou igual a n e possui os n zeros reais distintos x j com 0 j n, j i obtemos que n L i (x) = b i (x x j ), onde b i é um número. j=0 j i

22 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Além disso, como L i (x i ) = 1 obtemos que n 1 = b i (x i x j ) b i = j=0 j i n j=0 j i 1 (x i x j )

23 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Além disso, como L i (x i ) = 1 obtemos que n 1 = b i (x i x j ) b i = j=0 j i n j=0 j i 1 (x i x j ) Donde chegamos em L i (x) = n j=0 j i x x j x i x j, i = 0,..., n. Essos são os polinômios da base de Lagrange.

24 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Forma de Lagrange O polinômio interpolador na forma de Lagrange é escrito como p n (x) = y 0 L 0 (x) + y 1 L 1 (x) + + y n L n (x) = n y i L i (x), i=0 onde ( x x0 L i (x) = x i x 0 n x x j = x i x j j=0 j i ) ( ) ( ) ( ) x xi 1 x xi+1 x xn x i x i 1 x i x i+1 x i x n

25 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Observações Existe um procedimento bastante eficiente (método de Neville) que permite construir o polinômio de Lagrange realizando apenas 7n(n + 1)/2 7n 2 /2 operações aritméticas. Esse procedimento também pode ser usado para avaliar o polinômio interpolador em um ponto x dado. Este procedimento será mais eficiente que o método apresentado na prova do Teorema apenas quando precisamos avaliar o polinômio interpolador em uma quantidade não muito grande de pontos (uma quantidade de pontos aproximadamente menor do que 0.6n).

26 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Polinômios da base de Lagrange L0(x) L1(x) L2(x) 1 L3(x) x0 x1 x2 x

27 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Polinômio interpolador y0 L0(x) x0 x1 x2 x

28 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Polinômio interpolador y0 L0(x) + y1 L1(x) x0 x1 x2 x

29 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Polinômio interpolador y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) x0 x1 x2 x

30 Forma de Lagrange do polinômio interpolador (cont.) Polinômio interpolador y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + y3 L3(x) x0 x1 x2 x

31 Forma de Newton do polinômio interpolador Agora vamos escrever o polinômio interpolador na forma em que p n (x) = c 0 Q 0 (x) + c 1 Q 1 (x) + + c n Q n (x) Q 0 (x) = 1, Q 1 (x) = x x 0,..., Q j (x) = (x x 0 ) (x x j 1 ),..., Q n (x) = (x x 0 ) (x x n 1 ) ou seja, Q 0 (x) = 1, j 1 Q j (x) = (x x l ) = (x x j 1 )Q j 1 (x), para j = 1,..., n. l=0 Cada polinômio Q j é de grau igual a j, e então p n (x) será de grau menor ou igual a n.

32 Forma de Newton do polinômio interpolador (cont.) Das condições de interpolação chegamos em c 0 Q 0 (x 0 ) + c 1 Q 1 (x 0 ) + + c n 1 Q n 1 (x 0 ) + c n Q n (x 0 ) = y 0 c 0 Q 0 (x 1 ) + c 1 Q 1 (x 1 ) + + c n 1 Q n 1 (x 1 ) + c n Q n (x 1 ) = y c 0 Q 0 (x n ) + c 1 Q 1 (x n ) + + c n 1 Q n 1 (x n ) + c n Q n (x n ) = y n o que representa um sistema linear para c 0, c 1,..., c n.

33 Forma de Newton do polinômio interpolador (cont.) Das condições de interpolação chegamos em c 0 Q 0 (x 0 ) + c 1 Q 1 (x 0 ) + + c n 1 Q n 1 (x 0 ) + c n Q n (x 0 ) = y 0 c 0 Q 0 (x 1 ) + c 1 Q 1 (x 1 ) + + c n 1 Q n 1 (x 1 ) + c n Q n (x 1 ) = y c 0 Q 0 (x n ) + c 1 Q 1 (x n ) + + c n 1 Q n 1 (x n ) + c n Q n (x n ) = y n o que representa um sistema linear para c 0, c 1,..., c n. Esse sistema tem a forma Q c = y, onde Q 0 (x 0 ) Q 1 (x 0 ) Q n (x 0 ) c 0 y 0 Q 0 (x 1 ) Q 1 (x 1 ) Q n (x 1 ) Q =..., c = c 1.., y = y 1... Q 0 (x n ) Q 1 (x n ) Q n (x n ) c n y n

34 Forma de Newton do polinômio interpolador (cont.) Observamos que para j > i 1 j 2 q ij = Q j 1 (x i 1 ) = (x i 1 x l ) = (x i 1 x l ) = 0, l=0 l<j 1 portanto Q é uma matriz triangular inferior.

35 Forma de Newton do polinômio interpolador (cont.) Observamos que para j > i 1 j 2 q ij = Q j 1 (x i 1 ) = (x i 1 x l ) = (x i 1 x l ) = 0, l=0 l<j 1 portanto Q é uma matriz triangular inferior. Além disso, para os elementos da diagonal temos que q ii = (x i 1 x l ) 0, l<i 1 logo o sistema possui uma única solução e pode ser resolvido por substituição (direta) calculando c 0 da primeira equação, depois c 1 usando a segunda equação e assim por diante.

36 Forma de Newton do polinômio interpolador (cont.) O sistema linear resultante tem a forma c 0 y 0 1 Q 1 (x 1 ) 0 0 c 1 y =... 1 Q 1 (x n 1 ) Q n 1 (x n 1 ) 0 c n 1 y n 1 1 Q 1 (x n ) Q n 1 (x n ) Q n (x n ) c n y n

37 Forma de Newton do polinômio interpolador (cont.) Observações Para determinar os coeficientes c 0,..., c n realizamos aproximadamente um total de 2n 2 operações aritméticas: n 2 operações para determinar os elementos da matriz Q e mais n(n + 1) operações no processo de substituição. Para avaliar o polinômio interpolador em um x dado, agora precisamos fazer os cálculos de acordo com o agrupamento p n (x) = ( (c n (x x n 1 )+c n 1 )(x x n 2 )+ +c 1 )(x x 0 )+c 0, que consistirá em 3n operações aritméticas (n multiplicações e 2n adições/subtrações). Quando precisamos avaliar o polinômio em vários pontos esse procedimento será mais robusto que os anteriores, pois o mesmo é bastante eficiente no cálculo dos coeficientes e estos últimos são reusados na hora de avaliar o polinômio.

38 Interpolação linear Exemplo: Interpolação linear Considere os pontos (x 0, f (x 0 )) e (x 1, f (x 1 )). Temos que p 1 (x) = f (x 0 )L 0 (x) + f (x 1 )L 1 (x) L 0 (x) = x x 1 x 0 x 1, L 1 (x) = x x 0 x 1 x 0 L 0 (x) + L 1 (x) = 1.

39 Interpolação linear Exemplo: Interpolação linear Considere os pontos (x 0, f (x 0 )) e (x 1, f (x 1 )). Temos que p 1 (x) = f (x 0 )L 0 (x) + f (x 1 )L 1 (x) L 0 (x) = x x 1 x 0 x 1, L 1 (x) = x x 0 x 1 x 0 L 0 (x) + L 1 (x) = 1. Assim obtemos que p 1 (x) = f (x 0 ) (1 L 1 (x)) + f (x 1 )L 1 (x) = f (x 0 ) + (f (x 1 ) f (x 0 ))L 1 (x) = f (x 0 ) + (f (x 1 ) f (x 0 )) x x 0 x 1 x 0

40 Interpolação linear Exemplo: Interpolação linear Considere os pontos (x 0, f (x 0 )) e (x 1, f (x 1 )). Temos que p 1 (x) = f (x 0 )L 0 (x) + f (x 1 )L 1 (x) L 0 (x) = x x 1 x 0 x 1, L 1 (x) = x x 0 x 1 x 0 L 0 (x) + L 1 (x) = 1. Assim obtemos que p 1 (x) = f (x 0 ) (1 L 1 (x)) + f (x 1 )L 1 (x) = f (x 0 ) + (f (x 1 ) f (x 0 ))L 1 (x) = f (x 0 ) + (f (x 1 ) f (x 0 )) x x 0 x 1 x ( ) 0 f (x1 ) f (x 0 ) p 1 (x) = f (x 0 ) + (x x }{{} 0 ) x 1 x 0 c 0 }{{} c 1

41 Diferenças divididas de Newton Generalizando os cálculos do exemplo, obtemos um método mais eficiente para determinar c 0,..., c n.

42 Diferenças divididas de Newton Generalizando os cálculos do exemplo, obtemos um método mais eficiente para determinar c 0,..., c n. Definição: Diferenças divididas Para a função f (x) definimos as diferenças divididas de Newton da seguinte forma. A diferença dividida de ordem zero da função f em relação a x i é representada por f [x i ] e definida por f [x i ] = f (x i ). As diferenças divididas de ordem k 1 são definidas indutivamente. A k-ésima diferença dividida de f em relação a x i,..., x i+k é definida por f [x i,..., x i+k ] = f [x i+1,..., x i+k ] f [x i,..., x i+k 1 ] x i+k x i.

43 Diferenças divididas de Newton (cont.) Exemplo: Diferenças divididas de segunda ordem Considere os pontos x 0, x 1 e x 2. Temos que f [x 0 ] = f (x 0 ), f [x 1 ] = f (x 1 ), f [x 2 ] = f (x 2 ) f [x 0, x 1 ] = f [x 1] f [x 0 ] x 1 x 0, f [x 1, x 2 ] = f [x 2] f [x 1 ] x 2 x 1 f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 0

44 Diferenças divididas de Newton (cont.) Exemplo: Diferenças divididas de segunda ordem Considere os pontos x 0, x 1 e x 2. Temos que f [x 0 ] = f (x 0 ), f [x 1 ] = f (x 1 ), f [x 2 ] = f (x 2 ) f [x 0, x 1 ] = f [x 1] f [x 0 ] x 1 x 0, f [x 1, x 2 ] = f [x 2] f [x 1 ] x 2 x 1 f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 0 Exemplo: Interpolação linear Considere os pontos (x 0, f (x 0 )) e (x 1, f (x 1 )). Temos que ( ) p 1 (x) = f (x 0 ) + f (x1 ) f (x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ) p 1 (x) = f [x 0 ] + f [x 0, x 1 ] (x x 0 ).

45 Interpolação de Newton com diferenças divididas Polinômio interpolador de Newton O polinômio interpolador na forma de Newton para a função f sobre os pontos x 0,..., x n (em que x i x j para i j) é dado por onde p n (x) = n c j Q j (x), j=0 c j = f [x 0,..., x j ], Q j (x) = Ou seja, p n (x) = f [x 0 ] + { 1, se j = 0, j 1 l=0 (x x l), se j 0. n f [x 0,..., x j ] (x x 0 ) (x x j 1 ). j=1

46 Tabela de diferenças divididas Ord. 0 Ord. 1 Ord. 2 Ord. 3 Ord. 4 Ord. 5 x 0 f [x 0 ] f [x 0, x 1 ] x 1 f [x 1 ] f [x 0, x 1, x 2 ] f [x 1, x 2 ] f [x 0,..., x 3 ] x 2 f [x 2 ] f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 0,..., x 4 ] f [x 2, x 3 ] f [x 1,..., x 4 ] f [x 0,..., x 5 ] x 3 f [x 3 ] f [x 2, x 3, x 4 ] f [x 1,..., x 5 ] f [x 3, x 4 ] f [x 2,..., x 5 ] x 4 f [x 4 ] f [x 3, x 4, x 5 ] f [x 4, x 5 ] x 5 f [x 5 ]

47 Tabela de diferenças divididas Ord. 0 Ord. 1 Ord. 2 Ord. 3 Ord. 4 Ord. 5 x 0 f [x 0 ] f [x 0, x 1 ] x 1 f [x 1 ] f [x 0, x 1, x 2 ] f [x 1, x 2 ] f [x 0,..., x 3 ] x 2 f [x 2 ] f [x 1, x 2, x 3 ] f [x 0,..., x 4 ] f [x 2, x 3 ] f [x 1,..., x 4 ] f [x 0,..., x 5 ] x 3 f [x 3 ] f [x 2, x 3, x 4 ] f [x 1,..., x 5 ] f [x 3, x 4 ] f [x 2,..., x 5 ] x 4 f [x 4 ] f [x 3, x 4, x 5 ] f [x 4, x 5 ] x 5 f [x 5 ]

48 Tabela de diferenças divididas (cont.) x 0 f [x 0 ] x 1 f [x 1 ].. x n 1 f [x n 1 ] x n f [x n ] Ord. 0 Ord Ord. n 1 Ord. n f [x 0, x 1 ]... f [x 1, x 2 ]. f [x 0,..., x n 1 ]. f [x 0,..., x n ]. f [x 1,..., x n ] f [x n 2, x n 1 ]... f [x n 1, x n ]

49 Tabela de diferenças divididas (cont.) Observações Para montar a tabela devemos calcular n diferenças divididas de primeira ordem, n 1 de segunda ordem e assim por diante até o cálculo de uma única diferença dividida de n-ésima ordem. No total serão n(n + 1)/2 diferenças divididas. Todos os cálculos podem ser realizados se x i x j quando i j. Se essa condição não for válida, algumas diferenças divididas devem ser definidas usando limite e envolvendo as derivadas da função. Em particular temos que se f (k) é contínua em x então lim f [x 0,..., x k ] = f (k) ( x). x j x k! O valor da diferença dividida não depende do ordenamento dos x j envolvidos no seu cálculo, ou seja se permutamos a ordem desses x j vamos chegar no mesmo valor.

50 Exemplo Determine a tabela de diferenças divididas de f (x) = e x associada aos pontos 0, 0.35, 0.65 e 1. x f (x)

51 Exemplo Determine a tabela de diferenças divididas de f (x) = e x associada aos pontos 0, 0.35, 0.65 e 1. x f (x) x x x x f [x i, x i+1 ] = f [x i+1] f [x i ] x i+1 x i

52 Exemplo Determine a tabela de diferenças divididas de f (x) = e x associada aos pontos 0, 0.35, 0.65 e 1. x f (x) x x x x f [x i, x i+1, x i+2 ] = f [x i+1, x i+2 ] f [x i, x i+1 ] x i+2 x i

53 Exemplo Determine a tabela de diferenças divididas de f (x) = e x associada aos pontos 0, 0.35, 0.65 e 1. x f (x) x x x x f [x i, x i+1, x i+2, x i+3 ] = f [x i+1, x i+2, x i+3 ] f [x i, x i+1, x i+2 ] x i+3 x i

54 Exemplo Determine a tabela de diferenças divididas de f (x) = e x associada aos pontos 0, 0.35, 0.65 e 1. x f (x) x x x x Tabela: Diferenças divididas

55 Polinômio interpolador de Newton Para obter a tabela de diferenças divididas é preciso realizar aproximadamente 3n 2 /2 operações aritméticas (duas subtrações e uma divisão para calcular cada diferença dividida de ordem maior ou igual a 1). Assim usando essa tabela podemos determinar os coeficientes do polinômio de Newton com maior eficiência que em caso de montar e resolver o sistema triangular superior Q c = y em que seriam realizadas em torno de 2n 2 operações.

56 Polinômio interpolador de Newton Para obter a tabela de diferenças divididas é preciso realizar aproximadamente 3n 2 /2 operações aritméticas (duas subtrações e uma divisão para calcular cada diferença dividida de ordem maior ou igual a 1). Assim usando essa tabela podemos determinar os coeficientes do polinômio de Newton com maior eficiência que em caso de montar e resolver o sistema triangular superior Q c = y em que seriam realizadas em torno de 2n 2 operações. Outra vantagem desse método é a facilidade para incluir novos pontos no processo de interpolação, pois temos que p n+1 (x) = p n (x) + f [x 0,..., x n+1 ]Q n+1 (x).

57 Polinômio interpolador de Newton Para obter a tabela de diferenças divididas é preciso realizar aproximadamente 3n 2 /2 operações aritméticas (duas subtrações e uma divisão para calcular cada diferença dividida de ordem maior ou igual a 1). Assim usando essa tabela podemos determinar os coeficientes do polinômio de Newton com maior eficiência que em caso de montar e resolver o sistema triangular superior Q c = y em que seriam realizadas em torno de 2n 2 operações. Outra vantagem desse método é a facilidade para incluir novos pontos no processo de interpolação, pois temos que p n+1 (x) = p n (x) + f [x 0,..., x n+1 ]Q n+1 (x). Para o erro de interpolação temos que E n (x) = f (x) p n (x)

58 Polinômio interpolador de Newton Para obter a tabela de diferenças divididas é preciso realizar aproximadamente 3n 2 /2 operações aritméticas (duas subtrações e uma divisão para calcular cada diferença dividida de ordem maior ou igual a 1). Assim usando essa tabela podemos determinar os coeficientes do polinômio de Newton com maior eficiência que em caso de montar e resolver o sistema triangular superior Q c = y em que seriam realizadas em torno de 2n 2 operações. Outra vantagem desse método é a facilidade para incluir novos pontos no processo de interpolação, pois temos que p n+1 (x) = p n (x) + f [x 0,..., x n+1 ]Q n+1 (x). Para o erro de interpolação temos que E n (x) = f (x) p n (x) = f [x 0,..., x n, x]q n+1 (x)

59 Polinômio interpolador de Newton Para obter a tabela de diferenças divididas é preciso realizar aproximadamente 3n 2 /2 operações aritméticas (duas subtrações e uma divisão para calcular cada diferença dividida de ordem maior ou igual a 1). Assim usando essa tabela podemos determinar os coeficientes do polinômio de Newton com maior eficiência que em caso de montar e resolver o sistema triangular superior Q c = y em que seriam realizadas em torno de 2n 2 operações. Outra vantagem desse método é a facilidade para incluir novos pontos no processo de interpolação, pois temos que p n+1 (x) = p n (x) + f [x 0,..., x n+1 ]Q n+1 (x). Para o erro de interpolação temos que E n (x) = f (x) p n (x) = f [x 0,..., x n, x] (x x 0 ) (x x n )

60 Polinômio interpolador de Newton Polinômio interpolador P3(x) =? x0 x1 x2 x

61 Polinômio interpolador de Newton Polinômio interpolador P0(x) =c0 Q0(x) x0 x1 x2 x

62 Polinômio interpolador de Newton Polinômio interpolador P1(x) =c0 Q0(x) + c1 Q1(x) x0 x1 x2 x

63 Polinômio interpolador de Newton Polinômio interpolador P2(x) =c0 Q0(x) + c1 Q1(x) + c2 Q2(x) x0 x1 x2 x

64 Polinômio interpolador de Newton Polinômio interpolador P3(x) =c0 Q0(x) + c1 Q1(x) + c2 Q2(x) + c3 Q3(x) x0 x1 x2 x

65 Erro de interpolação Teorema 2 [Erro de interpolação] Considere que a função f possui derivadas contínuas até ordem n + 1 no intervalo [a, b]. Suponha que x 0,..., x n [a, b] e x i x j para i j. Então para cada x [a, b] existe ξ(x) (a, b) tal que para o erro de interpolação E n (x) = f (x) p n (x) = f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! (x x 0 ) (x x n ).

66 Erro de interpolação Teorema 2 [Erro de interpolação] Considere que a função f possui derivadas contínuas até ordem n + 1 no intervalo [a, b]. Suponha que x 0,..., x n [a, b] e x i x j para i j. Então para cada x [a, b] existe ξ(x) (a, b) tal que para o erro de interpolação E n (x) = f (x) p n (x) = f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! (x x 0 ) (x x n ). Corolário do Teorema 2 Sob as condições do Teorema temos que para quaisquer x i,..., x i+k [a, b] com k n + 1 existe ξ (a, b) tal que f [x i,..., x i+k ] = f (k) (ξ) k!

67 Erro de interpolação (cont.) Observações O número ξ(x), em geral, é desconhecido mas essa fórmula para o erro é um resultado teórico muito importante. Essa fórmula nós lembra muito da fórmula de Taylor. Na verdade a fórmula de Taylor é recuperada quando consideramos o limite em que x j x 0 (j = 1,..., n) e usamos o Corolário. Nesse caso p n (x) T n (x; x 0 ), o polinômio de Taylor de ordem n centrado em x 0. Da mesma forma que para a fórmula de Taylor, a fórmula do erro de interpolação nós ajuda a obter estimativas do erro quando conhecemos limitantes para a derivada f (n+1) no intervalo correspondente.

68 Exemplo Use os valores tabelados de f (x) = e x e determine uma aproximação para f (0.6) usando o polinômio interpolador. Dê uma limitante para o erro cometido. x f (x)

69 Exemplo Use os valores tabelados de f (x) = e x e determine uma aproximação para f (0.6) usando o polinômio interpolador. Dê uma limitante para o erro cometido. x f (x) Vamos calcular p 3 (x) na forma de Newton.

70 Exemplo Use os valores tabelados de f (x) = e x e determine uma aproximação para f (0.6) usando o polinômio interpolador. Dê uma limitante para o erro cometido. x f (x) Vamos calcular p 3 (x) na forma de Newton. x x x x Tabela: Diferenças divididas

71 Exemplo (cont.) Da tabela temos que p 3 (x) = x x(x 0.35) x(x 0.35)(x 0.65)

72 Exemplo (cont.) Da tabela temos que p 3 (x) = x x(x 0.35) x(x 0.35)(x 0.65) Logo f (0.6) p 3 (0.6) =

73 Exemplo (cont.) Da tabela temos que p 3 (x) = x x(x 0.35) x(x 0.35)(x 0.65) Logo f (0.6) p 3 (0.6) = Para o erro temos E 3 (x) = f (x) p 3 (x) = f (4) (ξ(x)) 4! x(x 0.35)(x 0.65)(x 1) E 3 (0.6) = eξ ( 0.05) ( 0.4) = eξ 24 onde 0 < ξ < 1.

74 Exemplo (cont.) Da tabela temos que p 3 (x) = x x(x 0.35) x(x 0.35)(x 0.65) Logo f (0.6) p 3 (0.6) = Para o erro temos E 3 (x) = f (x) p 3 (x) = f (4) (ξ(x)) 4! x(x 0.35)(x 0.65)(x 1) E 3 (0.6) = eξ ( 0.05) ( 0.4) = eξ 24 onde 0 < ξ < 1. Então 1 < e ξ < e portanto < E 3 (0.6) <

75 Exemplo (cont.) Observação: Podemos melhorar a aproximação dada por p 3 (0.6). De fato, temos < f (0.6) p 3 (0.6) < p 3 (0.6) < f (0.6) < p 3 (0.6) < f (0.6) < f (0.6) 2 f (0.6) Aproximação com erro absoluto < Comparando está última aproximação com o valor exato dá o erro , entanto que para p 3 (0.6) o erro será

76 Fenômeno de Runge: f (x) = x 2 no intervalo [ 1, 1] n=8 (pontos igualmente espaçados) dados f(x) p n (x) erro máximo =

77 Fenômeno de Runge: f (x) = x 2 no intervalo [ 1, 1] n=16 (pontos igualmente espaçados) dados f(x) p n (x) erro máximo =

78 Evitando o fenômeno de Runge: pontos de Chebyshev n=8 (pontos de Chebyshev) dados f(x) p n (x) erro máximo =

79 Evitando o fenômeno de Runge: pontos de Chebyshev n=16 (pontos de Chebyshev) dados f(x) p n (x) erro máximo =

80 Observações Na vizinhança dos pontos centrais vamos ter as melhores aproximações. Os maiores erros acontecem próximo dos pontos extremos. O polinômio interpolador apresenta oscilações que ficam maiores quando estamos mais próximos dos extremos. Quando aumentamos o grau do polinômio mais oscilações aparecem.

81 Observações Na vizinhança dos pontos centrais vamos ter as melhores aproximações. Os maiores erros acontecem próximo dos pontos extremos. O polinômio interpolador apresenta oscilações que ficam maiores quando estamos mais próximos dos extremos. Quando aumentamos o grau do polinômio mais oscilações aparecem. O fenômeno de Runge é uma manifestação extrema da natureza oscilatória dos polinômios de alto grau. Para evitar o fenômeno de Runge podemos distribuir os pontos de interpolação de forma apropriada (pontos de Chebyshev). Para evitar os problemas provocados por essas oscilações outra alternativa é usar as funções spline. Elas são definidas usando interpolação polinomial por partes.

82 Evitando o fenômeno de Runge: Funções spline Spline linear Considere os números a = x 0 < x 1 < < x n = b. A função spline linear S 1 interpoladora da função f no intervalo [a, b] sobre os nós x 0,..., x n é definida da seguinte forma: se x [x i 1, x i ] onde i {1,..., n} S 1 (x) = s 1,i = f [x i 1 ] + f [x i 1, x i ] (x x i 1 ).

83 Exemplo: população do Brasil Dados da População do Brasil (milhões de pessoas) Dados p n Spline linear

84 Exemplo: população do Brasil Dados da População do Brasil (milhões de pessoas) Dados p n Spline linear

85 Erro na aproximação por spline linear Teorema 3 [Erro na interpolação com spline linear] Considere que a função f possui derivadas contínuas até segunda ordem no intervalo [a, b]. Suponha que a = x 0 < x 1 <... < x n = b. Então para qualquer x [a, b] temos que para o erro de interpolação f (x) S 1 (x) M 2h 2 onde S 1 é a spline linear interpoladora de f, M 2 = max x [a,b] f (x) e h = max i=1,...,n (x i x i 1 ). 8

86 Exemplo Quantos nós igualmente espaçados devemos usar para garantir que o erro na interpolação de f (x) = e 2x no intervalo [0, 1] usando spline linear seja (em modulo) inferior a 10 4?

87 Exemplo Quantos nós igualmente espaçados devemos usar para garantir que o erro na interpolação de f (x) = e 2x no intervalo [0, 1] usando spline linear seja (em modulo) inferior a 10 4? Se usamos n + 1 nós igualmente espaçados 0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, então h = x i x i 1 e temos que x j = jh (j = 1,..., n) logo h = 1/n.

88 Exemplo Quantos nós igualmente espaçados devemos usar para garantir que o erro na interpolação de f (x) = e 2x no intervalo [0, 1] usando spline linear seja (em modulo) inferior a 10 4? Se usamos n + 1 nós igualmente espaçados 0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, então h = x i x i 1 e temos que x j = jh (j = 1,..., n) logo h = 1/n. Por outro lado, M 2 = max x [0,1] (e2x ) = max x [0,1] 4e2x = 4e 2.

89 Exemplo Quantos nós igualmente espaçados devemos usar para garantir que o erro na interpolação de f (x) = e 2x no intervalo [0, 1] usando spline linear seja (em modulo) inferior a 10 4? Se usamos n + 1 nós igualmente espaçados 0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, então h = x i x i 1 e temos que x j = jh (j = 1,..., n) logo h = 1/n. Por outro lado, M 2 = max x [0,1] (e2x ) = max x [0,1] 4e2x = 4e 2. Assim para garantir que f (x) S 1 (x) < 10 4 é suficiente que M 2 h 2 = 4e n 2 < 10 4 n > e Por isso devemos usar 194 nós.

90 Spline cúbicas Polinômio cúbico por partes. se x [x i 1, x i ] onde i {1,..., n} S 3 (x) = s 3,i (x) s 3,i (x) = a 3,i (x x i 1 ) 3 + a 2,i (x x i 1 ) 2 + a 1,i (x x i 1 ) + f (x i 1 )

91 Spline cúbicas Polinômio cúbico por partes. se x [x i 1, x i ] onde i {1,..., n} S 3 (x) = s 3,i (x) s 3,i (x) = a 3,i (x x i 1 ) 3 + a 2,i (x x i 1 ) 2 + a 1,i (x x i 1 ) + f (x i 1 ) S 3 (x) tem derivadas contínuas até a segunda ordem e satisfaz condições complementares nos extremos. Sistema de equações lineares para os coeficientes a 1,i, a 2,i, a 3,i (i = 1,..., n).

92 Spline cúbicas Polinômio cúbico por partes. se x [x i 1, x i ] onde i {1,..., n} S 3 (x) = s 3,i (x) s 3,i (x) = a 3,i (x x i 1 ) 3 + a 2,i (x x i 1 ) 2 + a 1,i (x x i 1 ) + f (x i 1 ) S 3 (x) tem derivadas contínuas até a segunda ordem e satisfaz condições complementares nos extremos. Sistema de equações lineares para os coeficientes a 1,i, a 2,i, a 3,i (i = 1,..., n). Erros menores que os da spline linear, se f possuir derivadas contínuas até a quarta ordem o erro satisfaz f (x) S 3 (x) M(f )h 4 onde M(f ) é uma constante que depende de f e suas derivadas. (Obseve que o fator h 4 cai para zero mais rápido que h 2!)

93 Spline cúbicas Usadas com muita frequência no desenho técnico e artístico. São uma ferramentas básica em qualquer sistema de Desenho Assistido por Computador.

94 Spline cúbicas Usadas com muita frequência no desenho técnico e artístico. São uma ferramentas básica em qualquer sistema de Desenho Assistido por Computador.

95 Exemplo: população do Brasil Dados da População do Brasil (milhões de pessoas) Dados Spline cúbico

96 Comentários finais A interpolação polinomial é um método simples e muito útil para determinar aproximações de funções a partir de dados tabelados. Devemos tomar cuidado quando usamos polinômios de graus muito altos, aproximamos valores próximo dos extremos ou fora do intervalo onde os dados são conhecidos. Interpoladores polinomiais por partes (funções spline) são muito usadas na prática para evitar esse tipo de situações. Esse tipo de função também é muito popular no desenho técnico e artístico.